北京市第一六五中学2022-2023学年高三上学期期中教学目标检测数学试题（含答案）

北京市第一六五中学2022—2023学年度第一学期期中教学目标检测
高三数学试卷
选择题（每题4分，共40分）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
价格
销售量
3. 年月日，很多商场都在搞促销活动．重庆市物价局派人对个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法不正确的有( )
A. 变量与负相关且相关性较强 B.
C. 当时，的估计值为 D. 相应于点的残差为
4. 已知向量，，若与垂直，则（ ）
A． B. C. D. -
5. 已知数列1，，4等差数列，1，，4成等比数列，则的值是( )
A. B. C. D. 或
6. 设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在中，已知，那么是（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
8.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )
A. 里 B. 里 C. 里 D. 里
性别 光盘行动 合计
做不到“光盘” 能做到“光盘”
男
女
合计
9. 为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
附表;
．
参照附表，得到的正确结论是 ( )
A. 至少有99%认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”
B. 在犯错误的概率不大于的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别无关”
C. 在犯错误的概率不大于的前提下，推断“该市居民能否做到光盘与性别无关”
D. 至少有90%的把握，推断“该市居民能否做到光盘与性别有关”
10. 已知是不大于的正整数，其中若，则正整数的最小值为( )
A. B. C. D.
二. 填空题（每题5分，共25分）
11.已知复数=，则在复平面内所对应的点的坐标为___________.
12. 函数的定义域为 .
13. 已知正方形的边长为4，点满足，则 ； __ ．
14. 函数的最小和最大值分别为 ___
15. 已知，函数，当时，不等式的解集是 若函数恰有个零点，则的取值范围是 ．

三．解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤及证明过程
16.（本小题13分）
已知函数．
(Ⅰ) 求函数取最大值时的取值集合；
（Ⅱ）设函数在区间是减函数，求实数的最大值．
17. （本小题14分）
已知在中，，.
Ⅰ求A和B的大小；
Ⅱ在下列三个条件中选择一个作为已知， ，使存在且唯一确定，并求
(1)AB的长；
2边上的中线AE的长度;
① a=2b； ②周长为； 面积为．
18.本小题15分
某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代号x 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(Ⅰ)由表可知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
Ⅱ利用(Ⅰ)中的回归方程，预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入；
（III）用(Ⅰ)中所求线性回归方程得到与对应的人均纯收入估计值，当数据（，）对应的残差的绝对值||=0时，则将该数据（，）称为一个“好数据”，现从7个数据中任选3个，求“好数据”至少为1个的概率；
附：参考数据及公式：，
19. 本小题14分
在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是:(１)卫生习惯状况类；(２)垃圾处理状况类；(３)体育锻炼状况类；(４)心理健康状况类；(５)膳食合理状况类；(６)作息规律状况类.经过数据整理，得到下表:
卫生习惯状况类 垃圾处理状况类 体育锻炼状况类 心理健康状况类 膳食合理状况类 作息规律状况类
有效答卷份数 380 550 330 410 400 430
习惯良好频率 0.6 0.9 0.8 0.7 0.65 0.6
假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.
(Ⅰ)从小组收集的有效答卷中随机选取１份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；
(Ⅱ)从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；
(Ⅲ)利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第类受访者不是习惯良好者().写出方差的大小关系.
20.（本小题15分）
已知函数．
(Ⅰ)求f(x)在点处的切线方程；
Ⅱ判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
Ⅲ求证：．
21.（本小题14分）
对于正整数，如果个整数，，，满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”记，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为；，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为．
Ⅰ写出整数的所有“正整数分拆”；
Ⅱ对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值；
Ⅲ对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值．
注：对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的．
答 案
选择
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A C C B A B C D B
填空
11. 12. 13. ； -4
14.； 15. ；，
三．解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤及证明过程。
16. 解：由题意，得，
当取最大值时，即，此时
所以的取值集合为．
由得，
，
即，
所以的减区间，
当，得是一个减区间，且
所以，
所以，所以的最大值为．

17.（本小题14分）
(Ⅰ) ；
(Ⅱ)若选，AB=,AE=； 若选AB=3, AE=；．
18.本小题14分
（Ⅰ）；
（Ⅱ）预估2022年该地区农村居民家庭人均纯收入为6.8万元；
(Ⅲ)设X为抽出“好数据”的数量 ,则
19.（本小题14分）
（Ⅰ）解：记“选取的这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”为事件A.
有效问卷共有 380+550+330+410+400+430=2500（份），
受访者中膳食合理习惯良好的人数是人，
所以，．
（Ⅱ）解：记事件A为“该区卫生习惯良好者”，
事件B为“该区体育锻炼状况习惯良好者”，
事件C为“该区膳食合理习惯良好者”，
由题意，估计可知，
设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯”．
由题意知，
所以事件的概率
所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯的概率为0.766．
（Ⅲ）解：．
20.（本小题14分）
解：(I) ，得；
f(1)=0,， 切线方程为：
(Ⅱ) 函数在区间上是单调递增函数．理由如下：
因为，所以，，
因此．
又因为，
所以恒成立．
所以在区间上是单调递增函数．
Ⅱ证明“”等价于证明“”
由题意可得，，
因为，
再令，则．
所以在上单调递减．
因为，，
所以存在唯一实数，使得，其中．
，，变化如下表所示：
极大值
所以为函数的极大值．
因为函数在有唯一的极大值．
所以．
因为，所以．
设，，
故在上单调递增，故．
因为，
所以．所以．
21.（本小题14分）
Ⅰ解：整数的所有“正整数分拆”有：，，，，．
Ⅱ解：欲使最大，只须最小，
当为偶数时，，，
当为奇数时，，，．
Ⅲ证明：当为奇数时，不存在，，，均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即，满足；
当为偶数时，设为满足，，，均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，
则他至少对应了和这两种各数均为奇数的分拆，
；
当时，均为偶数的“正整数分拆“只有：，
均为奇数的”正整数分拆“只有：，；
当时，均为偶数的”正整数分拆“只有：，，
均为奇数的”正整数分拆“只有：，，；
当时，对于每一种均为偶数的”正整数分拆“，
除了各项不全为的奇数分拆之外至少多出一个各数均为的”正整数分拆“，
．
综上，使得中等号成立的的值为，．