十五 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2,则直线l的方程可以为 ( )
A.3x+4y-21=0 B.4x+3y-21=0
C.x=3 D.y=3
2.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.若直线l平行于直线3x+y-2=0且原点到直线l的距离为,则直线l的方程是 ( )
A.3x+y±10=0 B.3x+y±=0
C.x-3y±10=0 D.x-3y±=0
4.已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c等于 ( )
A.-12 B.48
C.36 D.-12或48
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知直线l1:ax-y-1=0,直线l2:x+y-3=0.若直线l1的倾斜角为,则a= ;若l1∥l2,则l1,l2之间的距离为 .
6.已知点A(-1,2),B(1,4),若直线l过点M(-2,-3),且A,B到直线l的距离相等,则直线l的一般式方程为 .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知直线l:mx+y-3m-1=0恒过定点A.
(1)若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程.
(2)若直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,求直线l的方程.
【加练·固】
已知直线l经过点P(-2,1),且与直线x+y=0垂直.
(1)求直线l的方程.
(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为,求直线m的方程.
8.已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在直线方程为x+3y-2=0,求其他三边所在直线的方程.
(15分钟·30分)
1.(5分)两平行直线l1,l2分别过点P(1,3),Q(2,1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的取值范围是 ( )
A.(0,+∞) B.[0,]
C.(0,] D.[0,]
2.(5分)已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点P的坐标为( )
A.(0,-2) B.(2,4)
C.(0,-2)或(2,4) D.(1,1)
3.(5分)在直线x+3y=0上求一点,使它到原点的距离和到直线x+3y+2=0的距离相等,则此点坐标是 .
4.(5分)已知直线l:y=2ax+(a-2)过第一、三、四象限,其中a∈Z,则点A(1,-3)到直线l的距离为 .
5.(10分)在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(-1,3)、B(3,-4),边AC上的高线所在的直线方程为2x+3y+6=0,边BC上的中线所在的直线方程为2x+3y-7=0.
(1)求点B到直线AC的距离.
(2)求△ABC的面积.
1.在平面直角坐标系中,坐标原点O到过点A(cos 130°,sin 130°),
B(cos 70°,sin 70°)的直线距离为 ( )
A. B. C. D.1
2.已知直线l1:x+a2y+1=0和直线l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R).
(1)若l1∥l2,求b的取值范围.
(2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值.
【加练·固】
已知在△ABC中,A(1,1),B(m,),C(4,2)(1
十五 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2,则直线l的方程可以为 ( )
A.3x+4y-21=0 B.4x+3y-21=0
C.x=3 D.y=3
【解析】选AC.直线l:x=3满足条件.直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y-3=k(x-3),即kx-y+3-3k=0.由题意可得:=2,
解得k=-,所以直线l的方程为:3x+4y-21=0.
综上可得:直线l的方程为:x=3或3x+4y-21=0.
2.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选C.设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为=,因此,S△ABC=×2×=5.
3.若直线l平行于直线3x+y-2=0且原点到直线l的距离为,则直线l的方程是 ( )
A.3x+y±10=0 B.3x+y±=0
C.x-3y±10=0 D.x-3y±=0
【解析】选A.设与直线3x+y-2=0平行的直线方程为3x+y+m=0,由原点到直线l的距离为,得=,则m=±10,所以直线l的方程是3x+y±10=0.
4.已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c等于 ( )
A.-12 B.48
C.36 D.-12或48
【解析】选D.将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以b=8.由=3解得c=-20或c=40,所以b+c=-12或48.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知直线l1:ax-y-1=0,直线l2:x+y-3=0.若直线l1的倾斜角为,则a= ;若l1∥l2,则l1,l2之间的距离为 .
【解析】根据题意,直线l1:ax-y-1=0,即y=ax-1,其斜率k=a,
若直线l1的倾斜角为,则其斜率k=tan=1,则有a=1,
若l1∥l2,则有a×1=(-1)×1,解得a=-1,
此时l1的方程为-x-y-1=0,即x+y+1=0,
则l1,l2之间的距离d==2.
答案:1 2
6.已知点A(-1,2),B(1,4),若直线l过点M(-2,-3),且A,B到直线l的距离相等,则直线l的一般式方程为 .
【解析】①当直线l与直线AB平行时,直线AB的斜率k==1,
此时直线l的方程为y+3=x+2,即x-y-1=0;
②当直线l过线段AB的中点时,AB的中点的坐标为(0,3),
此时直线l的方程为=,即3x-y+3=0.
综上知,直线l的方程为x-y-1=0或3x-y+3=0.
答案:x-y-1=0或3x-y+3=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知直线l:mx+y-3m-1=0恒过定点A.
(1)若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程.
(2)若直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,求直线l的方程.
【解析】(1)因为直线mx+y-3m-1=0恒过定点A.所以(x-3)m+y-1=0,由,得A(3,1),设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为x-2y+a=0,把A(3,1)代入,得:3-2+a=0,解得a=-1,所以直线l的方程为x-2y-1=0.
(2)直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,成立;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,原点O到直线l的距离d==3,解得k=-,直线l的方程为:y-1=-(x-3),即4x+3y-15=0.综上,直线l的方程为x=3或4x+3y-15=0.
【加练·固】
已知直线l经过点P(-2,1),且与直线x+y=0垂直.
(1)求直线l的方程.
(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为,求直线m的方程.
【解析】(1)由题意知直线l的斜率为1,所求直线方程为y-1=x+2,即x-y+3=0.
(2)由直线m与直线l平行,可设直线m的方程为x-y+c=0,由点到直线的距离公式得=,即|c-3|=2,解得c=1或c=5.
所以所求直线m的方程为x-y+1=0或x-y+5=0.
8.已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在直线方程为x+3y-2=0,求其他三边所在直线的方程.
【解析】因为由解得所以中心坐标为(-1,0).所以中心到已知边的距离为=.设正方形与相邻已知边的两边方程分别为x+3y+m=0和3x-y+n=0.因为正方形中心到各边距离相等,所以=和=.所以m=4或m=-2(舍去),n=6或n=0.所以其他三边所在直线的方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0.
(15分钟·30分)
1.(5分)两平行直线l1,l2分别过点P(1,3),Q(2,1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的取值范围是 ( )
A.(0,+∞) B.[0,]
C.(0,] D.[0,]
【解析】选C.当平行线趋近一条直线时,两条直线的距离最小,当平行线与PQ垂直时距离最大,且最大距离为PQ==,故选C.
2.(5分)已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点P的坐标为( )
A.(0,-2) B.(2,4)
C.(0,-2)或(2,4) D.(1,1)
【解析】选C.直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得=, 整理得|t|=1,所以t=1或-1.当t=1时,点P的坐标为(2,4);当t=-1时,点P的坐标为(0,-2).
3.(5分)在直线x+3y=0上求一点,使它到原点的距离和到直线x+3y+2=0的距离相等,则此点坐标是 .
【解析】由于点在直线x+3y=0上,设点的坐标为(-3a,a),又因为直线x+3y=0与直线x+3y+2=0平行,则两平行线间的距离为=,根据题意有=,
解得a=±.
答案:或
4.(5分)已知直线l:y=2ax+(a-2)过第一、三、四象限,其中a∈Z,则点A(1,-3)到直线l的距离为 .
【解析】因为直线l:y=2ax+(a-2)过第一、三、四象限,所以所以0又a∈Z,所以a=1,
所以直线l的方程为:y=2x-1,
即2x-y-1=0,
所以点A(1,-3)到直线l的距离为:==.
答案:
5.(10分)在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(-1,3)、B(3,-4),边AC上的高线所在的直线方程为2x+3y+6=0,边BC上的中线所在的直线方程为2x+3y-7=0.
(1)求点B到直线AC的距离.
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)由题意,kAC=,直线AC的方程为y-3=(x+1),即3x-2y+9=0.
点B到直线AC的距离d==2.
(2)设C(m,n),则BC的中点坐标为,
则
解得即C(1,6),
所以|AC|==.
所以△ABC的面积S=|AC|·d=13.
1.在平面直角坐标系中,坐标原点O到过点A(cos 130°,sin 130°),
B(cos 70°,sin 70°)的直线距离为 ( )
A. B. C. D.1
【解析】选C.kAB===
==,根据诱导公式可知:B(sin 20°,cos 20°),
所以经过A,B两点的直线方程为:
y-cos 20°=(x-sin 20°)
即sin 10°x-cos 10°y+cos 10°cos 20°-sin 10°sin 20°=0,
即sin 10°x-cos 10°y+=0,
所以原点O到直线的距离d==.
2.已知直线l1:x+a2y+1=0和直线l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R).
(1)若l1∥l2,求b的取值范围.
(2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值.
【解析】 (1)因为l1∥l2,
所以-b-(a2+1)a2=0,
即b=-a2(a2+1)=-a4-a2=-+,
因为a2≥0,所以b≤0.
又因为a2+1≠3,
所以b≠-6.
故b的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0].
(2)因为l1⊥l2,所以(a2+1)-a2b=0,显然a≠0,
所以ab=a+,|ab|=≥2,
当且仅当a=±1时等号成立,
因此|ab|的最小值为2.
【加练·固】
已知在△ABC中,A(1,1),B(m,),C(4,2)(1【解析】因为A(1,1),C(4,2),
所以AC==.
又直线AC的方程为x-3y+2=0,
所以点B到直线AC的距离d=.
所以S=S△ABC=|AC|·d=|m-3+2|=,
因为1所以1<<2,0≤<,
所以S=-,
当且仅当=,
即m=时,S最大.
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4 / 12十四 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值可以是 ( )
A.-24 B.6 C.-6 D.24
2.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4)三点,则的值为 ( )
A. B. C.3 D.2
3.若直线3x+2y-2m-1=0与直线2x+4y-m=0的交点在第四象限,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)
C. D.
4.设A(-2,3),B(1,2),若直线ax+y-1=0与线段AB相交,则a的取值范围是( )
A.[-1,1] B.(-1,1)
C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,则P的坐标是 .
6.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为 ,经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
三、解答题
7.(10分)已知三条直线l1:x+y-3=0,l2:3x-y-1=0,l3:2x+my-8=0经过同一点M.
(1)求实数m的值.
(2)求点M关于直线l:x-3y-5=0的对称点N的坐标.
【加练·固】
已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).
判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点 ( )
A. B.
C. D.
2.(5分)△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将
△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于 ( )
A. B.1+
C.1+ D.2-
3.(5分)已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为 ( )
A.5 B. C.5 D.2
4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-3,3),B(-1,1),若直线x-y-m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是 .
5.(10分)已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.
十四 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式答案
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值可以是 ( )
A.-24 B.6 C.-6 D.24
【解析】选BC.2x+3y-m=0在y轴上的截距为,直线x-my+12=0在y轴上的截距为,由=得m=±6.
2.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4)三点,则的值为 ( )
A. B. C.3 D.2
【解析】选D.由两点间的距离公式,得|AC|==4,
|CB|==2,故==2.
3.若直线3x+2y-2m-1=0与直线2x+4y-m=0的交点在第四象限,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)
C. D.
【解析】选D.联立两直线的方程得
解得因为交点在第四象限,
所以解得m>-.
4.设A(-2,3),B(1,2),若直线ax+y-1=0与线段AB相交,则a的取值范围是( )
A.[-1,1] B.(-1,1)
C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】选C.直线ax+y-1=0经过定点P(0,1),
kPA==-1,kPB==1.
因为直线ax+y-1=0与线段AB相交,
所以-a≥1或-a≤-1,
则a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,则P的坐标是 .
【解析】因为点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,所以设P(a,0),则=,解得a=1.所以P(1,0).
答案:(1,0)
6.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为 ,经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
【解析】联立解得
所以两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点坐标为(3,-2);
当直线l过原点时,直线方程为y=-x,即2x+3y=0,
当直线l不过原点时,设直线方程为x+y=a,则3-2=a,即a=1.
所以直线方程为x+y-1=0.
所以经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y=0或x+y-1=0.
答案:(3,-2) 2x+3y=0或x+y-1=0
三、解答题
7.(10分)已知三条直线l1:x+y-3=0,l2:3x-y-1=0,l3:2x+my-8=0经过同一点M.
(1)求实数m的值.
(2)求点M关于直线l:x-3y-5=0的对称点N的坐标.
【解析】(1)解方程组得交点M(1,2).
将点M(1,2)的坐标代入直线l3:2x+my-8=0,得m=3.
(2)方法一:设点N的坐标为(m,n),则由题意可得解得所以对称点N的坐标为(3,-4).
方法二:由(1)知M(1,2),所以,过M且与x-3y-5=0,垂直的直线方程为:y-2=-3(x-1),即3x+y-5=0.解方程组得交点为H(2,-1),因为M,N的中点为H,所以,xN=2×2-1=3,yN=2×(-1)-2=-4,所以对称点N的坐标为(3,-4).
【加练·固】
已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).
判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由.
【解析】不能.理由如下:
因为kAB==2,kBC==2,
即kAB=kBC,
所以A,B,C三点共线,
所以A,B,C,D四点不能围成四边形.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.由2a+b=1,得b=1-2a,代入直线方程ax+3y+b=0中,得ax+3y+1-2a=0,即a(x-2)+3y+1=0,令解得所以该直线必过定点.
2.(5分)△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将
△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于 ( )
A. B.1+
C.1+ D.2-
【解析】选A.AC:+=1,即3x+2y-6=0.由得,因为
S△ABC=,所以×a×=,得a=或a=-(舍去).
3.(5分)已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为 ( )
A.5 B. C.5 D.2
【解析】选D.因为两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,
所以点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0同侧,
设点A关于直线x-y+1=0的对称点为C(a,b),
则解得a=4,b=-2,所以C(4,-2),
所以|PA|+|PB|的最小值为:
|BC|==2.
4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-3,3),B(-1,1),若直线x-y-m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是 .
【解析】设P(x,x-m),
因为|PA|=|PB|,所以|PA|2=3|PB|2,
所以(-3-x)2+(3-x+m)2=3(-1-x)2+3(1-x+m)2,
化简得2x2-2mx+m2-6=0,则Δ=4m2-4×2(m2-6)≥0,解得-2≤m≤2,即实数m的取值范围是[-2,2].
答案:[-2,2]
5.(10分)已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.
【解析】若l与x轴垂直,则l的方程为x=1,
由得B点坐标为(1,4),
此时|AB|=5,
所以x=1为所求;当l不与x轴垂直时,可设其方程为y+1=k(x-1).
解方程组得交点
B(k≠-2).
由已知=5,
解得k=-.所以y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0.
综上可得,所求直线l的方程为x=1或3x+4y+1=0.
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