2022-2023学年黑龙江省哈尔滨四十七中九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（上下册）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨四十七中九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
的相反数是( )
A. B. C. D.
下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组合而成的立体图形，则它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式( )
A. B.
C. D.
如图，点为外一点，为的切线，为切点，交于点，，，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
抛物线的对称轴是( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
如图，是的直径，为弦，连结、、，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，则下列比例式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
A、两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系对于以下说法正确的是( )
A. 乙车出发小时后甲才出发
B. 两人相遇时，他们离开地
C. 甲的速度是
D. 乙的速度是
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
小桌子风景区接待游客约人，将数字用科学记数法表示为______．
在函数中，自变量的取值范围是______．
计算：的结果是______．
分解因式：______．
不等式组的整数解有______个．
二次函数的图象与轴交点坐标是______ ．
某扇形的面积是，半径是，则此扇形的弧长为______ ．
如图，已知是的外接圆直径，且，，则______．
已知正方形的边长是，点在直线上，，连接与对角线相交于点，则线段的长是______．
如图，已知在四边形中，连接、，，，，，若，则的面积是______．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
本小题分
如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．
在方格纸中画出以为直角顶点的直角三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为；
在方格纸中画出以为一边的，点在小正方形的顶点上，且的面积为，与中所画线段平行，连接，请直接写出线段的长．
本小题分
随着通信技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．中学数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷每人必选且只能选一种，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
这次统计共抽查了多少名学生？
通过计算补全条形统计图．
该校共有名学生，请估计中学校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
本小题分
在四边形中，，，与相交于点，．
如图求证：四边形是菱形；
如图若是延长线上的一点，，连接，则在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中面积等于面积的所有三角形除外．
本小题分
某商品经销店欲购进、两种纪念品，用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵元．
求、两种纪念品每件的进价分别为多少元？
若该商店种纪念品每件售价元，种纪念品每件售价元，这两种纪念品共购进件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，求种纪念品最多购进多少件？
本小题分
内接于，平分交于，连接交于．
如图，求证：；
如图，延长交于，交于，当时，连接分别交、于、两点，求的度数；
如图，在的条件下，连接交于，，，求线段的长度．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，轴于点，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
求抛物线的解析式；
在第三象限抛物线上，点横坐标为，连接、，的面积为，求关于的函数关系式；不要求写自变量的取值范围
在的条件下，绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，过点作交于，轴于点，连接，若，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
直接根据相反数的定义即可得出结论．
本题考查的是实数的性质，熟知在一个数的前面加上一个负号就是该数的相反数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】
【解析】解：该几何体的主视图是
故选：．
找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
4.【答案】
【解析】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为：，即．
故选：．
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
故选：．
直接利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出的长．
本题主要考查了切线的性质以及直角三角形的性质，连接利用切线的性质构造直角三角形是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：的对称轴为直线，代入数值求得对称轴是直线；
故选：．
利用二次函数的对称轴为直线可求出答案．
本题考查了二次函数的性质．求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值通常有两种方法：公式法；配方法．
7.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，
，
．
故选C．
由圆周角定理得出，求出的度数，由圆周角定理即可推出的度数
本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角
8.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
由题意得：，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点问题，此题的关键是利用根的判别式求解问题．
9.【答案】
【解析】解：、因为，所以，故A选项错误；
B、由得，由得，则，故B选项错误；
C、由得，故C选项错误；
D、由得，由得，则，故D选项正确．
故选：．
根据平行于三角形的一边，并且和其他两边或两边的延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例可直接对、进行判断；利用得，利用得，可对对、进行判断．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边或两边的延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
10.【答案】
【解析】解：由图可得，
乙车出发小时后甲已经出发一段时间，故选项A不合题意；
两人相遇时，他们离开地，故选项B不合题意；
甲的速度是，故选项C不合题意；
乙的速度是，故选项D符合题意．
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】
【解析】解：原式
故答案为：
先化简式子中的二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题主要考查二次根式的运算，在二次根式的运算题中关键是要先化简二次根式，再合并同类二次根式，掌握以上要点是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得，
把两个不等式的解集在一条数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为，
不等式组的整数解有，，，，，共个，
故答案为：．
分别求出不等式组中的两个不等式的解集，利用数轴找出其解集的公共部分，进而得出不等式组的解集，再得出整数解即可．
本题考查一元一次不等式组的整数解，理解整数解的定义，掌握一元一次不等式组的解法是正确解答的前提．
16.【答案】
【解析】解：，当时，，
二次函数的图象与轴交点坐标是；
故答案为：．
求出二次函数，当时的值，即可得出答案．
本题考查了二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握轴上点的坐标特征是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：设弧长为，
扇形的半径为，面积是，
，
．
故答案为：．
直接根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查了扇形的面积公式：为扇形的弧长，为半径，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：连接，
是的外接圆直径，
，
由圆周角定理得：，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，舍去，
则，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理得到，，根据正切的定义、勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、正切的定义是解题的关键．
19.【答案】或
【解析】解：分两种情况：
当点在线段上时，
正方形的边长是，，
，
，
∽，
：：，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，
正方形的边长是，，
，
，
∽，
：：：，
，
由知，
，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，利用正方形的对边平行，得出∽，从而得出比例式，求得与的数量关系，再由勾股定理得出的长，则可求得的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：以为边在的上方画等边三角形，连接，
，，
，，
≌，
，
，，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
而，
为等边三角形，
，
的面积是．
以为边在的上方画等边三角形，连接，首先证明≌，然后利用全等三角形的性质与已知条件证明≌，从而证明为等边三角形，接着利用等边三角形的性质即可求解．
此题主要考查了等边三角形的性质，同时利用了全等三角形的性质与判定及三角形的面积公式、勾股定理，有一定的综合性．
21.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】先算括号里面的，再算除法，最后把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
22.【答案】解：满足条件的点如图所示．
图中点和点就是所求的点．
或．
【解析】本题考查三角形面积的计算、学生的动手能力，灵活掌握在网格图中求三角形面积的方法是解决问题的关键，注意一题多解．
过点作，不难找到点，满足面积为．
过点作，根据面积为即可找到点有两个．
23.【答案】解：名，
答：这次统计共抽查名学生．
喜欢“短信”沟通的人数为：名，喜欢“微信”方式的人数为：名，
补全条形统计图如下：
名，
答：用橙微信进行沟通的学生有名．
【解析】用喜欢使用电话的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
根据中的数据可补全条形统计图；
先求出喜欢用微信沟通所占百分比，再乘以该校的总人数即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
24.【答案】证明：在和中，，
≌，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：图中面积等于面积的三角形为、、、理由如下：
四边形是菱形，
，
的面积的面积的面积的面积，
，，
，
的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积，
图中面积等于面积的三角形为、、、．
【解析】首先利用定理证明≌可得，再由等腰三角形的三线合一性质得出，证出四边形是平行四边形，即可得出结论；
由菱形的性质得出的面积的面积的面积的面积，再由已知条件得出，得出的面积的面积的面积的面积的面积，即可得出结果．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
25.【答案】解：设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元．
设种纪念品购进件，则种纪念品购进件，
根据题意得：，
解得：．
答：种纪念品最多购进件．
【解析】设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元，由题意：用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
设种纪念品购进件，则种纪念品购进件，根据总利润单件利润购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，列出一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】证明：如图，连接，，
平分，
，
，，
，
，
；
解：连接，
，
，
，
为直径，
，
；
解：为等边三角形，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，．
解，
，，，，
，
解得，
，，，，
∽，
．

【解析】连接，，由平分得，根据圆周角的性质得，即得；
根据三角函数的定义可得，再由圆周角定理可得答案；
过点作于，由直角三角形的性质可得，由圆周角定理得，设，根据相似三角形的性质可得答案．
本题是一道圆的综合题目，考察了圆的基本性质和解直角三角形知识，利用线段比作双垂线构相似是本题的突破口，大胆设参，利用勾股定理列方程，可以求得参数的值，要熟练运用解直角三角形的知识是解决此题的基本能力．
27.【答案】解：直线交轴于点，轴于点，
，，
将代入抛物线，
，
，
抛物线解析式为，
连接，过点作轴于，轴于，
在第三象限抛物线上，点横坐标为，
，
．
过作轴交的延长线于，作于，轴于，如图，
，
，
，
，
而，
，
易得四边形为矩形，
，
，
，
，
而，
，
，
，
≌，
，
，
在中，，
，
，
设点坐标为，则，，
，
，
整理得，舍去，
．
【解析】直接把点坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式为；
连接，过点作轴于，轴于，根据可得出与的函数关系式；
过作轴交的延长线于，作于，轴于，如图，利用得到，加上，则，于是根据等腰三角形的性质可得，接着判断四边形为矩形得到，则，然后证明≌得到，所以；再在中利用正弦定义可得到，利用勾股定理得，设点坐标为，则，，于是可表示出，所以，解方程得到得，舍去，所以．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质；会应用三角形全等证明线段相等；理解锐角三角函数的定义．
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