高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）《2.3直线的交点坐标与距离公式---两点间的距离公式》教材分析
文档属性
| 名称 | 高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）《2.3直线的交点坐标与距离公式---两点间的距离公式》教材分析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 585.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-19 07:32:15 | ||
图片预览
文档简介
《2.3直线的交点坐标与距离公式》教材分析
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式.
难点：点到直线的距离公式的推导.
三、教科书编写意图及教学建议
初中定性地研究了“相交线与平行线”，建立直线方程后，我们就可以用代数方法对直线的有关问题进行定量研究.也就是说，利用直线的方程，我们不仅能判断两条直线是否相交，而且在相交时能求出交点的位置，在平行时能求出两条平行线间的距离.同样，在平面直角坐标系中，我们可以得到两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式等.通过平面直角坐标系，我们对平面内点、直线之间相互关系的认识深化了.
2.3.2两点间的距离公式
平面上两点间的距离公式是解析几何的基本公式.点到直线的距离公式的获得，圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程的建立等都是以此为基础的.
1.平面上两点间距离公式的推导
本小节首先设置“探究”，提出问题：已知平面内两点的坐标，如何求出这两点间的距离呢？两点间的距离是连接这两点间线段的长度.在必修第二册“第六章 平面向量及其应用”中已经过向量及其运算的坐标表示，给出的模长公式.这里给出两点的坐标，联系向量知识，把求转化为已知问题.
由，与“一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标”得，；再由平面向量数量积运算的坐标表示得
，即.
这样已知两点的坐标，就可以由上式求出这两点间的距离.
第73页的“思考”，关键是让学生思考在平面直角坐标系中如何构造直角三角形.教学时要据平面直角坐标系的特点，先让学生回答，然后归纳.我们一般选择与坐标轴平行（或垂直）的直线构造直角三角形，这样与坐标轴平行（或垂直）的线段的长度容易用坐标表示.构造直角三角形后，我们就可以用勾股定理推导两点间的距离公式，并将这种方法与向量法进行比较.平面上两点间的距离公式实质是勾股定理的代数表示.
用勾股定理推导两点间距离公式需要分情况进行讨论：
（1）是坐标轴上的两点
如果是轴上的两点，那么点的坐标分别为.可以证明，无论点在原点的同侧异侧，或其中一点为原点，都有.
类似地，如果是轴上的两点，那么.
（2）直线与坐标轴平行
如图1，直线与轴平行.分别过点作轴的垂线，垂足分别为，则点的坐标分别为.由（1）得.所以
类似地，如果直线与轴平行，可以证明.
（3）直线与轴、轴都不平行
如图2，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条直线相交于点，则，点的坐标是.，.由勾股定理，得
容易发现，对于（1）（2）两种情况，的计算公式与上式一致.所以对于任意两点，都有这样我们得到平面上两点间的距离公式.
可以看到，用勾股定理推导平面上两点间的距离公式，不仅需要分情况讨论，还需要添加辅助线构造直角三角形，而向量法比用勾股定理推导方法简洁.
2.例3的教学
在例3中，设点的坐标为，由平面上两点间的距离公式可以用含的式子表示.再由得到含的方程，解方程求出.就可以由坐标确定所求的点，并由两点间的距离公式求出的值.教学时要注意，运用距离公式求解时，往往需要解二次方程，二次方程有两个根：两根相等时，是一个点；两根不相等时，是两个点.
3.例4的教学
（1）例4的证明过程
例4是用坐标法证明平面几何命题成立.用综合法证明这个命题，需要添加辅助线，反复运用勾股定理，有一定难度.这个结论有时被称为“平行四边形的勾股定理”或“广义勾股定理”.
用坐标法证明，首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量.平面直角坐标系建立得适当，可以使运算简化.本例中，以的顶点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系.这样，点的横坐标与纵坐标都为0，点的纵坐标为0.
点的坐标确定后，我们需要由它们的坐标确定的第四个顶点的坐标，这是证明本例的关键，同时也是个难点，需要综合应用平行四边形的性质.
如图3，过点作的垂线，与的延长线相交于点，过点作的垂线，垂足为，则，.在中，因为∥，所以，即点的纵坐标为.又，所以Rt≌Rt，所以.因此，即点的横坐标为.综上所述，点的坐标为.
求点的坐标还可以采用如下的方法.
在中，点的坐标是，设点的坐标为，点的坐标为.由的对角线互相平分可知，的中点也是的中点.的中点的坐标是，设点的的坐标是，则的中点的坐标是，所以，.所以，即点的坐标为.
接下来，由两点间的距离公式得到的表达式.进而得到的表达式，从而证得本例中的平面几何命题成立.
（2）用坐标法解决平面几何问题的基本步骤
在必修第二册“第六章 平面向量及其应用”中，我们曾按照向量法的“三步曲”证明过这个命题，即建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系.用坐标法解决这个问题的基本步骤与向量法完全类似，即建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；进行代数运算；把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
例4的教学中，可以引导学生建立不同的坐标系，如根据平行四边形的对角线互相平分，以对角线的交点为原点，一条对角线所在直线为轴建立坐标系，并进行比较，让学生体验“适当的坐标系”的含义.
5 / 5
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式.
难点：点到直线的距离公式的推导.
三、教科书编写意图及教学建议
初中定性地研究了“相交线与平行线”，建立直线方程后，我们就可以用代数方法对直线的有关问题进行定量研究.也就是说，利用直线的方程，我们不仅能判断两条直线是否相交，而且在相交时能求出交点的位置，在平行时能求出两条平行线间的距离.同样，在平面直角坐标系中，我们可以得到两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式等.通过平面直角坐标系，我们对平面内点、直线之间相互关系的认识深化了.
2.3.2两点间的距离公式
平面上两点间的距离公式是解析几何的基本公式.点到直线的距离公式的获得，圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程的建立等都是以此为基础的.
1.平面上两点间距离公式的推导
本小节首先设置“探究”，提出问题：已知平面内两点的坐标，如何求出这两点间的距离呢？两点间的距离是连接这两点间线段的长度.在必修第二册“第六章 平面向量及其应用”中已经过向量及其运算的坐标表示，给出的模长公式.这里给出两点的坐标，联系向量知识，把求转化为已知问题.
由，与“一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标”得，；再由平面向量数量积运算的坐标表示得
，即.
这样已知两点的坐标，就可以由上式求出这两点间的距离.
第73页的“思考”，关键是让学生思考在平面直角坐标系中如何构造直角三角形.教学时要据平面直角坐标系的特点，先让学生回答，然后归纳.我们一般选择与坐标轴平行（或垂直）的直线构造直角三角形，这样与坐标轴平行（或垂直）的线段的长度容易用坐标表示.构造直角三角形后，我们就可以用勾股定理推导两点间的距离公式，并将这种方法与向量法进行比较.平面上两点间的距离公式实质是勾股定理的代数表示.
用勾股定理推导两点间距离公式需要分情况进行讨论：
（1）是坐标轴上的两点
如果是轴上的两点，那么点的坐标分别为.可以证明，无论点在原点的同侧异侧，或其中一点为原点，都有.
类似地，如果是轴上的两点，那么.
（2）直线与坐标轴平行
如图1，直线与轴平行.分别过点作轴的垂线，垂足分别为，则点的坐标分别为.由（1）得.所以
类似地，如果直线与轴平行，可以证明.
（3）直线与轴、轴都不平行
如图2，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条直线相交于点，则，点的坐标是.，.由勾股定理，得
容易发现，对于（1）（2）两种情况，的计算公式与上式一致.所以对于任意两点，都有这样我们得到平面上两点间的距离公式.
可以看到，用勾股定理推导平面上两点间的距离公式，不仅需要分情况讨论，还需要添加辅助线构造直角三角形，而向量法比用勾股定理推导方法简洁.
2.例3的教学
在例3中，设点的坐标为，由平面上两点间的距离公式可以用含的式子表示.再由得到含的方程，解方程求出.就可以由坐标确定所求的点，并由两点间的距离公式求出的值.教学时要注意，运用距离公式求解时，往往需要解二次方程，二次方程有两个根：两根相等时，是一个点；两根不相等时，是两个点.
3.例4的教学
（1）例4的证明过程
例4是用坐标法证明平面几何命题成立.用综合法证明这个命题，需要添加辅助线，反复运用勾股定理，有一定难度.这个结论有时被称为“平行四边形的勾股定理”或“广义勾股定理”.
用坐标法证明，首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量.平面直角坐标系建立得适当，可以使运算简化.本例中，以的顶点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系.这样，点的横坐标与纵坐标都为0，点的纵坐标为0.
点的坐标确定后，我们需要由它们的坐标确定的第四个顶点的坐标，这是证明本例的关键，同时也是个难点，需要综合应用平行四边形的性质.
如图3，过点作的垂线，与的延长线相交于点，过点作的垂线，垂足为，则，.在中，因为∥，所以，即点的纵坐标为.又，所以Rt≌Rt，所以.因此，即点的横坐标为.综上所述，点的坐标为.
求点的坐标还可以采用如下的方法.
在中，点的坐标是，设点的坐标为，点的坐标为.由的对角线互相平分可知，的中点也是的中点.的中点的坐标是，设点的的坐标是，则的中点的坐标是，所以，.所以，即点的坐标为.
接下来，由两点间的距离公式得到的表达式.进而得到的表达式，从而证得本例中的平面几何命题成立.
（2）用坐标法解决平面几何问题的基本步骤
在必修第二册“第六章 平面向量及其应用”中，我们曾按照向量法的“三步曲”证明过这个命题，即建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系.用坐标法解决这个问题的基本步骤与向量法完全类似，即建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；进行代数运算；把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
例4的教学中，可以引导学生建立不同的坐标系，如根据平行四边形的对角线互相平分，以对角线的交点为原点，一条对角线所在直线为轴建立坐标系，并进行比较，让学生体验“适当的坐标系”的含义.
5 / 5