2.3.1两条直线的交点坐标
1.若三条直线相交于一点，则( )
A. B. C.2 D.
2.一次函数和图象的交点组成的集合是( )
A. B. C. D.
3.若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.直线(是不等于的整数)与直线的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线有( )
A.6条 B.7条 C.8条 D.无数条
5.已知直线与直线的交点在轴上，则的值为__________.
6.直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为________________.
7.已知直线与直线垂直，且垂足为，则的值为________________.
8.设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为____________________.
9.已知在平行四边形中，，点是边的中点，与交于点.
(1)求直线的方程；
(2)求点的坐标.
10.已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线.
（1）求直线的方程；
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由，得，所以两直线的交点为，将代入，得.
2.答案：D
解析：因为，所以两函数图象的交点组成的集合是.故选D.
3.答案：A
解析：因为直线与直线相交，所以.由，解得，即两直线的交点坐标为.由题意，可得，所以，解得.
4.答案：B
解析：联立直线与直线，，得，，∵为整数，p也为整数.∴P的取值范围为：，且，.而，，有四条直线，，，只有三条直线，那么满足条件的直线有7条.故选B.
5.答案：-4
解析：因为两直线的交点在轴上，且直线与轴的交点是，
所以点在直线上，则，解得.
6.答案：
解析：设直线与的交点为.由已知条件，得直线与的交点为，且满足，即，解得，即，所以直线的方程为，即.
7.答案：
解析：由，可得，解得，所以直线的方程为.由题意，可知是两条直线的交点，将代入直线，得.将代入直线，得，所以.
8.答案：或
解析：方法一：由，得，
所以两直线的交点坐标为.
由题意可得所求直线的斜率为1或，
所以所求直线的方程为或，
即或.
方法二：设所求的直线方程为，
整理得，由题意，得，
解得或，所以所求的直线方程为或.
9.答案：(1)设点的坐标为，
因为在平行四边形中，，
所以线段所在直线的斜率相等，线段所在直线的斜率相等，
则，解得，即.
又点是边的中点，所以，
所以直线的方程为，即.
(2)因为，
所以直线的方程为，
即.
由，得，即点的坐标为.
10.答案：（1）由，
解得，
由于点的坐标是，
则所求直线与垂直，
可设直线的方程为，
把点的坐标代入得 ，
即，
所求直线的方程为.
（2）由直线的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是、，
所以直线与两坐标轴围成三角形的面积
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1 / 42.3.2两点间的距离公式
1.已知平面上两点，则的最小值为( )
A.3 B. C.2 D.
2.已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为( )
A.10 B.5 C.8 D.6
3.已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是( )
A. B. C. D.
4.以三点为顶点的三角形是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为( )
A. B. C. D.
6.已知两点间的距离为5，则的值为__________.
7.已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，则点的坐标为__________，直线的方程为______________.
8.已知函数的图象与轴交于点，函数的图象与轴交于点，点在直线上移动，点，则的最小值为__________________.
9.如图，和是在直线同侧的两个等边三角形.试用坐标法证明：.
10.在平面直角坐标系中，已知点和.
(1)若是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程.
(2)若是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及正方形的另外两个顶点的坐标.
答案以及解析
1.答案：D
解析：(当且仅当时等号成立)，.
2.答案：A
解析：设，则，即，所以.
3.答案：D
解析：由中点坐标公式得出，所以，由两点间距离公式得到原点(0，0)的距离为，故选D.
4.答案：B
解析：根据两点间的距离公式，得，
，，∴.
又，∴△为等腰三角形.
5.答案：C
解析：点关于轴的对称点为，则光线从到经过的路程为的长度，即.
6.答案：或
解析：由题意得解得或.
7.答案：或；或
解析：点在直线上，设.
，
整理得，解得或5.
点的坐标为或.
直线的方程为或.
8.答案：
解析：易知，所以直线.又，设，则，所以(当且仅当时等号成立)，所以的最小值为.
9.答案：如图所示，以点为坐标原点，取所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
设和的边长分别为和，
则，
由距离公式，得
，
，
所以.
10.答案：(1)因为，
所以，直线的方程为，
设这个正方形过顶点的另一条边所在的直线为，所以直线的斜率，直线的方程为，
整理得所求两条直线的方程为和.
(2)因为直线的方程为，
所以另外一条对角线所在直线的斜率为，
设的中点为，则，
易知另外一条对角线过点，
所以，整理得.
设正方形的另外两个顶点坐标分别为，
因为在直线上，
所以，①
且，
所以，②
由①②，得或，即正方形的另外两个顶点分别为.
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3 / 52.3.3点到直线的距离公式
1.已知点到直线的距离为1，则等于( )
A. B. C. D.
2.点到直线距离的最大值为( )
A．1 B． C． D．2
3.若点在直线上，则的最小值是( )
A．2 B． C．4 D．
4.点到直线的距离的最小值为( )
A.4 B. C. D.
5.设直线与直线的交点为，则到直线的距离的最大值为( )
A. B.4 C. D.
6.已知平面内两点到直线的距离分別为则满足条件 的直线的条数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
7.已知直线过点且与点等距离，则直线的方程为 ______ .
8.已知点.
(1)求过点且与原点的距离为2的直线的方程.
(2)是否存在过点且与原点的距离为6的直线 若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.
9.已知直线过两直线的交点，且两点到直线的距离相等，求直线的方程.
10.已知三边所在直线的方程分别为，.
(1)判断的形状；
(2)当边上的高为1时，求实数的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由点到直线的距离公式，得，即.，故选B.
2.答案：B
解析：解法一：由点到直线的距离公式知，点到直线的距离.
当时，；当时，，要使最大，需且最小，当时，，故选B.
解法二：记点，直线恒过点，当垂直于直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故选B.
3.答案：C
解析：因为在直线上，所以，则利用表示为直线上点到原点距离的平方的最小值来分析可知，为4
4.答案：C
解析：点到直线的距离为.故选C.
5.答案：A
解析：由，得，故.直线的方程可整理为，故直线过定点.因为点到直线的距离，当且仅当时等号成立，所以，故选A.
6.答案：B
解析：由题知满足题意的直线在线段两侧各有1条，又因为，所以还有1条为过线段的一点且与垂直 的直线，故共有3条直线满足题意.故选B.
7.答案：或
解析：当直线斜率不存在时，直线方程为，不符合题意，
设直线斜率为k，则直线l的方程为，整理得，
点A到直线的距离为，
点B到直线的距离为，
∴，求得或
∴直线l的方程为：或，
故答案为：或.
8.答案：(1)①当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设斜率为，
则直线方程为，
即.
根据题意，得，解得，
所以直线方程为.
故符合题意的直线方程为或.
(2)不存在.
过点且与原点的距离最大的直线为过点且与垂直的直线，
此时最大距离为，
而，故不存在这样的直线.
9.答案：由，得，即交点为.
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由题意得，
解得，
所以直线的方程为，即.
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意.
综上，可知所求直线的方程为或.
10.答案：(1)直线的斜率为，直线的斜率为，所以，所以直线与互相垂直，因此为直角三角形.
(2)由，得，即点坐标为.
由点到直线的距离公式，得点到边的距离即BC边上的高为
，
所以，即，
解得或.
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