人教版数学八年级上册 14.2.2完全平方公式 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第1课时
14.2.2　完全平方公式
八年级上册 RJ
初中数学
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和
两个数的差
积
平方差
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
知识回顾
1.了解并掌握完全平方公式.
2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方公式进行计算.
学习目标
课堂导入
小明去市场买一种水果，价格为每公斤10.2元，现称出该水果为10.2斤，小明随即报出了要付现金104.04元.你知道小明为什么算得怎么快吗？
计算下列多项式的积
(1) (p+1)2=__________=_________；
p2+2p+1
(2) (m+2)2=___________=_________；
m2+4m+4
(3) (p-1)2=__________=_________；
p2-2p+1
(4) (m-2)2=__________=_________；
m2-4m+4
知识点 完全平方公式
新知探究
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
(p-1)(p-1)
(m-2)(m-2)
观察计算结果，你能发现什么规律？
猜想：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.
m2+2×2m+22
m2-2×2m+22
p2+2p+12
P2-2p+12
(1)用多项式乘法证明：
(a-b)2
=(a-b)(a-b)
(a+b)2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(2) 借助几何图形证明：
如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 .
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 .
它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 .
所以(a-b)2=a2-2ab+b2.
(2) 借助几何图形证明：
(a-b)2
(a-b2)
a-b
b
b
a-b
ab
ab
b2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2.
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
完全平方公式
特点：(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同；
(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.

解： (1) (4m+n)2
=(4m)2+2·4m·n+n2
=16m2+8mn+n2 ；

跟踪训练
新知探究


(2) 992
=(100-1)2
=1002-2×100×1+12
=10 000-200+1
=9 801.
完全平方公式的常见变形







(1)完全平方公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式.
(2)完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的符号为“+”；若这两项异号，则2ab的符号为“-”.
(3)运用完全平方公式的时候要避免出现形如(a±b)2 = a2±b2 .
随堂练习
1.（2020·陕西）计算：(2x-y)2=（　　）
A. 4x2-4xy+y2
B. 4x2-2xy+y2
C. 4x2-y2
D. 4x2+y2
(2x)2 -2·2x·y+y2
4x2 -4xy+y2
A
解：(1) (-2m-n)2
=(2m+n)2
=(2m)2+2·2m·n+n2
=4m2+4mn+n2 ；
(2) (2x+3y)(-2x-3y)
=-(2x+3y)2
=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]
=-4x2-12xy-9y2 .
2.计算下列式子：
(1) (-2m-n)2 ； (2) (2x+3y)(-2x-3y) .
解：(3) (-4a+5b)2
=(5b-4a)2
=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2
=25b2-40ab+16a2 ；
(4) (x+7y)2
=x2+2·x·7y+(7y)2
=x2+14xy+49y2 .
2.计算下列式子：
(3) (-4a+5b)2 ； (4) (x+7y)2 .
3.（2020·枣庄）图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )
A. ab
B. (a+b)2
C. (a-b)2
D. a2-b2
图1
图2
a
b
4ab
(a+b)2
C
(a+b)2-4ab
=a2+2ab+b2-4ab
=(a-b)2
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2
课堂小结
1.将1052变形正确的是（ ）
解： 1052=(100+5)2=1002+2×100×5+52.
A. 1052=1002+52 B.1052=(100-5)(100+5)
C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
C
拓展提升
2.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ ）
A.28 B.-28 C.24或-24 D.28或-28
D
解：因为(3x-a)2=9x2-6ax+a2，
所以9x2-6ax+a2=9x2-bx+16.
则a2=16，6a=b,
解得a=±4.
当a=4时，b=24；当a=-4时，b=-24.
所以a+b=28或-28.
3.已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2 .
分析：先将m2+n2，(m-n)2变形为用m+n, mn表示的式子，然后将已知整体代入求值.
解：因为m+n=8，mn=6，
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52，
m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40.
解决此类题目应先利用乘法公式将待求值的式子进行恒等变形，然后将已知整体代入求值.