2018年北京市普通高中学业水平考试数学试卷（解析版）

2018年北京市普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题（本大题共25小题，共75.0分）
1. 已知集合，1，，那么等于　　
A. B. C. D. 1，
【答案】B
【解析】解：集合，1，，
．
故选：B．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 平面向量，满足，如果，那么等于　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：平面向量，满足，，
．
故选：D．
利用数乘向量运算法则直接求解．
本题考查向量的求法，考查数乘向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3. 如果直线与直线平行，那么实数k的值为　　
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】解：直线与直线平行，
，经过验证满足两条直线平行．
故选：D．
利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．
本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4. 如图，给出了奇函数的局部图象，那么等于　　
A.
B.
C. 2
D. 4
【答案】B
【解析】解：根据题意，由函数的图象可得，
又由函数为奇函数，则，
故选：B．
根据题意，由函数的图象可得的值，结合函数的奇偶性可得的值，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数单调性的性质，属于基础题．
5. 如果函数，且的图象经过点，那么实数a等于　　
A. 2 B. 3
【答案】B
【解析】解：指数函数的图象经过点，
，
解得，
故选：B．
由题意代入点的坐标，即可求出a的值．
本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．
6. 某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为　　
A. 60 B. 90 C. 100 D. 110
【答案】A
【解析】解：根据分层抽样的定义和题意，
则高中学生中抽取的人数人．
故选：A．
根据分层抽样的定义和题意知，抽样比例是，根据样本的人数求出应抽取的人数
本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在所求的层中抽取的个体数目．
7. 已知直线l经过点，且与直线垂直，那么直线l的方程是　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：直线l与直线垂直，
直线l的斜率为，
则，
即
故选：C．
由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．
本题考查了直线方程的求法，属于基础题．
8. 如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于　　
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：在矩形ABCD中，E为CD中点，
所以：，
则：．
故选：A．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
9. 实数的值等于　　
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】解：．
故选：B．
直接利用有理指数幂及对数的运算性质求解即可．
本题考查了有理指数幂及对数的运算性质，是基础题．
10. 函数，，，中，在区间上为减函数的是　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据题意，函数，为二次函数，在区间为增函数；
，为幂函数，在区间为增函数；
，为指数函数，在区间上为减函数；
中，在区间为增函数；
故选：C．
根据题意，依次分析4个函数在区间的单调性，综合即可得答案．
本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．
11. 某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项已知中一等奖的概率为，中二等奖的概率为，那么本次活动中，中奖的概率为　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由于中一等奖，中二等奖，为互斥事件，
故中奖的概率为，
故选：B．
根据互斥事件概率加法公式即可得到其发生的概率的大小．
此题考查概率加法公式及互斥事件，是一道基础题．
12. 如果正的边长为1，那么等于　　
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】解：正的边长为1，
，
故选：B．
根据向量的数量积的运算性质计算即可．
本题考查了向量的数量积的运算，是一道基础题．
13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么b等于　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由正弦定理，
得，解得：，
故选：B．
根据正弦定理直接代入求值即可．
本题考查了正弦定理的应用，考查解三角形问题，是一道基础题．
14. 已知圆C：，那么圆心C到坐标原点O的距离是　　
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】解：根据题意，圆C：，其圆心C为，
则圆心C到坐标原点O的距离；
故选：C．
根据题意，由圆的一般方程分析可得圆心C的坐标，进而由两点间距离公式，计算可得答案．
本题考查圆的一般方程，涉及两点间距离公式，属于基础题．
15. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，那么该四棱柱的体积为　　
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【答案】B
【解析】解：在四棱柱中，底面ABCD是正方形，
底面ABCD，，，
该四棱柱的体积为．
故选：B．
该四棱柱的体积为，由此能求出结果．
本题考查该四棱柱的体积的求法，考查四棱柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16. 函数的零点所在的区间是　　
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由函数可得，，
故有，
根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在区间为，
故选：A．
求得，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．
17. 在，，，四个数中，与相等的是　　
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由．
与相等的是
故选：A．
利用诱导公式化简可得答案．
题主要考察了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．
18. 把函数的图象向右平移个单位得到的图象，再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，所得到图象的解析式为　　
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：把函数的图象向右平移个单位得到的图象，
再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，
所得到图象的解析式为，
故选：A．
由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
19. 函数的最小值是　　
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】解：当时，的最小值为；
当时，递减，可得，
综上可得函数的最小值为0．
故选：B．
分别讨论两段函数的单调性和最值，即可得到所求最小值．
本题考查分段函数的最值求法，注意分析各段的单调性和最值，考查运算能力，属于基础题．
20. 在空间中，给出下列四个命题：
平行于同一个平面的两条直线互相平行；
垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
平行于同一条直线的两个平面互相平行；
垂直于同一个平面的两个平面互相平行．
其中正确命题的序号是　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解；对于，平行于同一个平面的两条直线互相平行或相交或异面，故错误；
对于，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确；
对于，平行于同一条直线的两个平面互相平行或相交，故错误；
对于，垂直于同一个平面的两个平面互相平行或相交，故错误．
故选：B．
由线面平行的性质可判断；由线面垂直的性质定理可判断；
由两个平面的位置关系可判断；由面面平行的判定定理可判断．
本题考查空间线线和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质定理的运用，属于基础题．
21. 北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况年1月份各区域的浓度情况如表：
各区域1月份浓度单位：微克立方米表
区域 浓度 区域 浓度 区域 浓度
怀柔 27 海淀 34 平谷 40
密云 31 延庆 35 丰台 42
门头沟 32 西城 35 大兴 46
顺义 32 东城 36 开发区 46
昌平 32 石景山 37 房山 47
朝阳 34 通州 39
从上述表格随机选择一个区域，其2018年1月份的浓度小于36微克立方米的概率是　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，
其中2018年1月份的浓度小于36微克立方米的地区有9个，
则2018年1月份的浓度小于36微克立方米的概率是，
故选：D．
由表可知从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份的浓度小于36微克立方米的地区有9个，根据概率公式计算即可．
本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等
22. 已知，那么　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：知，
那么，
则：，
故选：D．
直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，那么的最大内角的余弦值为　　
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：中，，
，
的最大内角为A，
且．
故选：A．
先判断的最大内角为A，再利用余弦定理计算的值．
本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．
24. 北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图根据图中信息，下列结论中正确的是　　
A. 2013年以来，每年参观总人次逐年递增
B. 2014年比2013年增加的参观人次不超过50万
C. 2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多
D. 2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万
【答案】C
【解析】解：由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：
在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；
在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；
在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；
在D中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D错误．
故选：C．
由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．
本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
25. 阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是　　
如图，在三棱锥中，平面平面ABC，
求证：
证明：因为平面平面ABC
平面平面
，平面ABC
所以______．
因为平面PAC．
所以
A. 底面PAC B. 底面PBC C. 底面PAC D. 底面PBC
【答案】C
【解析】解：根据面面垂直的性质定理判定得：
底面PAC，
故选：C．
根据面面垂直的性质定理判断即可．
本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题．
二、解答题（本大题共4小题，共25.0分）
26. 已知函数
Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上
Ⅱ函数的最小正周期______将结果直接填写在答题卡的相应位置上
Ⅲ求函数的最小值及相应的x的值．
【答案】2
【解析】解：Ⅰ函数由，解得；
Ⅱ函数，
的最小正周期为；
Ⅲ令，；
，；
此时函数取得最小值为．
故答案为：Ⅰ，Ⅱ．
Ⅰ由求得A的值；
Ⅱ由正弦函数的周期性求得的最小正周期；
Ⅲ由正弦函数的图象与性质求得的最小值以及对应x的值．
本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
27. 如图，在三棱锥中，底面ABC，，D，E，分别为PB，PC的中点．
Ⅰ求证：平面ADE；
Ⅱ求证：平面PAB．
【答案】证明：Ⅰ在中，、E分别为PB、PC的中点，
，
平面ADE，平面ADE，
平面ADE．
Ⅱ平面ABC，平面ABC，，
，，
平面PAB．
【解析】Ⅰ由D、E分别为PB、PC的中点，得，由此能证明平面ADE．
Ⅱ推导出，，由此能证明平面PAB．
本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
28. 已知圆O：经过点，与x轴正半轴交于点B．
Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上
Ⅱ圆O上是否存在点P，使得的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】5
【解析】解：Ⅰ；
Ⅱ存在．
，圆O的方程为：．
依题意，，，
，直线AB的方程为，
又的面积为15，
点P到直线AB的距离为，
设点，
，
解得或显然此时点P不在圆上，故舍去，
联立方程组，解得或．
存在点或满足题意．
Ⅰ直接由已知条件可得r；
Ⅱ存在由Ⅰ可得圆O的方程为：，依题意，，，求出，直线AB的方程为，又由的面积，可得点P到直线AB的距离为，设点，解得或显然此时点P不在圆上，故舍去，联立方程组，求解即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是中档题．
29. 种植于道路两侧、为车辆和行人遮阴并构成街景的乔木称为行道树为确保行人、车辆和临近道路附属设施安全，树木与原有电力线之间的距离不能超出安全距离按照北京市行道树修剪规范要求，当树木与原有电力线发生矛盾时，应及时修剪树枝行道树修剪规范中规定，树木与原有电力线的安全距离如表所示：
树木与电力线的安全距离表
电力线 安全距离单位：
水平距离 垂直距离
330KV
500KV
现有某棵行道树已经自然生长2年，高度为据研究，这种行道树自然生长的时间年与它的高度满足关系式
Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上
Ⅱ如果这棵行道树的正上方有35kV的电力线，该电力线距地面那么这棵行道树自然生长多少年必须修剪？
Ⅲ假如这棵行道树的正上方有500kV的电力线，这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全，那么该电力线距离地面至少多少m？
【答案】
【解析】解：Ⅰ，
故答案为：
Ⅱ根据题意，该树木的高度为16米时需要及时修剪这颗行道数，函数解析式为，
令，解得，
故这棵行道树自然生长10年必须修剪；
Ⅲ因为，
所以，
所以，
所以该电力线距离地面至少37米，这这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全．
Ⅰ将，代入计算即可，
Ⅱ函数解析式为，令，解得，问题得以解决，
Ⅲ根据指数函数的性质可得，问题得以解决
本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．
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