江西省南昌市三校2022-2023学年高三上学期11月期中联数学（理）试题(pdf 含答案)

南昌市三校 高三上学期第 一 次联
考
数学试卷〈理科〉
命题人z 考试时长： 120分钟 试卷总
分z 150分
一、选择题： （本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
一
中，只有 项是符合题目要求的．〉
l叫刊十
A. ［斗，－ 1] B.[-1,3) c. ［斗， 3) 。［－1,3]
2.设主fl面向量百 ， 百均为单位｜句量 则 “ 在－ = ，，， ｜ Ziil IZa+ii l 是 “左i ii
＇’ 的（
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
c. 充分必要条件 。既不充分也不必要条件 A
↓ e ，λ” 。，
3. 已失u函数 f(x) = 则f(ln2) =
lf(x-1), x>O,
2 B
A. - B. -4 C. 2e D. 4e
e e
4.如阁 ， 在A ABC 中 ， BN = 4:!: sc，设五百＝苔，AC ＝ 百 ， 则五百＝（
A.ia － ii B；否－iii c ；否＋ ii D；否 ＋iii
5.如图所示 ， 在平面直角坐标系中 ， 角 α 和角 F 均 i ox 为始边 ， 终边分别为射线OA 和 OB.
( 3 4 \
射线。地 . oc 与单位圆的交点分别为Al一，一I. C(-1,0）若ζBOC ＝－；－. 则cos（β－α）
5 SJ' 6
的值是（
A. 3-4../3 3+4-./3 B.
10 10
C. 4-3../3 4+3-./3 I ＂＂－＇＜＇ 飞 I ,D.
10 10
6.通过研究正五边形和i正寸地彤的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割察，黄
- .I『－1
金分割率的值也可以用 2sinl8。 表示， fin 二二一＝2sinl 8。． 记 m=2s.i.n18。 ，贝lj
2
(m2 -2)·sinl斜。 飞
A. -2 B. -.fi. c. J三 o.Js-1
7己知过点 A(a,O） 作曲线 y = (1-x)ex 切线有且仅有 1 条 ， 贝I] a= (
A.-3 B.3 C.-3或1 D. 3或1
8.己知奇函数f(x）在R上是增函数．若α＝-fOog !2 5) , b = f(log24.l), c = {(2
°8）， 则α ，
b. c的大小关系为（ ）
A.α ＜b9在A ABC中 ， 角 A, B. CP,斤对的边分别为 a. b. c 若2acosC+b=2ccosA. c=..[3a.
则 LA=( )
A π B π C π D 2π
6 4 3 3
((3 － α）x - 4,x 三8
10.己知；｜函数f(x) = l α >B ’ 若数列｛α，t ｝满血
oα －n- f(n)(n EN 丁且｛α ｝是递增
l x-1,x n
数列，则实数α的取值范围是（ ）
人（2,3) B.(2,3) c.G,3) o.［ ， 3)
11.已知函数 f(x) = π 2si11(x ＋的cosx-sinψ （｜ψ｜〈 －） ， 且对于任意 xE R ， 都有2
ππ 4、
f(x＋一）＝ －！（一 －x） ， 下列序号中 ① f(x） 在区间［－一 一， ， ］上单调递增 ， ②／（0) ＝子 ， ③
3 3 6 6 2
若 伞Cl 7t l ！（立）＝立二 ． 则 j（λ也－1一2 ）＝一3 ；④若实数m使得方程 f(x)-m ＝ 。在（0，一）上恰有
λt X2 与（x, <.,11叫）三个实数根州＋2与咛手π正确的序号有（
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
12.黎曼函数R(x）是一个特殊函数 ， 由德国数学家黎曼发现并提出 ， 该函数定义在［o. 1］上 ，
当 x = (p,q都是E整数 ， ？为最简真分数）时 ， R(x) = ；当x=O或1或x为（o. 1)
内的无理数时 ， R(x) = 0.若g(x + 1）为偶函数， g(x+ 2）为奇函数 ， 当x E (0,1）时 ， g(x) =
R(x），贝lj ( )
A.g （平）＞ 且g(co sin2 g(cos2内 卢）三 α）g(sin2{3)
B.g （平）＞ 且g(cos 2asin2的三 g(cos2 α）g(s的）
C.g （平）＝ i且g(cos 2asin2的主 g(cos2 α）g(sin2/3)
D.g （平） = i .§.g(cos 2叫咱）勾（cos2 α）g（甜的
二、 填空题（本题共 4 小题， 每小题5 分， 共 20 分〉
13 已知aeR，若复数z＝α2 －＿ α 2 ＋（α2 + 3a + 2)i为纯虚数 ， 则a＝ 一一一一一一
14.如图 ， 扇环ABCD 中，弧AD =4，弧BC= 2, IABI = ICDI = L f一－－－－
A<.. .)O
I.QI）扇环ABCD的商积S ＝一一一－－ ＼＼／产飞＼／／
＇
lJ －， λ，，，－T
，
15 巳知函数 f(x） 是定义域为 R的奇函数，当 x>O 肘， f'(-x)>2f(x），且／（3)=0,
则不等式 f(x)>O的解集为一一一
16 ， 锐角A ABC中， α ， b. c为角A, B, C所对的边，点G为A ABC的盏心 ， 若AG .l BG,
则cosC的取值范围为一一一 ·
三、简答题〈本题共5小题，每小题12分，共60分〉
17 (12分）已知函数f(x) = 1 - -f3sin2x + 2cos2x
(1）求f（功的最大值及取得最大值时的x集合；
(2）设A ABC的角A, B, C的对边分别为α， b, c ， 且α＝ 1, f(A) = 0.求b+c的取值范
围
18. (12分）如图， 在三楼柱 ABC-'4iB,C1 中 ， 侧面 AAiC,C .l 底面ABC. 侧面
儿句 。CI C 是菱形 ， L'.A,AC=60 。’ ζACB=90 ， AC=BC=2.
c,
(1）若 D为 A,C 的中点 ， 求证： AD..lA,B;
(2）求二面角 A-A,C － 冉的正弦值
8
19. (12分）某校组织围棋比赛 ． 每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜 ， 比赛
结束）， 比赛采用积分制， 积分规则如下；每场比赛中 ， 如果囚局及四局以内结束比赛 ， 取
胜的一方积 3分 ， 负者积 0分，五局结束比赛 ， 取胜的一方积 2分 ， 负者积 1 分已知甲 、
乙丙入比赛 ， 甲每局获胜的概率 为÷
(1）在一场比赛中 ， 甲的积分为X ， 求X的概率分布列 ，
(2）求甲在参加三场比赛后 ， 积分之和为5分的概率．
20 (12分）已知困C: （俨1)2 + y2 = l，椭圆M： 兰 ＋ 乒 ＝I
8 4
( l ）求'iiE：圆 C 在椭圆 M 内：
(2）若因C的切线m与椭圆M交于 P, Q 两点，F为椭圆M的右焦点，求A FPQ 面
积的最大值 ．
21 (12分）已知函数 f(x) =(1x2
( I ）若 f(x） 在（0’＋∞）单调j远增，求α的值：
1 3 _ f(x)
(2）当一〈 α －＜ e 时，设函数g(x）－一一一的最小值为 h（时 ， 求函数h（α）的值域 ．
4 4 x
四 、 选做题
22 ( JO分）［选修4-4.坐标系与参数方程］
I '13 I X=a+ -'-t
在平而直角坐标 2 xOy 中 ， 直线l的参数方程为｛I (t 为参数 ， 。 为常数〉 ． 以 j忌点
I y = 2t
4cosθ
。为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程，为 ρ ＝ －
sm- If
(1 ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
(2）设直线l与曲线C相交子 A、B网点，若｜叫＝ 16 ，求。的值．
23 (JO分）［选修4-5 .不等式选讲］
已知函数 f(x) =Ix ＋ α1+21x-11
(l）当 α ＝ 2 时 ， 求不等式f(x） 三 4 的解集 ，
(2）若 3x E (1,2］ ， 使得不等式f(x) > x2 成立 ， 求实数 。 的取值范围．
高三上学期第－次三校联考数学〈理科〉试卷参考答案及评分标准
一、选择题z （本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．〉
｜序号I 1 I 2 I 3 I 4 I s I 6. I 7 I s I 9 I 10 I 11 I 12 I
｜答案I B lei A ID I c I BI c I BI A I A ID. I c I
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分〉
13. 2. ... 14. 3 15. （斗，O)U(3,+oo) 16. ［：，于），
三、简答题｛本题共 5 小题，每小题 12 分 ， 共 60 分｝
17 巴知函数f(x) = 1 - '13sin2x + 2cos2 x .
(1）求f(x）的最大值及取得最大值时的x 集合；
(2）设A ABC的角A, 8, C的对JLl分别为α ， b, c ， 且α ＝ 1, f(A) = 0.求b+c的取值图．
I 答案］
解（l)f(x) = 1 『品in2x+ 2cos 2x = cos2x －品in2x+2 = 2cos(2川i)+2, .2分
·: -1三 cos(Zx + f）三 1, O 2cos(2x +f) + 2旦 ， · f(x）的最大值为4, 4 分
当2x ＋主＝ 2kπ（k ε Z） 目nx = kπ －主（k ε， Z）时 ， 函数f(x）取最大值。
6
则此时 x的集合为｛xix= kπ － ， k εZ}; ... 6分
(2）由f(A) = 0得：2cos(2A + f) + 2 = 0 即cos(ZA ＋争＝ -1,，
ZA + f= 2kπ＋π（k ε Z), 自PA= kπ ＋；（k ε Z),
又O由正弦定理－－！：－ =2-.. = ＋－得 b ＝ 旦旦斗sinB, c ＝主
sine sln , , v, sinC,
又A=;, 8 + C＝ 子， 即C＝子 － 8,
:. b + c ＝元。仙sin←去［s仙叫子－ 8 )]
＝去。inB ＋子cosB + 2sin8) = 2（、／言τsm， 8+ 12cos8)=2sin(B ＋ ）. .. .10 分
飞 A 斗
， “（0，争， B 寸 ε （ 号） ， 如何＋ ） εct. 11.
则b+c的取值范围为（1,2] . . ................... 12 分
18. 如图 ， 在三棱柱 ABC-A,B,C， 中 ， 侧面 A《c,c i底面 ABC ， 侧面儿句c,c 是菱形 ，
ζA,AC = 60。 ’ LACB=90。 ’ AC=BC=2
(1）若D为A 1 C的中点 ， 求证： AD..LA B;1 c,
(2）求二商角 A-A,C － 冉的正弦值
2.1"1
［答案］ (1）见解祈 (2）二工4
I详解］ (1) ·：侧面 AA,CIC 是菱形 ， ：. AA 1 =AC.
B
·: D 为A 1 C的中点 ， 二 AD..l A,C.
·．·侧面AA 1 C 1 C ..l底面 ABC ，侧面AA,C,C门底面 ABC=AC，ζACB=90。，BCc
底面 ABC ， 二BC..l侧面儿＇＼C 1C.
·: ADc侧面儿句C 1 C . :. BC ..l AD.
·: A,CnBC=C, :. AD..l平面 A,BC,
·: A,B c平面 A,BC ’.. 5分， 二 AD .L A,B
2( ］取AI CI 中点E ， 连接 CE 从而 CE， ..LA C C1， 又由A , II AC ， 则 CE..lAC.
·．·侧面A《c,c ..L底面ABC ， 侧面儿吗c,c 门底商 ABC=AC.
:. CE ..L底丽 ABC.
以C为坐标原点， 以 CA. CB. CE为x轴 ， Y轴 z， 轴建立空间直角坐标系 ， 如下图：
由己知条件和上图可知， C(O, 0, 0) . A(2, 0, 0） ， 街（l,0,./3). B1 (-1,2J3, ).
由题意可知， 平面AA1C的一个法向量为CB= (O，立即 7分
不妨设； = (xi, Yi, Z ）孚面AI CB，的
一个法向囊，
1 c,
因为c1, =<1.0，而 ， CB =(-1,2而 ，I ，1
｜臼「 ·ii =0 I x +.J3z ＝。
从而斗一－ => 斗 1 1
lCB1·fi=O 户l-x +
1 2y1 +.J3z1 =0
令Z ＝币 ， 贝1Jx1 =-3, Yi =-3， 即二= (-3,-3jj, ）’ 1
设二面角A-AI C-8，为θ p 由图可知θ为钝角，
→ → ＿＿J CB
从而cosθ＝ ·二－ lcosI- I_－－ －－：：；－ffi ， 即sin θ＝－－－－＝－－－2..fi .
ICBllnl ’ I
2.1'1
故二面角A-A C－I 矶的正弦值为于 …1· 2分
19.某校组织围棋比赛 ， 每场比赛采用五局三胜制（一 方先胜三局即获胜 ， 比赛结束） ， 比
赛采用积分制． 积分规则如下．每场比赛中 ， 如果囚局及四局以内结束比赛 一， 取胜的 方
积3分 ， 负者积0分，五局结束比赛 取胜的一， 方积2分 ， 负者积1分已知甲 、 乙两人比
赛 ， 甲每局获胜的概率为÷
(1 ）在一 场比赛中 ， 甲的积分为x. 求X的概率分布列，
(2）求甲在参加三场比赛后 ， 积分之和为5分的概率
333
［答案］ 1( ）见解析 (2） 一－－
2048
Ii羊解］ 1( ）由题意可知， X可能取值为o. 1. 2. 3 .
当X=O 时， 则前三场比赛都输或前三场比赛赢一 场且第四场比赛输，
则 l 哇 ，P(X=0) = (1--f +C ·一l ·（1
i 。
－一）气1－一I ）＝一5 ，
2 " 2 2 2 16
当X=l肘 ， 前四场比赛赢两场且第五场比赛输．
。 I, 1, 1
则 P(X = 1) =C‘ ·(-Y ·(1--)' ·(1--) ＝一
3
，
2 2 2 16
当 X=2 时 ， 前四场比赛赢两场亘第五场比赛赢 ，
。 l , I。 l 3
则 P(X = 2) =C: ·(-)' ·(I －一）＇ .一＝一 ，
哼 2 2 2 16
当 X=3 时 ， 前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢 ．
l ＇ 句 I , I I 5
则 P(X = 3) = (-)J + C · （一y ·(1－一）·一＝一 ，
2 , 2 2 2 16
故X的概率分布列如下：
x 。 1 2 3
5 3 3 5
16 16 16 16
6分
I小问2 i羊解l i受甲在参加三场比赛后 ， 积分之和为5分为事件A.
则甲的三场比赛积分分别为 1、 1 、3或者 0 、 2、3或者 1 、 2 、 2,
·一3 －一3 －一5 ＋ A.1 ·一5 －一3 －一5 故 P(A) =3 ＋3·一
3 －一3 －一3 ＝－－－333 ，
16 16 16 ,飞 16 16 16 16 16 16 2048
333
故甲在参加三场比赛后 ． 积分之和为 5 分为一一一． ··· 12分
2048
20. ( 12 分〉己知困C: 1 (x-1) + l = .1 ， 椭圆M： 三 ＋ 主： ＝l
’ 8 4
Cl）求iiE： 阪CtE椭圆M内；
(2）若因C的切线m与椭圆M交于 P, Q 两点 ， F为椭圆M的右焦点 ， 求A FPQ 而积的
最大值 ．
20. ( 12分〉
解：(I）钢心 ）， 半径 设 为例!Ml 上一 ·C(I.O r=I A(x,y） M 点． ·· 分
则J A Cr= (x-1)2 + y' =(x-1)2 +
I 2 I
4--x =-··' -2x +5=-(x-2)2 ÷3 句，． 分
2 2
γ －2.fi. x 2.fi. ,
＼当x=2时，IACI有.LR小值占 . .......…··4分
而.fj > I El” I AC l川，战点A总在阴C外．
．．也IC在椭剧M内 ． ........……·5分
（注：其他方法，合理正确均可得分〉
(2）若直线，，，斜星在不符缸，m不能过点F(2,0），则’”的方程只能为x=O,
I PQ I=4 , s 呻＝4 .........…，.， …. 7分
若J.'{线，，p斜率存在，设’”的方filhy=kHt, P(x, y,),, Q(x,,y,)
lk +I I ( (
由直线，，，与刨C相t}J衍 τ二＝＝I，化简Aft2 + 2kt = I，则 k ＝ （－－ 1), '*0- ·········8分
..Jk' + I τL. I
『2 '
卜二＋二－＝I
由 8 4 得（2k2 + l)x' + 4kt如＋ 2产－8=0,
[y=kx+t
-4kt 2
则几' ＋ x, ＝ 一 一 ？ ，认＝「
2, -8
一 …·9分
2k‘ ＋ I ' 2k‘ ＋ I
ti＝例如川2k2 + 1)(212 -8) ＝例川12 + 32 = 16( ；－川问2＝子8川
116 + _ , .J-:- ，.
IPQl=N百Ix』 －x,l=N百丘ζ二， F(2,0）至I] m t'J2k' + I ‘-.J k ＋I
咱＝ 叫
设 s= 14 + I， 则 s >I,
SM'PO 正主 ＝？：：§＿" ＝2JP<4. …........…·I l分l+I S S V Y 宫
t::.FPQ 面积的极大侃为4. ． ． ． ． ． ． ． ． ． 、饨，4 J／，俨
2
21 (12 分）已知函数 f(x) = I ..!..x -aλ· llnx-..!..x2 ＋αX .
l 2 J
( I）若 f(x） 在（0,+oo）单调递增，求α的值：
f(x)
(2 ）当一 〈α －＜ e时，设函数 g(x) ＝一一一的最小值为 h（α），求函数 h（α）的值域．
4 4 x
’
解：（I) f （x)=(x-a)lnx.
因为 ！（均在（0,+oo）单调递增，所以 f'(x） 泣。，即 （x-a)lnx 泣。
( i ）当 x> 1时，lnx>O，则需 x-a' . O，故a:,;;xmin’即 a :,;;1;
( ii ）当x=l时，hx=O，则αε R:
（ ω 〉当0综上述， a=l. 4分
g(x）－_ 一一.t ex _(2) ) － (I -;::-1 x -a1 I Inλ. 1 ’－ －；x ＋ α，g （x) ＝ Lnx －－ ＋ ’
X \L J 丁q L X 寸q
” 1 a<-3 （x) e g"(x) ’8 ＝一＋寸 ·因为一 ＜ ，所以 >0 ，所以g （x） 在（0,+oo）单调递增2x x' 4 4
又因为g ’
a 3
（1) = -a+ - < 0, g’但）＝一←＞ 0. 所以存在与ε（l ，吟，使g’ （x )=0,
巳 4 0
且当 x e (0,x0） 肘 ， 8
’（x) <0，函数 g(x） 单调递减；
当 xe(x0，叫时 ， g'(x) > 0，函数 g(x） 调递增
故 g(x） 最小值为 g (x ) = I !0 x -a llnx _!x0 ＋α＝ h（α） 2 0 0 J
’ x 1 ( 3 1 'I 由g （ )=00 ，得α＝士与 lnx0 ＋ － 与 ， 因此 h = I 一与 －一 句In与 Jlnx
2 4 \.4 2 0J
r(x) =-1 xlnx +-1 x,x . 1 3 令 e (l,e），则 r’（x)=-lnx ＋ 一＞ 0,
2 4 2 4
1 3 1 3
所以τ（x）在区间(1,e）上单调递增 又因为一， ＜ a<-e ， 且τ（1) ＝ － ，τ（e) =-e,
4 4 4 4
所以 1A、
三矿
=1(-3 --l xln 1 l 2 l l 3 l 0
\.4 2 J 2 4 4 4
函数ψ阴阳单调递增又ψ船阳）＝ ，所以0＜叭叭 ·
故函数h（α）的值域为 I o,.:. J . . ... . ... . 12分
\. 4 J
22. (10分）［选修 4-4 坐标系与参数为程］
Il x=a -J3 ＋ －二－f
在平丽直角坐标 xOy 中，直线l的参数方程为J I 2 (f为参数， α 为结数〉 以原点
I y = 2t
4cosθ
。为极点 ， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ， 翩线 C的极坐标方程为 ρ ＝－τ丁－
sm-1:1
（！）求直线l的普通方程和llll JtC的直角坐标方程；
(2）设直线l与幽线 C 相交于A、B两点，若｜叫＝16，求α的值－
-.fj x- v--.fj a =u《 ,
’ .
(l) 3 3 ' y =4x: (2）α＝I
II X=a+ .J3 -'- 1
［详解J ( I ) ·： 巫线l的参数方程为J 2 ( t 为参数 ， d 为常数） ，
IY = 2t
消去参数I得l的普通方程为： y 一.fj ＝ （x-a) .fj .fj 目P-x-y--a =0. . ........2 分3 3
．·ρ ＝－－－：－4cos丁θ τ ， 2：. psin θ＝4cosθ 即 ρ2 sin2θ ＝4ρcosθ ， 即 l = 4x.
Sm 1:1
故幽线C的直角坐标方程为y2 =4x. . ... 5分
(II) 将直线l的参数万程代入曲线中得1 2 -8./3t -16a = 0, ............ 7分
［＝例。＋ 3) > O:::::>a>-3
1,+!2 =8./3 ......... ...9 分
t/ =-16
2 a
．·．｜叶｜叫 ＝ J（， 咐－41 1 =8.,,la+3=16:::::>a=l .... 时， 1 2
23 ［选修4-5 不等式选讲l
已知函数f(x) =lx+al+21x-11
(I）当α ＝ 2肘 ， 求不等式 f(x）三4的解1晨，
(2）若 3.x E [1,2］ ， 使得不等式 f(x) > x2 成立 ， 求实数α的取值范围．
解（I ）当α ＝ 2 时， f(x) =I x+ 21+21 x-11
当山时 f(x）＝ 十川川2三 4 解得中；此时xe0
当－2< x 豆 l时 ， f(x) = x+2-2x+2至4 ， 解得X注0 ， 此时O 豆 x 豆 l,
4
当x>l时／（归山川至 n44 解得 x 三i· 此UH吨，SEa〈 x ＜－－
3
因此当α ＝ 2时不等式 f川的瞅牛：l "". 5分
(2）当 l 豆 x 豆 2 时， Ix ＋ α1+21x-ll>x2 可化为 Ix ＋ αI>x2 -2x+2.
所以 x α＞ x2 -2x+2 或 x 2＋α ＜ －， ＋ x +2x-2,
即存在 XE[l,2］ ， 使得 α ＞ x2-3x+2 或 α ＜ －x2+x-2
a 2 3x (I x 一3'｜/ 一1 >x - + 2 = － － ， 因为 XE [1,2］ ， 所以 x2-3x+2 三 －4, lm贝 －dHHJAM〉
2 J 4 l 4
2
α x2 +x-2=-(＜ － I x--1 7
2
，因为 XE [1,2］ 所以 －x +x-2 至 －2-- ， ，所以 a<-2.
l 2 J 4
(-oo,-2)UI _ _!_,+oo 1
因此， 实数a的取值范围为 ＼ 『 ／