1.4.1课时3：空间向量与垂直关系 同步练习（含解析）

1.4.1课时3：空间向量与垂直关系
设直线，的方向向量分别为，，若，则等于( )
A. B. C. D.
若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )
A. B. C. D. 与斜交
若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则( )
A. B. C. D.
两平面，的法向量分别为，，若，则的值是．( )
A. B. C. D.
平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交且不垂直 C. 相交且垂直 D. 不确定
已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
已知，，若，，且面，则( )
A. B. C. D.
我国古代数学名著九章算术第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”今有“阳马”，，，分别为棱，的中点．以下四个结论：
平面；平面；平面平面；平面平面．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有( )
A. B. C. D.
已知是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 是平面的法向量 D.
如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是 ．
直线的方向向量为，则 ，若平面的法向量为，则直线与平面的位置关系 填“平行”或“垂直”．
若平面的法向量是，平面的法向量是且，则实数的值是
如图，直三棱柱一中，侧棱长为，，，是的中点，是上的动点，，交于点，要使平面，则线段的长为 ．
如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上已知，，，．
求证：
若点是线段上一点，且，求证：平面平面．
如图，已知三棱柱，侧面底面，若三棱柱的各棱长均为，侧棱与底面所成的角为，问在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求与的比值，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
利用，可得其方向向量，解得即可．
【解答】
解：，
，解得．
实数的值为．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面垂直的向量表示，属于基础题．
由题可得，即可得出与的位置关系．
【解答】
解：直线的方向向量为，平面的法向量为，
，
．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量在直线与平面位置关系中的应用，属于基础题．
由直线与平面垂直可得直线的方向向量与平面的法向量平行，得出关系式求出的值即可．
【解答】
解：因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且，
所以存在实数，使得，
所以
解得，．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面垂直的性质，是基础题．由面面垂直的性质得，由此能求出．
【解答】
解：平面，的法向量分别为，
，
，
．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用向量法判断面面关系，属于基础题．
由数量积的运算可得数量积为，可得法向量垂直，故平面垂直．
【解答】
解：由题意可得，
故两个平面的法向量垂直，故平面和平面的位置关系为垂直，
故选：

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量共线及数量积运算，同时考查垂直的条件，属于基础题．
由，利用数量积求解即可．
【解答】
解： 由已知设，
则，
因为，
所以，
所以，
即的坐标为．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
利用向量垂直的性质求解即可．
【解答】
解：，，，
，解得，，
，且面，
，
解得，，
．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直线与平面、平面与平面的垂直的判定，属于中档题．
可建立空间直角坐标系，之后可令，得出相关点的坐标，最后利用空间向量逐一对题中四种说法进行论证．
【解答】
证明：因为“阳马”，
平面．
又平面，平面，
，
建立如图空间直角坐标系，
令，
则，
，分别为棱，的中点，
，
，
所以与平面不垂直，错误；
，，
所以
又，，
，正确；
，
令平面的法向量为，
则，即
取，则，
故．
同理可得平面，平面法向量分别为，
，，
平面与平面不垂直错误
，，
平面平面，正确．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题．
根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案．
【解答】
解：因为为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合，
A.或，故错误；
B.正确；
C.正确；
D.或，故错误，
故选BC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是空间向量垂直的判定，属于基础题．
结合向量垂直的充要条件以及线面垂直的判定和性质求解即可．
【解答】
解：因为，
所以，，
又，，平面，
所以平面，
故是平面的一个法向量，
又平面，
进而 ，
所以D错误，
故选ABC．

11.【答案】垂直
【解析】
【分析】
本题考查利用向量判断直线垂直，是基础题．
建立坐标系，通过向量的数量积与向量垂直之间的关系，即可判定直线、的位置关系．
【解答】
解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
设正方体的棱长为，则，，，，
，
与垂直．
故答案为垂直．

12.【答案】
垂直

【解析】
【分析】
本题考查了向量的模，共线向量、利用向量判断线面位置关系，属于基础题．
利用向量模的求法、利用向量判断线面位置关系即可判断得出．
【解答】
解：，，
，
又，
，
因此．
故答案为：；垂直．

13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了面面垂直的判定和性质，根据空间面面垂直的判定与性质，可得两个垂直平面的法向量之积为零，由此建立关于的等式，解之即可得到实数的值．
【解答】
解：由得：，
，
解得或，
故答案为或．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线段长的求法，线面垂直的向量表示，属于中档题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长．
【解答】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，
，，，设，，
，，，
平面，
，即
，解得．
线段的长为．
故答案为．

15.【答案】证明：如图所示，以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系．
则，，，，．
于是，，
所以，
所以，即．
由知，又，且点在线段上，
所以，又，
所以，
则，
所以，即，
又根据的结论知，又，
所以平面，于是平面．
又平面，故平面平面．

【解析】本题考查利用空间向量判定线线的垂直，面面垂直的判定，属中档题．
以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系求出，的坐标，由证得；
由向量加减法以及数乘的坐标运算求得和的坐标，证得，得到，再由，由面面垂直的判定定理即可证得平面平面．
16.【答案】解：取的中点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
假设在线段上存在点，设，
则，，
，，，
设平面的法向量，
则，即．
令，则，，

设平面的法向量，
则，即
令，则，，

要使平面平面，
则，即，
，，
，，．
【解析】本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，平面与平面垂直，考查空间想象能力，计算能力．属于拔高题．
取的中点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，假设在线段上存在点，设，通过，求出平面的法向量，利用，求出平面的法向量，通过，求出即可得出结论．
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