26.3 第二十六章 反比例函数 章末复习 优质备课 课件 (共64张PPT)

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九下数学同步优质课件
人教版九年级下册
26章 反比例函数
章末小结
1.巩固并掌握反比例函数概念、图象和主要性质，能根据已知条件确定反比例函数的解析式; (重点)
2.系数k的几何意义，以及反比例函数与一次函数的综合问题. (重点、难点)
(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，
一般地，形如
其中x是自变量，y是函数.
等价形式： (k为常数，k≠0)
一、反比例函数的概念
二、反比例函数的图象和性质
一般地，反比例函数 图象是双曲线，它具有以下性质：
(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
对于反比例函数 ，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=______.
推理：△PAO与△PBO的面积和k的关系是
S△PAO=S△PBO=______.
|k|
反比例函数的面积不变性.
三、反比例函数解析式中k的几何意义
四、反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数：
① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；
② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出k的值；
③ 写出解析式.
四、反比例函数的应用
反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组.
四、反比例函数的应用
利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
反比例函数的概念
1
例1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数
① y = 3x－1
② y = 2x2
⑤ y = 3x
③
④
⑥
⑦
⑧
【点睛】此类题考察反比例函数的概念.抓住反比例函数的三种表达式：y=或xy＝k或y＝kx－1 (k≠0)来判断．
例2.当m取何值时，是关于x的反比例函数？
解：∵是关于x的反比例函数，
∴ ，
解得 ，
∴，
【点睛】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中x的次数为－1，且系数不等于0.
【1-1】用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：
(1)一个游泳池的容积为2000m3，游泳池注满水所用时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m3/h)的变化而变化；
(2)某长方体的体积为1000cm3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S(单位：cm2)的变化而变化；
(3)一个物体重100N，物体对地面的压强p(单位：pa)随物体与地面的接触面积S(单位：m2)的变化而变化.
【1-2】k为何值时，y＝(k2＋k)是反比例函数．
解　∵函数y＝(k2＋k)是反比例函数，
∴
解得k＝2.
故k为2时，y＝(k2＋k)是反比例函数．
【1-3】已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0），
∴y＝k1（x+1）+ ．
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+；
反比例函数的图象和性质
2
例3.已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的值是_____．
解：∵函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴且，
解得：．
例4.在反比例函数（为常数）的图象上有三个点,,
，则函数值，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴反比例函数的图像位于第二、四象限，
∵，位于第二象限，且，
∴，
∵位于第四象限，
∴，
∴，
故选：D．
D
【2-1】下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（ ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
D
【2-2】点A，B，C都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
A
【2-3】已知 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小.
①当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
故a的取值范围为：－1＜a＜1．
反比例函数图象共存问题
3
例5.函数y=kx－k与 的图象大致是( )
D
【点睛】由于两个函数解析式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
【3-1】在同一直角坐标系中，函数 与y=ax+1(a≠0)的图象可能是
( )
B
【3-2】已知二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数的图像可能是（ ）
B
反比例函数解析式中k的几何意义
4
例6.如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为____.
1
【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义
例7.如图，直线和双曲线交于、两点，是线段上的点（不与、重合），过点、、分别向轴作垂线，垂足分别为、、，连接、、，设的面积为、的面积为、的面积为，比较、、的大小关系是（ 　 ）
A． B．
C． D．
D
【4-1】如图，点A是反比例函数的图象上任意一点轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，则平行四边形的面积为（ ）
A．2.5 B．3
C．5 D．6
C
【4-2】如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C,轴于点D，连结若点，三角形的面积为3，则三角形的面积是（　 ）
A．2 B．3 C．4 D．5
C
【4-3】如图，在反比例函数（x＞0）的图像上，有点，，，，
…，它们的横坐标依次为 1，2，3，4，…n．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，则+++…+＝_______．
（用n的代数式表示）
反比例函数与一次函数综合应用
5
解得
∴一次函数解析式为:y=2x+2.
例8.如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积.
分割法：
S△AOB =S△AOC + S△BOC
D
E
解:过A作AD⊥x轴于D,过B作BE⊥y轴于E ∵A(-2,-2),B(1,4)
∴AD=2，BE=1
在y=2x+2中，令x=0，则y=2
∴C(0,2)
∴0C=2
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+2×1=3.
例9.如图，反比例函数的图像与一次函数y2＝k2x＋2的图像交于点A（2，n）、B（－4，－2）两点，y2的图像与y轴交于点C．
(1)求n和k2的值；
（1）解：∵反比例函数的图像与一次函数y2＝k2x＋2的图像交于点A（2，n）、B（－4，－2）两点，
∴，
∴，
例9.如图，反比例函数的图像与一次函数y2＝k2x＋2的图像交于点A（2，n）、B（－4，－2）两点，y2的图像与y轴交于点C．
(1)求n和k2的值；
∴反比例函数解析式为，
∴，即点A的坐标为（2，4），
∴，
∴；
例9.如图，反比例函数的图像与一次函数y2＝k2x＋2的图像交于点A（2，n）、B（－4，－2）两点，y2的图像与y轴交于点C．
(2)点P在y轴上，如果S△ABP＝9，求点P的坐标．
（2）解：由（1）得一次函数解析式为，
∵点C是一次函数与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，2），
∵，
∴，
例9.如图，反比例函数的图像与一次函数y2＝k2x＋2的图像交于点A（2，n）、B（－4，－2）两点，y2的图像与y轴交于点C．
(2)点P在y轴上，如果S△ABP＝9，求点P的坐标．
∴，
∴CP=3，
∴点P的坐标为（0，5）或（0，-1）．
【5-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接AO、BO，求△AOB的面积．
（1）解：将代入与
中得，，
，，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)连接AO、BO，求△AOB的面积．
（2）解：解方程组
得 或 ，
；
设直线与轴交于，
当时，，
解得：，得，
．
【5-2】如图，已知 A(－4， )，B(－1，2)是一次函数y=kx+b与反比例函数
(m＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
O
B
A
x
y
C
D
解：当－4＜ x ＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值.
(2)求一次函数解析式及m的值；
解：把A(－4， )，B(－1，2)代入y=kx+b中，得
－4k + b = ，
－k + b =2，
解得
k = ，
b = ，
所以一次函数的解析式为 y = x+ .
把B(－1，2)代入 中，得m=－1×2=－2.
O
B
A
x
y
C
D
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P 坐标.
O
B
A
x
y
C
D
P
∵ △PCA面积和△PDB面积相等，
∴ AC·[t－(－4)]= BD·[2－[2－( t+ )]，
解得：t= .
∴ 点P的坐标为 ( ， )．
解：设点 P 的坐标为 ( t， t+ )，P点到直线 AC 的距离为t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为2－( t+ )．
反比例函数与几何综合应用
6
例10.如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　）
B
例11.反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴，交的图象于点A，PD⊥y轴，交的图象于点B．当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积不会发生变化；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③
C．②③④ D．①③④
D
【6-1】如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
A
【6-2】如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（ ）
A． B．
C． D．
B
【6-3】如图，已知点A为函数 图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，过点A作，垂足为D，连接．求四边形的面积．
解：设A，
∵，
∴点B的坐标为，
∵轴，
∴轴，
又，
∴轴，
【6-3】如图，已知点A为函数 图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，过点A作，垂足为D，连接．求四边形的面积．
∴点D的坐标为，
∴，，
∵轴，且点C在函数图象上，
∴当时，，
∴C，
∵，，
∴四边形的面积为：．
反比例函数的学科内实际应用
7
例12.病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克. 已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间x(单位：小时)成正比例；2小时后y与x成反比例(如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1)求当0≤x≤2时，y与x的函数解析式；
解：当0≤x≤2时，y与x成正比例函数关系．
设y＝kx，由于点(2，4)在线段上，
所以4＝2k，k＝2，即y＝2x.
O
y/毫克
x/小时
2
4
(2)求当x>2时，y与x的函数解析式；
解：当x>2时，y与x成反比例函数关系，
设
解得 k＝8.
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以
即
O
y/毫克
x/小时
2
4
(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于2毫克，即2x≥2，
解得x≥1，∴1≤x≤2；
当x>2时，含药量不低于2毫克，
即 ≥ 2，解得x≤ 4.
∴2所以服药一次，治疗疾病的有效时间是1＋2＝3 (小时)．
O
y/毫克
x/小时
2
4
考点解析
【7-1】某商场出售一批商品，在销售中发现日销售量y（件）与销售价x（元）的变化关系如下表，写出y与x之间的函数关系式________．
售价x（元） 200 240 250 400
日销售量y（件） 30 25 24 15
【7-2】为做好疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例（如图所示）.当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，则下列说法中正确的是（ ）
A.每立方米空气中含药量从上升到
需要
B.每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的
函数关系式是
C.为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成
后学生才能进入教室
D.每立方米空气中含药量不低于的持续时间为
C
【7-3】便民商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为每件80元，在销售中发现，该衬衣的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，且当销售定价为120元时，每日可销售25件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1400元．则销售单价应定为多少元？
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意得：，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
【7-3】便民商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为每件80元，在销售中发现，该衬衣的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，且当销售定价为120元时，每日可销售25件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1400元．则销售单价应定为多少元？
（2）解：由题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
∴销售单价应定为150元，
答：销售单价应定为150元．
反比例函数的跨学科实际应用
8
例13.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110--220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.
(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？
(2)这个用电器功率的范围是多少？
解：(1)根据电学知识，当U=220时，得
例13.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110--220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.
(2)这个用电器功率的范围是多少？
(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值R=110代入①式，得到功率
的最大值 (W)
把电阻的最大值R=220代入①式，得到功率
的最小值 (W)
因此用电器功率的范围为220--440W.
例14.某同学设计了如下杠杆平衡实验：如图，取一根长65cm的质地，均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧，距离中点20cm处挂一个重9N的物体，在中点的右侧，用一个弹簧测力计向下拉，使木杆保持平衡（动力×动力臂＝阻力×阻力臂），改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），观察弹簧测力计的示数F（单位：N）． 通过实验，得到下表数据：
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
L/cm 20 24 25 28 30
F/N 9 7.5 10 6
(1)解：∵阻力×阻力臂是个定值，
∴随着L的增大，F会减小，
∴第3组是明显错误的；
(2)解：设F L=k，则k=9×20=180，
∴F L=180；
(3)解：∵，
∴当F≤10（N）时，，L≥18（cm），
∵木杆长65cm，O是木杆的中点，
∴L≤32.5（cm），
∴18cm≤L≤32.5cm.
【8-1】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气球体积之间成反比例关系，其图象如图所示．
(1)当时，求P的值；
(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
解：（1）设这个函数解析式为：，
代入点A的坐标得，，
∴，
∴这个函数的解析式为；
将代入得：
∴（Pa），
∴P的值是帕；
【8-1】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气球体积之间成反比例关系，其图象如图所示．
(1)当时，求P的值；
(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
（2）∵气球内气体的压强大于时，气球将爆炸，
∴为了安全起见，
，
，
∴为了安全起见，气球的体积不少于 ．
【8-2】在某一电路中，保持电压U（V）不变，电流I（A）是电阻R（ ）的反比例函数，如图是某电路电流、电阻的关系图，其图象经过点A（4，9）．
(1)求I与R的函数表达式；
(2)当电阻为3 时，求电流大小；
(3)如图该电路的限制电流不能超过10A，那么该电路的可变电阻控制在什么范围？
（1）解：由题意可得，
∵图象过点A(4，9)，
∴（V）．
∴I与R的函数表达式为．
【8-2】在某一电路中，保持电压U（V）不变，电流I（A）是电阻R（ ）的反比例函数，如图是某电路电流、电阻的关系图，其图象经过点A（4，9）．
(1)求I与R的函数表达式；
(2)当电阻为3 时，求电流大小；
(3)如图该电路的限制电流不能超过10A，那么该电路的可变电阻控制在什么范围？
（2）解：当Ω时，（A），
∴电流大小为12A．
【8-2】在某一电路中，保持电压U（V）不变，电流I（A）是电阻R（ ）的反比例函数，如图是某电路电流、电阻的关系图，其图象经过点A（4，9）．
(1)求I与R的函数表达式；
(2)当电阻为3 时，求电流大小；
(3)如图该电路的限制电流不能超过10A，那么该电路的可变电阻控制在什么范围？
（3）解：由函数图像可知，电路中可变电阻越大，电流越小，当A时，
Ω
所以，该电路的限制电流不能超过10A时，可变电阻控制范围为Ω．
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