2022-2023学年湖南师大附中博才实验中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装………
…○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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)
2022-2023学年湖南师大附中博才实验中学八年级（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列组成冬奥会会微的四个图案中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
下列图形中，是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
下列各组线段能组成一个三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的理由是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 三角形具有稳定性
C. 垂线段最短
D. 两直线平行，内错角相等
如图，≌，点，，在同一条直线上，且，，则的长为( )
A. B. C. D.
一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为( )
A. B. C. D.
小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块图中所标、、、，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理( )
A. ； B. ； C. ； D. ；
下列计算中正确的是( )
A. B. C. D.
若，，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 由的取值而定
如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、现有四个结论：平分；；；其中结论正确的是填写结论的编号．( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
如图，已知，，则______．
点关于轴对称的点的坐标是______．
如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明≌，则还需补充条件：______ ．
用一根长的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长______ ．
多项式展开后不含一次项，则______．
如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
计算：
；
．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
将向上平移个单位长度得到，请画出；
请画出与关于轴对称的；
请写出点、的坐标．
本小题分
如图，，，求证：．
本小题分
如图，在中，，，是的垂直平分线，垂足为点，交于点，连接．
求证：平分；
若，求的长．
本小题分
如图，在某住宅小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖、宽度均为米的通道．
通道的面积共有多少平方米？
剩余草坪的面积是多少平方米？
若修一横两竖，宽度均为米的通道如图，已知，剩余草坪的面积是平方米，求通道的宽度是多少米？
本小题分
如图，在中，平分，过点作的垂线，垂足为点，，交于点，．
求证：是等腰三角形；
求证：．
本小题分
对定义一种新运算，规定，其中，是非零常数．如：当，时，．
当，满足时，计算；
已知，请求出的值；
若当，时，关于的不等式组恰好有个整数解，求的取值范围．
本小题分
在平面直角坐标系中，如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
求；
如图，为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，连接，求直线与轴交点的坐标；
如图，在第问的条件下，是轴正半轴上的一个动点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，点在第四象限．点是轴上点下方的一个动点，连接，过点作，交的延长线于点．
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】
【解析】解：、第三个角的度数是，是等边三角形，不符合题意；
B、第三个角的度数是，是直角三角形，符合题意；
C、第三个角的度数是，是钝角三角形，不符合题意；
D、第三个角的度数是，不是直角三角形，不符合题意；
故选：．
根据三角形的内角和定理和直角三角形的判定解答即可．
此题考查三角形，关键是根据三角形的内角和定理得出第三个角的度数解答．
3.【答案】
【解析】解：、，不能组成三角形，不符合题意；
B、，不能组成三角形，不符合题意；
C、，能组成三角形，符合题意；
D、，不能组成三角形，不符合题意．
故选：．
三角形的三条边必须满足：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和最大的数就可以．
4.【答案】
【解析】解：这样做的道理是三角形具有稳定性．
故选：．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．
5.【答案】
【解析】解：≌，，，
，
，
故选：．
根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
6.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数为，
由题意得：，
．
故选：．
由多边形内角和定理，即可求解．
本题考查多边形内角和定理，关键是掌握多边形内角和定理：且为整数．
7.【答案】
【解析】解：由图可知，带第块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故选：．
根据全等三角形的判断方法解答．
本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用多项式乘多项式的法则分别计算，的值，再将两式的值相减即可得出结论．
本题主要考查了多项式乘多项式，利用比较差的大小解答是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：作于，
平分，平分，，，
，，
，
点在的角平分线上到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
平分，
故正确；
平分，平分，
，，
，，
，
，
故正确；
，，
，
，
，
，，
，
故正确；
，，，
≌，≌，
，，
，
故不正确．
综上所述，正确．
故选：．
作于根据角平分线性质得到，，得到，于是得到点在的角平分线上，故正确；
根据角平分线的定义及三角形外角性质得出，故正确；
根据四边形的内角和得到，求得，于是得到，故正确；
根据全等三角形的性质得到，故不正确．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：是的外角，，，
．
故答案为：．
利用三角形的外角性质即可求解．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
12.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13.【答案】
【解析】解：在和中，
，
≌，
故答案为：
此题是一道开放型题目，根据直角三角形的全等判定解答即可．
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，题目比较典型，难度适中．
14.【答案】
【解析】解：．
答：这个等边三角形的边长为．
故答案为：．
等边三角形的三条边相等，用除以就得这个三角形的边长，由此可得答案．
此题考查了等边三角形的性质，掌握其性质是解决此题关键．
15.【答案】
【解析】解：，
乘积的结果中不含的一次项，
，
．
故答案是：．
利用多项式与多项式相乘的法则可求解．
本题运用多项式与多项式相乘的法则，关键是理解好不含一次项就是一次项的系数为．
16.【答案】
【解析】解：在上取点，使，作于，
平分，
，
，，
≌，
，
当时，最小，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
在上取点，使，作于，利用证明≌，得，再利用等积法求出的长即可解决问题．
本题主要考查了轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质等知识，明确的最小值为的长是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则运算后，再合并同类项；
利用有理数的乘方法则，零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，有理数的乘方法则，零指数幂的意义，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示，依次将点，，三点的横坐标加，纵坐标不变，分别得到它们的对称点，，，依次连接各点得到为所作的图形．
如图所示，依次将点，，三点的横坐标取相反数，纵坐标不变，分别得到它们的对称点，，，依次连接各点得到，为所作的图形．
由图象得：，．

【解析】利用平移的性质得出对应点位置，然后依次连接各点得出结论；
利用轴对称的性质作出三角形的对应顶点，然后依次连接各点得出结论；
利用所画图象依据坐标的特征写出结论即可．
本题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
【解析】利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
20.【答案】证明：是的垂直平分线，
，
．
，，
，
平分．
解：平分，，，
．
，，
．
，，
．
【解析】利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可；
利用中的结论、角平分线的性质和含角的直角三角形的性质解答即可．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的性质，熟练应用上述性质解答是解题的关键．
21.【答案】解：
平方米，
答：通道的面积共有平方米．
平方米，
答：剩余草坪的面积是平方米．
由题意得：，
整理得：，
，
，
，
解得：或不符合题意舍去．
答：通道的宽度是米．
【解析】根据通道的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可．
根据剩余草坪的面积大长方形面积通道的面积计算即可．
由题意：剩余草坪的面积是平方米，列出方程，结合，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及多项式与多项式的乘法法则，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，属于中考常考题型．
22.【答案】证明：，，
，
，，
，
，
是等腰三角形；
由知，，
，
在和中，
≌，
，
．
【解析】根据平行线的性质得到，推出，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
由知，，根据全等三角形的判断选择即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：，，，
，，
，
；
，
，，，
，
，
，
．
．
当，时，，
．
当，时，，
原不等式组可化为：，
解得：，
不等式组恰好有个整数解，
，
．
【解析】利用非负数的意义求得，的值，再利用新定义的规定解答即可；
利用新定义的规定计算，利用对应项的系数相等得到关于，的等式，化简后即可得出结论；
将原不等式组利用新定义的规定化简，解一元一次不等式组，利用整数解列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题主要考查了非负数的应用，多项式的乘法，一元一次不等式组的解法，一元一次不等式组的整数解，本题是新定义型题目，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
24.【答案】解：，，
，
是等腰直角三角形，
；
解：过点作轴于点，如图，
轴，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
轴，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
；
证明：过点作于点，如图，
则，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
过点作于点，交的延长线于点，则四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】利用点，的坐标求得线段，的长，利用等腰直角三角形的性质解答即可；
过点作轴于点，利用全等三角形的判定与性质得到为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得线段的长即可得出结论；
过点作于点，利用中的方法得到为等腰直角三角形，则；过点作于点，交的延长线于点，则四边形为矩形，进而四边形为正方形，得到，通过证明≌，利用全等三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了一次函数的性质，点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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