高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）《2.3直线的交点坐标与距离公式---点到直线的距离公式》教材分析
文档属性
| 名称 | 高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）《2.3直线的交点坐标与距离公式---点到直线的距离公式》教材分析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 853.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-19 07:31:07 | ||
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文档简介
《2.3直线的交点坐标与距离公式》教材分析
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式.
难点：点到直线的距离公式的推导.
三、教科书编写意图及教学建议
初中定性地研究了“相交线与平行线”，建立直线方程后，我们就可以用代数方法对直线的有关问题进行定量研究.也就是说，利用直线的方程，我们不仅能判断两条直线是否相交，而且在相交时能求出交点的位置，在平行时能求出两条平行线间的距离.同样，在平面直角坐标系中，我们可以得到两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式等.通过平面直角坐标系，我们对平面内点、直线之间相互关系的认识深化了.
2.3.3点到直线的距离公式
1.用坐标方法推导点到直线的距离公式
本小节首先设置“探究”，在已知点的坐标和直线的方程的条件下，让学生探究如何求点到直线的距离.
如图1，根据点到直线距离的定义，求点到直线的距离就是求.
根据直线与已知直线垂直，可以获得直线的斜率，进而得到直线的方程，由直线和直线的方程，可以求出它们的交点的坐标，利用两点间的距离公式，求出是最常见的一种方法，也是基本方法.
教科书指出，这种方法思路自然，但运算量较大.教师要询问学生，是否有这样的体会.教科书在分析引起复杂运算原因的基础上，提出探究简化运算方法的任务，采取“设而不求”的策略，将方程组
转化为关于的方程组
将③④两边分别平方后相加，得
.
所以
.
所以
.
教科书没有给出上述完整的过程，教学时，可以先让学生探索求解的过程，然后进行补充完善.
“设而不求”是学生第一次接触，教学时教师要积极引导，“设”的是什么，“求”的是什么.能不能把点到直线的距离用含有所设未知数的式子表达出来，进而得到整个式子的结果，而不是式子中具体未知数的结果.这就是“设而不求”的原因.
2.用向量方法推导点到直线的距离公式
平面向量的有关知识是推导的依据.在本书第一章中用空间向量求点到直线的距离和点到平面的距离都利用了投影向量.这些为本节课用向量方法推导平面上点到直线的距离公式提供了启示.
以上述内容为基础，教科书介绍用向量方法推导点到直线的距离公式.在图2中，点到直线的距离，就是向量的模.
点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的.这个最短的距离是存在的、确定的，而且是唯一的.
如图2，由投影向量的概念知道，设是直线上任意一点，则是在上的投影向量（图2）.求出就得到点到直线的距离公式，步骤如下：
（1）得到的表示式；
（2）求出；
（3）求出；
（4）求出，即求出.
在步骤（1）中，如果的方向与的方向相同，那么，从而；如果的方向与的方向相反，那么，从而.无论什么方向，总有.
在步骤（2）中，利用直线的方程得到与直线的方向向量垂直的单位向量.关键是得到是与直线的方向向量垂直的向量.除教科书介绍的方法外，再介绍两种方法.
方法1：由，得，由此可知直线的斜率为.由可知，直线的斜率与直线的斜率乘积为，所以直线的斜率为.所以直线的方向向量是，即是与直线的方向量垂直的向量，因为，所以是与直线的方向向量垂直的向量.
方法2：由，得，由此可知直线的斜率为，所以直线的方向量是.设是与直线的方向量垂直的向量，则，即.取，则是与直线的方向向量垂直的向量.
在步骤（3）中，的表达式中出现.由点在直线上，得，所以.
在步骤（4）中，取绝对值，得到点到直线的距离公式.
与求出点的坐标，进而求出的方法相比，向量方法避开了求出点的坐标，并计算的过程，因而更为简捷.
3.其他推导方法
除了上述两种方法外，还有其他推导方法.下面再给出一种推导方法.
在两点间距离公式的推导过程中，为了得到公式，我们把它转化为与坐标轴平行的两段距离，因为与坐标轴平行的距离容易求，它是一维的，然后运用勾股定理.
为了得到，我们考虑与坐标轴平行的线段，把它转化为与坐标轴平行的线段的关系.具体看下面的过程.
如图3，设，则直线与轴和轴都相交，过点分别作轴和轴的平行线，交直线于点和点，则直线的方程为，点的坐标为；直线的方程为，点的坐标为.
所以
，
，
.
设，由三角形的面积公式可得
，
所以
.
可以验证，当，或时，上述公式仍然成立.
因此，点到直线：的距离
.
这种方法充分借助面积，用直角三角形两条直角边的乘积除以斜边得到斜边上的高，即点到直线的距离.虽然借助了直角三角形面积的有关知识，但是上述证明方法中运算量依然很大，包括求交点的坐标、两条直角边的长度、斜边的长度等.
4.例5的教学
在例5中，将直线的方程写成的形式，再用点到直线的距离公式求解.在本例中，直线的方程还可以写成，这表明直线与轴平行，过点作直线的垂线，垂足为，则点的横坐标为，所求距离.
教学时，要注意点到直线的距离公式中，直线方程的形式为一般式时，可以直接运用公式；不是一般式的，要先化为一般式.在具体问题中，也可以结合直线本身的特点，进行求解.如本例中的直线与轴垂直（或与轴平行），此时直接运用点的横坐标之差的绝对值计算更简洁.
5.例6的教学
由三角形的面积公式可知，要求三角形的面积，只要求出边的长和边上的高即可.由两点间的距离公式，可以求出边的长；边上的高就是点到直线的距离，所以先求出直线的方程，再由点到直线的距离公式求出边上的高，从而求出的面积.教学时，教师要引导学生分析解决问题的思路，让学生回答如何求得三角形的面积.思路明确了，可以放手让学生独立完成.
例6还有其他解法.如图4，延长与轴相交于点.分别过点作轴的垂线，垂足分别为，
由已知得，直线的方程为
，
即.
在上面的方程中，当时，，所以点的坐标是.
这种方法充分运用图形的几何性质，通过割补得到三角形的面积.无论是获得，还是的面积，都用到了直线与轴相交，通过它们的方程求得相应点的坐标，进而求得相关底边的长度.这种方法是综合法和坐标法结合使用，充分借助图形本身的几何性质，也就是割补三角形面积，而这两个三角形的面积容易求出.这种方法，有一定的技巧，很难想到.教学时可以先让学生思考，在思考的基础上，教师提示割补的方法.方法清楚后，让学生独立完成后续的过程.
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一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式.
难点：点到直线的距离公式的推导.
三、教科书编写意图及教学建议
初中定性地研究了“相交线与平行线”，建立直线方程后，我们就可以用代数方法对直线的有关问题进行定量研究.也就是说，利用直线的方程，我们不仅能判断两条直线是否相交，而且在相交时能求出交点的位置，在平行时能求出两条平行线间的距离.同样，在平面直角坐标系中，我们可以得到两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式等.通过平面直角坐标系，我们对平面内点、直线之间相互关系的认识深化了.
2.3.3点到直线的距离公式
1.用坐标方法推导点到直线的距离公式
本小节首先设置“探究”，在已知点的坐标和直线的方程的条件下，让学生探究如何求点到直线的距离.
如图1，根据点到直线距离的定义，求点到直线的距离就是求.
根据直线与已知直线垂直，可以获得直线的斜率，进而得到直线的方程，由直线和直线的方程，可以求出它们的交点的坐标，利用两点间的距离公式，求出是最常见的一种方法，也是基本方法.
教科书指出，这种方法思路自然，但运算量较大.教师要询问学生，是否有这样的体会.教科书在分析引起复杂运算原因的基础上，提出探究简化运算方法的任务，采取“设而不求”的策略，将方程组
转化为关于的方程组
将③④两边分别平方后相加，得
.
所以
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所以
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教科书没有给出上述完整的过程，教学时，可以先让学生探索求解的过程，然后进行补充完善.
“设而不求”是学生第一次接触，教学时教师要积极引导，“设”的是什么，“求”的是什么.能不能把点到直线的距离用含有所设未知数的式子表达出来，进而得到整个式子的结果，而不是式子中具体未知数的结果.这就是“设而不求”的原因.
2.用向量方法推导点到直线的距离公式
平面向量的有关知识是推导的依据.在本书第一章中用空间向量求点到直线的距离和点到平面的距离都利用了投影向量.这些为本节课用向量方法推导平面上点到直线的距离公式提供了启示.
以上述内容为基础，教科书介绍用向量方法推导点到直线的距离公式.在图2中，点到直线的距离，就是向量的模.
点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的.这个最短的距离是存在的、确定的，而且是唯一的.
如图2，由投影向量的概念知道，设是直线上任意一点，则是在上的投影向量（图2）.求出就得到点到直线的距离公式，步骤如下：
（1）得到的表示式；
（2）求出；
（3）求出；
（4）求出，即求出.
在步骤（1）中，如果的方向与的方向相同，那么，从而；如果的方向与的方向相反，那么，从而.无论什么方向，总有.
在步骤（2）中，利用直线的方程得到与直线的方向向量垂直的单位向量.关键是得到是与直线的方向向量垂直的向量.除教科书介绍的方法外，再介绍两种方法.
方法1：由，得，由此可知直线的斜率为.由可知，直线的斜率与直线的斜率乘积为，所以直线的斜率为.所以直线的方向向量是，即是与直线的方向量垂直的向量，因为，所以是与直线的方向向量垂直的向量.
方法2：由，得，由此可知直线的斜率为，所以直线的方向量是.设是与直线的方向量垂直的向量，则，即.取，则是与直线的方向向量垂直的向量.
在步骤（3）中，的表达式中出现.由点在直线上，得，所以.
在步骤（4）中，取绝对值，得到点到直线的距离公式.
与求出点的坐标，进而求出的方法相比，向量方法避开了求出点的坐标，并计算的过程，因而更为简捷.
3.其他推导方法
除了上述两种方法外，还有其他推导方法.下面再给出一种推导方法.
在两点间距离公式的推导过程中，为了得到公式，我们把它转化为与坐标轴平行的两段距离，因为与坐标轴平行的距离容易求，它是一维的，然后运用勾股定理.
为了得到，我们考虑与坐标轴平行的线段，把它转化为与坐标轴平行的线段的关系.具体看下面的过程.
如图3，设，则直线与轴和轴都相交，过点分别作轴和轴的平行线，交直线于点和点，则直线的方程为，点的坐标为；直线的方程为，点的坐标为.
所以
，
，
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设，由三角形的面积公式可得
，
所以
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可以验证，当，或时，上述公式仍然成立.
因此，点到直线：的距离
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这种方法充分借助面积，用直角三角形两条直角边的乘积除以斜边得到斜边上的高，即点到直线的距离.虽然借助了直角三角形面积的有关知识，但是上述证明方法中运算量依然很大，包括求交点的坐标、两条直角边的长度、斜边的长度等.
4.例5的教学
在例5中，将直线的方程写成的形式，再用点到直线的距离公式求解.在本例中，直线的方程还可以写成，这表明直线与轴平行，过点作直线的垂线，垂足为，则点的横坐标为，所求距离.
教学时，要注意点到直线的距离公式中，直线方程的形式为一般式时，可以直接运用公式；不是一般式的，要先化为一般式.在具体问题中，也可以结合直线本身的特点，进行求解.如本例中的直线与轴垂直（或与轴平行），此时直接运用点的横坐标之差的绝对值计算更简洁.
5.例6的教学
由三角形的面积公式可知，要求三角形的面积，只要求出边的长和边上的高即可.由两点间的距离公式，可以求出边的长；边上的高就是点到直线的距离，所以先求出直线的方程，再由点到直线的距离公式求出边上的高，从而求出的面积.教学时，教师要引导学生分析解决问题的思路，让学生回答如何求得三角形的面积.思路明确了，可以放手让学生独立完成.
例6还有其他解法.如图4，延长与轴相交于点.分别过点作轴的垂线，垂足分别为，
由已知得，直线的方程为
，
即.
在上面的方程中，当时，，所以点的坐标是.
这种方法充分运用图形的几何性质，通过割补得到三角形的面积.无论是获得，还是的面积，都用到了直线与轴相交，通过它们的方程求得相应点的坐标，进而求得相关底边的长度.这种方法是综合法和坐标法结合使用，充分借助图形本身的几何性质，也就是割补三角形面积，而这两个三角形的面积容易求出.这种方法，有一定的技巧，很难想到.教学时可以先让学生思考，在思考的基础上，教师提示割补的方法.方法清楚后，让学生独立完成后续的过程.
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