高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）《点到直线的距离公式》教学设计
文档属性
| 名称 | 高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）《点到直线的距离公式》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 683.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-19 07:28:45 | ||
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文档简介
《点到直线的距离公式》教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
点到直线的距离公式.
2.内容解析
距离问题是几何学的基本问题之一.点到直线的距离是几何中常见的问题，是点与直线上所有点的距离中的最小值，是刻画点与直线位置关系的重要几何量.
本课时内容是在建立了直线的方程，研究了两点间距离公式基础上展开的，通过点的坐标与直线方程得到点到直线的距离.点到直线的距离公式的推导方法有坐标法、向量法等多种不同的方法，这些方法是解析几何研究问题时常用的方法，能够充分体现解析几何研究问题的途径.两条平行直线间的距离是点到直线的距离的自然推广.这些公式在后续学习，如判断直线与圆的位置关系等内容中发挥重要作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：点到直线的距离公式的推导.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）经历用坐标法推导点到直线的距离公式的代数运算过程，掌握公式，发展数学运算与逻辑推理素养.
（2）经历用向量法推导点到直线的距离公式的推导过程，掌握用向量法推导的分析过程，体会向量法与坐标法的差异，能比较两种方法的不同特点.
2.目标解析
（1）达成目标（1）的标志是：学生能把点到直线的距离转化为两点间的距离，求出垂线与直线的交点坐标，运用两点间的距离公式求得点到直线的距离，推导出点到直线的距离公式；能用“设而不求”的方法简化点到直线的距离公式的推导过程.
（2）达成目标（2）的标志是：学生能够运用向量法，建立点与直线上任意一点构成的“参考向量”，及其与直线垂直的单位向量之间的关系，通过“参考向量”在与直线垂直的单位向量上的投影向量，运用数量积运算推导出点到直线的距离公式.
三、教学问题诊断分析
运用坐标法求点到直线的距离，计算思路与方法容易想到，但推导过程中运算难度很大，这是本课时的难点之一，用向量法推导点到直线的距离公式，是向量投影、数量积运算的具体应用.学生在上一章学习中已经有了用投影向量的模长刻画距离的经验，将上述经验进行优化，得到更简洁的方法是本课时的另一个难点.
四、教学过程设计
引导语：距离问题是几何学的基本问题之一.上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离就可以由点的坐标与直线的方程确定.如何确定呢？本节课我们研究平面上由点的坐标和直线方程表示的点到直线的距离公式.
1.自主探究，用坐标法推导点到直线的距离公式
问题1：如图1，平面直角坐标系中，已知点，直线：，你能求出点到直线的距离吗？
师生活动：教师引导学生观察图形，并结合图形从距离的定义出发建立求解步骤.点到直线的距离就是从点向直线所作垂线段的长度（为垂足）.学生讨论分析后讲出思路---求垂足的坐标，利用两点间距离公式求，然后师生共同完成以下过程，得出点到直线的距离公式：
（1）求得垂线方程为；
（2）联立方程组，求点的坐标；
（3）代人，求得结果.
设计意图：这个推导过程是坐标法的直接体现，思路自然，但运算化简过程稍显繁杂.师生一起做一方面可以给学生起到示范作用，另一方面也让学生掌握这种运算.运算需要训练和积累.
2.反思求解过程，探索简化方法
问题2：上述推导过程思路自然，但运算较繁.反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗？
师生活动：学生能想到引起复杂运算的原因，一是求点的坐标复杂，二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂.
追问：针对上述原因，观察反思求解过程，能否找到回避计算点的坐标从而简化运算的方法？
师生活动：教师引导学生对比观察两点间距离公式的结构以及通过师生共同分析讨论，运用整体思想，通过构造
从而直接求出
，
代入即可求得.
或者利用（1）式两边平方加上（2）式两边平方直接得到
，
即.
上述运算思路师生共同探讨分析提出，运算过程由学生自己完成.
设计意图：在直接推导完成后引导学生反思引起复杂运算的原因，一方面培养他们反思习惯与反思能力，善于发现问题并研究缘由；另一方面也为寻找简化方法作铺垫.对推导过程的反思与观察需要教师作恰当的引导，针对原有问题需要回避什么，如何回避.这种设计意在培养学生思考分析问题的基本路径，提升运算能力，体会整体代换思想.
3.尝试向量方法，培养创新意识
问题3：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢？
师生活动：请学生回顾在上一章第1.4.2小节中用向量研究空间点到直线的距离的方法.如图2，直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影.
在Rt△中，由勾股定理，得
追问1：你能用上述思路解决问题1吗？
师生活动：如图3，教师引导学生由直线方程写出直线的单位方向向量，在直线上任取点，那么向量在直线上的投影.
在Rt△中，由勾股定理，可求得
.
上述运算过程可由学生自己完成，一方面提升运算能力，另一方面可体验引起复杂运算的原因所在.
追间2：上述过程利用了投影向量以及勾股定理求得点到直线的距离，运算过程也比较繁琐，你认为引起复杂运算的原因是什么？能否将上述过程作简化？
师生活动：学生能发现引起复杂运算的原因是运用了勾股定理求线段长度.引导学生观察图形的垂直关系，可以看作在直线的垂线上的投影向量，只要求出的方向向量即可.
追问3：能否利用直线的方程得到与垂直的直线的方向向量呢？进而根据投影向量的模长得到点到直线的距离呢？
师生活动：学生容易写出直线的斜率为，所以是它的一个方向向量.
（1）由向量的数量积运算可求得与直线垂直的一个单位向量.
（2）在直线上任取点，可得向量.
（3）.
追问4：请你比较一下上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
师生活动：师生共同分析总结：坐标法思路自然，运算过程略显繁琐；向量法需要较强的整体观，构造性强，但可以简化运算.其他推导方法让学生课后查阅资料独立完成.
设计意图：利用向量投影，通过向量运算求得点到直线的距离公式，简化了运算过程.学生通过对比公式推导的不同方法可以体会向量法的优点，提高运用向量研究解决几何中距离问题的意识与能力.
4.巩固应用，解决问题
练习：求点到直线的距离.
师生活动：教师引导学生先把直线的方程写成一般式，然后运用点到直线的距离公式求解，这是公式的直接应用.进一步，可引导学生通过画图或对直线方程的观察，发现方程表示的直线很特殊，可以直接运用横坐标差的绝对值求解.
例 如图4，已知△的三个顶点分别是，求△的面积.
师生活动：教师在黑板上画出示意图，由学生说出解决方案---利用点到直线的距离公式求出边的长和边上的高.并由学生自主完成计算过程.
设计意图：练习和例题的难度都不大，由学生自主思考分析并通过运算解决，培养独立思考独立分析解决问题的能力，熟练运用点到直线的距离公式，通过练习，提醒学生在解决问题时，要根据题目的条件，灵活选用不同的方法.
5.课堂小结、布置作业
问题4：回顾本节课所学知识与学习过程，你能对本节课的研究内容与结论，不同的研究思路与研究方法作个梳理吗？
师生活动：先由学生对研究对象与结论，以及研究思路作梳理，并由部分学生进行汇报，其他同学对不同的研究方法的特点进行补充
设计意图：帮助学生理解推导点到直线的距离公式时不同思路、不同方法的差异，体会不同推导方法蕴含的思想.
布置作业
教科书习题2.3第6，11，12，13，14题.
五、目标检测设计
1.求点到直线的距离.
设计意图：考查学生对点到直线距离公式的掌握情况.
2.点到过点的直线的距离为2，求直线的方程.
设计意图：考查学生对点斜式方程以及点到直线距离公式的掌握情况.
3.已知点到直线的距离为1，求实数的值.
设计意图：考查学生应用点到直线距离公式的能力.
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一、内容和内容解析
1.内容
点到直线的距离公式.
2.内容解析
距离问题是几何学的基本问题之一.点到直线的距离是几何中常见的问题，是点与直线上所有点的距离中的最小值，是刻画点与直线位置关系的重要几何量.
本课时内容是在建立了直线的方程，研究了两点间距离公式基础上展开的，通过点的坐标与直线方程得到点到直线的距离.点到直线的距离公式的推导方法有坐标法、向量法等多种不同的方法，这些方法是解析几何研究问题时常用的方法，能够充分体现解析几何研究问题的途径.两条平行直线间的距离是点到直线的距离的自然推广.这些公式在后续学习，如判断直线与圆的位置关系等内容中发挥重要作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：点到直线的距离公式的推导.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）经历用坐标法推导点到直线的距离公式的代数运算过程，掌握公式，发展数学运算与逻辑推理素养.
（2）经历用向量法推导点到直线的距离公式的推导过程，掌握用向量法推导的分析过程，体会向量法与坐标法的差异，能比较两种方法的不同特点.
2.目标解析
（1）达成目标（1）的标志是：学生能把点到直线的距离转化为两点间的距离，求出垂线与直线的交点坐标，运用两点间的距离公式求得点到直线的距离，推导出点到直线的距离公式；能用“设而不求”的方法简化点到直线的距离公式的推导过程.
（2）达成目标（2）的标志是：学生能够运用向量法，建立点与直线上任意一点构成的“参考向量”，及其与直线垂直的单位向量之间的关系，通过“参考向量”在与直线垂直的单位向量上的投影向量，运用数量积运算推导出点到直线的距离公式.
三、教学问题诊断分析
运用坐标法求点到直线的距离，计算思路与方法容易想到，但推导过程中运算难度很大，这是本课时的难点之一，用向量法推导点到直线的距离公式，是向量投影、数量积运算的具体应用.学生在上一章学习中已经有了用投影向量的模长刻画距离的经验，将上述经验进行优化，得到更简洁的方法是本课时的另一个难点.
四、教学过程设计
引导语：距离问题是几何学的基本问题之一.上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离就可以由点的坐标与直线的方程确定.如何确定呢？本节课我们研究平面上由点的坐标和直线方程表示的点到直线的距离公式.
1.自主探究，用坐标法推导点到直线的距离公式
问题1：如图1，平面直角坐标系中，已知点，直线：，你能求出点到直线的距离吗？
师生活动：教师引导学生观察图形，并结合图形从距离的定义出发建立求解步骤.点到直线的距离就是从点向直线所作垂线段的长度（为垂足）.学生讨论分析后讲出思路---求垂足的坐标，利用两点间距离公式求，然后师生共同完成以下过程，得出点到直线的距离公式：
（1）求得垂线方程为；
（2）联立方程组，求点的坐标；
（3）代人，求得结果.
设计意图：这个推导过程是坐标法的直接体现，思路自然，但运算化简过程稍显繁杂.师生一起做一方面可以给学生起到示范作用，另一方面也让学生掌握这种运算.运算需要训练和积累.
2.反思求解过程，探索简化方法
问题2：上述推导过程思路自然，但运算较繁.反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗？
师生活动：学生能想到引起复杂运算的原因，一是求点的坐标复杂，二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂.
追问：针对上述原因，观察反思求解过程，能否找到回避计算点的坐标从而简化运算的方法？
师生活动：教师引导学生对比观察两点间距离公式的结构以及通过师生共同分析讨论，运用整体思想，通过构造
从而直接求出
，
代入即可求得.
或者利用（1）式两边平方加上（2）式两边平方直接得到
，
即.
上述运算思路师生共同探讨分析提出，运算过程由学生自己完成.
设计意图：在直接推导完成后引导学生反思引起复杂运算的原因，一方面培养他们反思习惯与反思能力，善于发现问题并研究缘由；另一方面也为寻找简化方法作铺垫.对推导过程的反思与观察需要教师作恰当的引导，针对原有问题需要回避什么，如何回避.这种设计意在培养学生思考分析问题的基本路径，提升运算能力，体会整体代换思想.
3.尝试向量方法，培养创新意识
问题3：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢？
师生活动：请学生回顾在上一章第1.4.2小节中用向量研究空间点到直线的距离的方法.如图2，直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影.
在Rt△中，由勾股定理，得
追问1：你能用上述思路解决问题1吗？
师生活动：如图3，教师引导学生由直线方程写出直线的单位方向向量，在直线上任取点，那么向量在直线上的投影.
在Rt△中，由勾股定理，可求得
.
上述运算过程可由学生自己完成，一方面提升运算能力，另一方面可体验引起复杂运算的原因所在.
追间2：上述过程利用了投影向量以及勾股定理求得点到直线的距离，运算过程也比较繁琐，你认为引起复杂运算的原因是什么？能否将上述过程作简化？
师生活动：学生能发现引起复杂运算的原因是运用了勾股定理求线段长度.引导学生观察图形的垂直关系，可以看作在直线的垂线上的投影向量，只要求出的方向向量即可.
追问3：能否利用直线的方程得到与垂直的直线的方向向量呢？进而根据投影向量的模长得到点到直线的距离呢？
师生活动：学生容易写出直线的斜率为，所以是它的一个方向向量.
（1）由向量的数量积运算可求得与直线垂直的一个单位向量.
（2）在直线上任取点，可得向量.
（3）.
追问4：请你比较一下上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
师生活动：师生共同分析总结：坐标法思路自然，运算过程略显繁琐；向量法需要较强的整体观，构造性强，但可以简化运算.其他推导方法让学生课后查阅资料独立完成.
设计意图：利用向量投影，通过向量运算求得点到直线的距离公式，简化了运算过程.学生通过对比公式推导的不同方法可以体会向量法的优点，提高运用向量研究解决几何中距离问题的意识与能力.
4.巩固应用，解决问题
练习：求点到直线的距离.
师生活动：教师引导学生先把直线的方程写成一般式，然后运用点到直线的距离公式求解，这是公式的直接应用.进一步，可引导学生通过画图或对直线方程的观察，发现方程表示的直线很特殊，可以直接运用横坐标差的绝对值求解.
例 如图4，已知△的三个顶点分别是，求△的面积.
师生活动：教师在黑板上画出示意图，由学生说出解决方案---利用点到直线的距离公式求出边的长和边上的高.并由学生自主完成计算过程.
设计意图：练习和例题的难度都不大，由学生自主思考分析并通过运算解决，培养独立思考独立分析解决问题的能力，熟练运用点到直线的距离公式，通过练习，提醒学生在解决问题时，要根据题目的条件，灵活选用不同的方法.
5.课堂小结、布置作业
问题4：回顾本节课所学知识与学习过程，你能对本节课的研究内容与结论，不同的研究思路与研究方法作个梳理吗？
师生活动：先由学生对研究对象与结论，以及研究思路作梳理，并由部分学生进行汇报，其他同学对不同的研究方法的特点进行补充
设计意图：帮助学生理解推导点到直线的距离公式时不同思路、不同方法的差异，体会不同推导方法蕴含的思想.
布置作业
教科书习题2.3第6，11，12，13，14题.
五、目标检测设计
1.求点到直线的距离.
设计意图：考查学生对点到直线距离公式的掌握情况.
2.点到过点的直线的距离为2，求直线的方程.
设计意图：考查学生对点斜式方程以及点到直线距离公式的掌握情况.
3.已知点到直线的距离为1，求实数的值.
设计意图：考查学生应用点到直线距离公式的能力.
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