福建省福州市八县（市、区）2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题（PDF含答案）

2022-2023学年度第一学期八县（市、区） 期中联考
高中三年数学科试卷
考试时间： 11 月 9 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分
一、选择题〈每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的囚个选项中，只有一项是符合题目要求的〉
“ 1. .若 z= l+i，则 liz+3 zl = ( )
阶
川理 A. 4.Js B. 4-./2 c. 2./s D. 2-./2
阳响
很～
2. 设全集为 R，集合 A ＝协坪，xA. {xl-l1 2
3. 己知f (x) =e ，若 a>O, b>O，且I (a) f (2b) =e3， 则－＋？的最小值为〈 〉
a tJ
A. 2 c. -9 8. 3 D. 5
“
明
毅 4. 己知α，。是两个不同的平亩，I, m 是两条不同的直线，那么下列命题正确的是（
阶 A. 如果α II jl, 111 IIα，!II币，那么 !II ’”
｜｜｜ 8. 如果 Ill 邸，'UC:α，且 I, m 共面，那么 !II III
崽 c. 如果α1-jl, fl_α，那么 llljl P（叫，4)
｜｜｜
崎 D.如果 11-m, 11-α，那么，nll α
川
已知角。的大小如图所示，则 l + sin 2θ 惺 5. 一一一一 ＝〈 〉
cos2θ
且
5
A. 8. 三 c. -4 D. 4
3 3
6. 2022 年 10 月 16 日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，这是全党全国各族人民在全面建设
社会主义现代化新征程的一次盛会，其中《中国共产党党旗党徽’创作和使用的若干规定》指出，中国
斗..，
唱， 共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗
的长UI, a2, t/3, ll4, (15 （单位： Cl/I）成等差数列，对应的宽为 b1, b2，的，例，的〈单位g C/11 )
且每种规格的党旗长与宽之比都相等．己知 a1 =288, as=96, bt =l92，则 b3= ( )
A. 160 B. 128 C. 96 D. 64
7. 己知向量a,E 满足 lal =s, IEI =6, a b = - 6，则 cos < E , a + E > = < )
- - _ 19 c. 19 A. B. D. . _
7 35 35 7
3 3
8. 己知实数 x,y满足 x = 3e -x , In 3y ＝豆叶（其中e是自然对数的底数〉，则x y = ( )
s 4 3 2
A. e B. e c. e D. e
二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题绘出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，
有选错的得0分，部分选对待2分〉
9. 己知函数f … 〉
A.f (x） 在区间（O，生 〉单调递减
12
11
8. f (x） 在区间（－一，一一）内 有两个极值点
12 12
C直线 x＝ 子是盹叫叫
π
D.函数f(x）的图像向右平移一个单位长度可以JIJ到函数g(x) =sin (2x ＋一〉
6
10. 已知函数f (x）的定义域为 R，且f(x）十f （价2) =2 ，着f (x）的图象关于点(1，。
对称，f (0) =O，则〈 〉
A. f (2) =4 B. f( x）的图象关于直缉 x= 2 对称
C. f( x) =f（ λ咋4) D. I; f (2k) =12
n
k O 的「”
11. 如图，已知正方体 ABCD-A,B,C1 D的1 梭长为 1, p 为正方形 川A, J－v
底面 ABCD 内 一动点，则下列结论正确的有（ ） i
－－·
·· 飞
」 占
A. 三棱锥 81 .A1 DP的体积为定值 DJ 二‘ 斗／C1 p 、
B.存在点P，使得D,P 上 AD, An
c. 若 D,P J.鸟。，则 P 点在正方形底面 ABCD 内的运动轨迹是线段 AC
D.若点P 是 AD的中点，点Q是 BB的， 中点，过 P, Q 作平面α垂直于平面ACC,A. ，则
平面α截正方体ABCD － 《乌C1 D的截面周长为 3..fi
志
12. 己知函数f (x) =e /11 ( I+心，则以下判断正确的是〈
A. 函数y=f（功的零点是（0，的
B. 不等式f (x） 坤的解集是（0, +oo).
c. 设 g (x) =f (x），则 g(x） 在（0, +oo）上不是单调函数
D. 对任的意 。S, fE (0, +00），都有f (s+t) >J (s) +f (t).
三、填空题〈本题共4小题，每小题5分，共20分〉
1 l
13.设 a, bER，写出 一个使α 一 一＜b 和 〈 同时成立的充分条件，可以是 一一一一 ·
a b
14. 己知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 3阳，则该回锥的侧面积为一一一－－－
15. 在IJ.ABC 中，LA=90° , AB=AC=4, 点 M 为边 AB的中点， 点 P 在边 BC 上，
则 MP CP的最小值为 一一→一 ·
16. 如圈，在直三棱柱 ABC－ 《鸟Q中， AC..LAB,AC=2,
2
AA, =4, AB=6，点 E,F 分别是 AA1, AB 上 的动点，
那么 C,E+EF+F冉: 的长度最小值是
此 时三後锥 B1 -C1EF 外接球的表面积为一一一一一
四、解答题〈本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或溃，草步骤．）
’
17. （本小题满分 10 分〉在等差数列｛αJ中，其前n项和为S，， 且满足S ＝川 S,,+2n+3(nEN ）． (I)
求通项公式。 = ，， ： 叫bn ____!_____ {b11 } 前明为T川 证明： T,, α，， （a.+ 2)
18. （本小题满分12分〉在锐角6.ABC 中，b= 2.J3,
(l)求角B; (2）求 6.ABC 的周长I的取值范围 ．
- 『
① =(-cos-B ,sm. -B ), =(cos B . B
l
m n 一 SID 一 〉且局 n ＝－÷z
，
2 2 2 2 平
② f (x) = cosxcos(x-!:. ）－土， f (B) ＝土；
3 4
@cosB (2t1 - c) =bcosC:
在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解．
〈如果选择多个条件 分别解答，按第一个解答记分．〉
19. （本小题满分12分〉在四棱锥 P-AJJCD中，PDJ_底面ABCD,
CD/I AB, AD=DC=CB=l, AB=2, DP＝♂
(1）证明z BDl.PA;
(2) 点 F 在线段 PD 上，试确定点 F 的位置使 BF
与平面时所成的角的正弦值为二 A B
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20. （本小题满分12分〉记r.ABC 的内角儿 B, C 的对边分别为α， b, c ，且α＋ 2bcosC = 0, (1）求
tanC+3tan B 的值； (2）着边b=4，当角A 最大时，求 r.ABC 的面积 ． ．
21 . （本小题满分12分〉汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用霄达测
出车辆与前方障碍物之间的距离（并综合车速转化为所需时间）， 当此距离等于报警距离时就开始报警
提醒，等于危险躯离时就自动刹车． 若将报警 时间划分为4 段，分别为准备时向 to、人的反应时阅 h,
系统反应时间t2、制动时间旬，相应的距离分别为巾，巾，也，也，如图所示. E驾车速为 v（米／秒），
且 vE(O, 33.3］时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据 （其中系数 k 随地面湿滑程度等路面情况
而变化， kE 11, 2])
H………………··报警距离d………………··叫
民…－：…·危险距离………·叫
。刊’卢－－· d， 斗
民－／o － …／ …1 到唾／ 钊骨…一…乌 ．．．．．．．．．，嗣2
－阳 －。 －准 －备 I.人的反应 2.系统反应 3.制动 ’k函数的性质得，， 心〉嚣e1'上（0, ＋四〉上是增函数，
－m 一H ，， o.8秒 ’，＝ 0.2秒 句
(x) =e'>O,
m AU ＠ 咐 米 d, AU Z 二二 d， s＝货lk 米 n’. ω ＝－一1 －－－－－＝－1 ＝ ，当成（0, ＋叫时，
x+l (x+l)' (x+l)'
，，’ (x》O, 11 (x）单调滋捕，
(1）请写出狼，，距离d（米）与车速v（米／秒）之闸的函数关系式
d（吟，并 当k=2，在汽车达到报，距离时，若人和系统 且当.l1: (0，令国〉时， ”“） =/1（1 τ＋I) ＞O, :.g（ θ $ Z÷i
均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下．汽车 在10, ＋国〉单调递增．
撞上固定障而物的最短时向g
(2）若要求我车不论在何种路面情况下行’自（其中系数kM地 又g (0) =I，由l.g (x》。在10, ＋国〉但成立， 故f(x）在
面湿滑程度等路面情况而变化，kE (1, 2日，报警距离均 10, ＋＂＇）单调通糟，
小子50米，则汽车的行被速度应限制在 多少千米小／ 时？
设，（I' ，ο ＝f(x哈，） f(x), 1 w (x) =J' （肘，） -1' ι、〉，
由(II）有!I (x）在（0, +co）单调递增，又因为 肘，＞ . ，所以
22（. 本小题满分口分〉己知函数f(x）＝ 矿－asinx- l(a e R),
J' (x哈，》t （心，
(I）求函数y=f(x）在 x=O 处的切皇岛方程g 故JV (x）单调jljf， 又因为s＞仇敌，ν （s》. ， (O),
ω 制数y可ω在区问（咛内有囔－·jl点， 鹏以 即. f（ 肘，） / (s》r： <,> -1 co＞， 又因为函数f(0) =O,
下问题s 故f （ 肘，》 f(s) +f (t）， 得证．
(I )求实数。的取值范帽， (II）证明z f(x）在区佣
(0，对内有囔－零点．飞，且 x, <2x,. 三、填空’I＜ 本’E共4小窟，每小’15分， 共20分〉
13. a=· I, b=I（, 不唯－，精足。＜O＜／，，的绚可〉 14 .
39,r
9
15.
2
16. g.fi . 44厅
2022-2023学年度第一学期八县（市） 一中
期中试卷
离中三年量望科试卷评分细则 四、解答题 〈 本’E共6小题，共70分，解答 应写出文字说明、 证
明过程’E溃’事步··．〉
－、选择题〈每小85分，共40分．在每小’E纷出的四个造项中 17 （. 本小题捕’分10分〉，
只有－项是符合’E目要求的〉． ’事. (I）设等差数列｛a.I的公差为d, ·: S,. , =S, +2n+3 (ne N'),
1-4: DBBB. 5-8 ： α，DA
所以s , -S,. = G俐 ＋α ＝叫 2n+3，， 可得
。 ＝ “…··”… …·”......... …，，.， ＋α川 211.+5， 2分
二、选择 U ＜每小题5分， 共20分，在每小’E始出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选锚的得0分 部 两式相减可 得， 2d=2 ， 所 以，
·······”… …·”..........………”..........………”………
分边对得2 分〉 d=I, 3分
所以。’”卢。”’2 ＝ 代， ＋I＋ 仇 ＋2=211+3 .可得 g
9. AD 10.BC 11. ACD a =n, ···················”…·…”…·”……,. 5分
12.BD
( 2 ） 囱（I）知 g 。，， ＝”， 所 以
12窟。造项证明 ”－站25 =iG古），
设 g （川＝ ’f （x) =e [ln （川）」7] '
XTl 6 分
I ( 2 1 x)=e X [ln(x+l） 1 一－－－－；，］( T,, ＝乌＋佟÷ ···＋bx+l)'
设， （， x) ＇=e . ，， ι。 ＝In（汁。如」？， 则 g (x) =m (x)
x+l
.,, (x),
II
＝工（，＿.！.＋工＿.！.＋.！.＿.！.＋。··＋」一＿＿！.＿＿＿＋土＿_!.___ l （没有注明角的能囚的知1分｝。
2\ 3 2 4 3 5 n-1 n+I 11 11+21 (2）囱正弦定理可得， ………7
a c b 品
4
=HI十 －；三三） sinA sinC sinB 可τ2
分
则Ll.Allr:'Bil .Ml妖l＝时·b=4sinA+4sin 2"'3
=fG－ － ） =2叫专π·川sinC+'J3
·············8分
= 2 v(.:W::...3 cosC 1 －伊 sinC咆inC）哺'1/ r:: 3 》
.' 11 EN" 2 2
一l Aυ 一l 〉
川 川 ms川号）币， ……··9
… n－d 分
分
． T I 3 3U 〈 － X － ＝ － 原 命 ． 得2 2 4 （＇＜ -c＜
π
3 2
证 .........………． 10分 解 得
o18. （本小题满分12分〉。 王＜ c＜王， …10分6 2
解.(1)龄，·：－；；.＝ (-coλsin!2 ),-;;= (coJ.,
sin ） ·一＜c...－＜一2π2 2 2 －．．
.． v立主3 ＜ sin (C←一）6 ＜3 13 ·2
且由呻 !
m·n ＝－τ了 ’ 3而 < 2ι 军军 3
…·cos 2”－B ＋si. n 2帽B” ＝.－coso”-＝－l”· ，即 cosB ＝ 去， "'3. …11分2 2
，人＃ ···6分 被A AJJr;'的周长 J 的取值稳固为（
3+ "'3 3
BE (0， 号） 号
"'3]. …··12分
｛没有注明角的范围的拥1分｝
造②， ·：cosB (2a - c) =be。sC. 19. （本，，＿.满分12分〉
．·．由正弦定理可得，c。sB (2sinA - sine> =sin.le。sC, 证明，(1）证明， ·：PD.L底面A疏'1}, B/Jc 面ABCD,λPD.L
;, 2sin,如何8=sin&。s"1:os.lilinC=sin (IJ>C) =sin.i, BD, …1分
"."sinA>O, 取AB中点E，连接应， ·: AI>=胜＝α』1, AB=2,
句sB=l，即C叶 可廷队号） ' :.B= :. L.llt8=60＂ 叉W 罩iAB=加1, ：.如1，础
…·6分 ＝抖， ．．．．．．”…3分
（没有注明角的范阔的相1分｝ :. fl. AB/) 为重角三角形 ， 且 AB 为斜边， :. BD.L
AD, …·叶分
选 π③ l f (x)=cosxcos (x一一）一 又 PDn AI>=D , PIJc::.而 PAD, A/Jr:; 面PAD,
3 4
cosx ' 2 1 43 l
:. BO .L而 PAD, 又 PA c丽 PAD, :. BD .L
cosx ＋－τsinx 、J 4
PA, …·6分
= …1 、u －2 ’..43..＿、 ... _u … ．. ．．一l _－ 一1 .λ
, l +cos2x "
－
2 司 2 昌 u
二
4 …2 2 (2）由（1)知 ， PD. AD. BD两两互相垂直，分别以队，郎，DP
43
一一＂乳白 1 … － 为x、 y、 z串串建立如圄空阔禀角坐标系． 。2 2 4
1 ., 。 l 'JI 一 则＝ 2 （－
1
2 cos2x..－！2品 sin2宝）
＝－＝－ sin ( 2x←ι） BD=Vi否丁AD2 =.J王
一 D(O, 0, O），岭 ， 0 ， 川 ， B(O，而 ， 的 ， P(0, 0 ， 而）·: f ( B) ＝ ，λ π lsin (2B←一）←·
6 2
BE (0，号）， 准号”…··…
12
日 2 c ＝（1,0卢布，AB=<-1ι，0) 自正弦定理得 ＿＿！：＿＿＿I sinA ＝ sinC 即 ：“n-π sJin-缸，解得
“··8分 6 3
…
设平面 PAD的一个法向量为：；＝ (x 11分, y, z),
’量 大 时
r；.瓦＝x---./3 z=O 则 则 可 E凰
\;·AB气＋而y= "3 O h/3 ·i=4
飞＝时飞 飞 1 ， …………9， ， ） 分
设点F的坐标是（0.0. t)(O :,; t 主"3），则BP的坐标是（0,-../3.,) B 』 ＇ 口 ’ 》；＂.a+2b …(I 牛ι” －c－－ ＝0, :.
2llb
设 BF与平面 PAD所成的角为’· ， 咽 ，，－
＇
2ll 忡吨’ ，－ c' =0, . ＇ ’字 ··a ＝一言L
则
. . b'+c'-1 土豆）,
cos ι二丘二 ＝ 、 2 } A ＝
2hc 2bc
=i（引）主 tn＝子
解 得 31, 当且仅当－＝手，即c＝品，时句’号成立．此时d取到最大
c "
I ＝响＝子 值为？， ................ 10分
…11分 ·: b=4, :.c:4../3,
盯在编段PO上， 则，＝:!i，町点Fti:PD的中点处满足题 λ当A最大肘，
2
l l l
意 ·川…·12
－ －
分 俨、d r枫 k An 句，＆ 句，“ ♂
－ d
川剧 z 2 2
着有其他解法，可酌情给分1 川……12分
20. （本小题满分12分〉 若有其他解法，可酌情给分1
解I (1）γu+2b<-osC=O，由正弦定理得自
smA+2sin8c侃C=O, …·………”…1分 21, （本小题满分12分〉
解I (1）由愿意得d(v) =d.+d,+da+da,
·: sin A 町in［π－（R+C)]=sin( R叫） ，
所以 d(v) = 10 + 0.8v + 02. v ＋ 二20k ＝ 10 + v +
:.sin(B＋。＋2sinBcosC=O, v …·2分
sinCcoo8+3sinBc曲C=O, …...分 20k
当 k 2 时 d(v) 10 ＋ v ＋
方程两边同时除以cosBcosC得s ν2 …3分
1anC+3tanB=0, …….........…6分 40
( tanB+t臼，c2）方法「－，γtanA=-tan(B+C)=·- l-tan8ranC t(v）斗＋主＋ 1剖＋2 =1+1 量
＝－ tan8-3tan8 一2tan8
l-tan8(-3tan8) I÷3tan 2（秒）．……·”…………·……”……·”2 …B 5分
即此种情况下汽率撞上固定障碍物的最短时阔的为2
2 _ 2 秒． ……6＝ ,./3 分＝王可军τ： τ
｛纺根据题，E要求对于任ake[l ， 刻，d（吵＜50但成立．
v2 1 40 1
一－
当跟当川＝子 ， 即 B ＊时制成立 ， 此时d叫大 即对于任意kE[l，刻，lO+v+2-::-<0k 50，印20k矿<-::.｝ -
成立 ……·”.........……． 8分
值i· “………·······9分 1 1
自kE [l, 2］ 得 一 L ， "'1卢一k ε ［40 ，主20'］
·: b罩 4, ．·．α ＝ b=4, 则C=n-A-8＝号， 1 〈 40 1 所以 一 丁－－20矿 即 v'+20v － 叙赔付， ”得 －
13
403翻” (I）知f'(x,)=0， 所以e' = QCOSAi,
所 以O时｝． …..........…”.........…·”…….........11分 则
即汽车的行破速度应限制在20米J秒以下，即72千米／小时以
下． …..................…12分 /(2飞）＝沪
＇ －2e句 sin. ；－1,
”··”…·叶分
22. 〈本小姐司’分12分〉
解 (II ) ’f 。）＝ e·' -acosx f'(x)=l-a ／（时＝0
构逾 p（归
所以p ’ （1)=2 e2' -2e'( sin 1 +cos1) =2 e’（e' -sin 1-cos1),
切t\方,fl : y-0=(1-a）你－0) ’P
记 则
(I－α〉 ψ(I)λ；－ y=O …·…“……·……”.......…··2分
伊＇ （t) = e' -COS! +siJl/.
。） j'(x) = e' -a cos.屯，当x个？）时，…（0, 1)
显然伊叫o.f）上单调制所以伊＇ （／

lo.% 伊（！） ＞例。1)=0, ....“············”．…...”．”....”．”．”．“····II叫当“l时， f川，／（x）在（ ）上单调递增， 分
所 以ρ （I
没有极值点，不合’意，舍去e
p(!) ＞ρ（0) =0, 所以／（2.r,)> 0= f(x ), ②当。＞l 时，虽然 f 忡（ 2o. 三）上通俗又 因 为
由前面讨论可知， x, <2x, ＜π， J叫〈乓＜ tr ，且 J(x） 在
f (0)=1-a{
f ( >0, XE（码 ， 对单调递槽，所以2x, > x1
”·12分
所以f'＜ ＞ （o.f）上有唯－零点矶，所以H川，
若有其他解法，可酌情给分l
HL
f
加 刀 吨 i r
、、B
f －g －fhk ’ ！ 户J hN 〉 。 而 以4J ι” ） 在 －
－ EEE
2一 ／Mγ 2 E’
上 有曦－ 极值点’ 符 合 题 意 综 ·ιO 的取 也 范 配 ·e
。 ＋ 叮 … ζ”分J
另鳞’等价于川 ι…＝叩（o，%）内有曦－解，
即土＝ 有唯一 解
a e·
（若有其他解法，可酌情给分I
ση 由〈加叫以xe［%·巾，j忡 e' -ac…（），
所以必e(O， λ， ），f'(x)f ＇（κ） >0, f(x）单调通槽，
所以xe(O,x， ）时，f(x)< f(O) = 0，则／（x,)<0,
又因为 f(tr)= e' - I> 0，所以！（λ）在（x，，对上有唯一零点勺，
IP／（均在（0.tr）上有lit…霉点 x,.
因为／（2x,)=e问－asin2叫 － I =e＇厅’－ 2αsinx, cosx, - I，由
14