6.1 函数 课件 (共53张PPT)

(共53张PPT)
苏科版 八年级上册数学
第6章 一次函数
6.1 函数
同学们，你们听说过乌鸦喝水的故事吗？
乌鸦够不着水
聪明的乌鸦想办法喝到了水
情景引入
想一想，在水上升的过程中，哪些是变的，哪些是不变的？
我知道水的体积没有变！
我知道水的高度在变！
情景引入
思考如下问题：
问题1：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程
为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
t/h 1 2 3 4 5
s/km
根据v=st
t=1h, s=_________km; t=2h, s=_________km；
t=3h, s=_________km； t=4h, s=_________km;
t=5h, s=_________km.
60
120
180
240
60
120
180
240
300
300
一、变量与函数
思考如下问题：
问题1：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程
为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
t/h 1 2 3 4 5
s/km
60
120
180
240
300
在以上的变化过程中，变化的量是____________,
不变的量是________
时间和路程
速度
思考如下问题：
问题1：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程
为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
t/h 1 2 3 4 5
s/km
60
120
180
240
300
试用含t的式子表示s．s=_______
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.
60 t
s
t
思考如下问题：
问题2：电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收人为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？
根据票房收入等于电影票的单价与售出的张数的乘积：
x=150, y=_________元;
x=205, y=_________元；
x=310, y=_________元；
150
2050
3100
思考如下问题：
问题2：电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收人为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？
在以上的变化过程中，变化的量是____________,
不变的量是________
张数和票房收入
售价
思考如下问题：
问题2：电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收人为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？
试用含x的式子表示y．y=_______
这个问题反映了电影票的票房收入____随售出张数___的变化过程.
y
x
10 x
根据上两个问题，自主进行探究
圆面积S与圆的半径R之间的
关系式是————————；
其中变化的量是—————；
不变化的量是————————.
这个问题反映了 _________随________的变化过程．
S= πR2
π
S， R
思考如下问题：
问题3：如图所示，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径R 分别为10 cm，20cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？怎样用半径R来表示面积S
圆的面积S
半径R
　思考如下问题：
问题4：用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？
矩形一边长与另一边长之间的关系式是————————；
其中变化的量是—————————————；
不变化的量是————————.
y= 5-x
边长和邻边长
矩形的周长
这个问题反映了 _________随________的变化过程．
边长
邻边长
数值发生
变化的量
变量
数值保持
不变的量
常量
　　上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
归纳总结
在一个变化过程中，可以取不同数值的量为变量.
在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：
发生了变化和始终不变.
知识要点
问题（1）-（4）中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？
S = 60t
y = 10x
y=5–x
S=πR2
对于一个变量确定时，另一个变量有一个
确定值与之对应。
两变量
两变量
两变量
两变量
例1 指出下列问题中的常量与变量
（1）某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为xt，月应交水费为y元，其中常量是 ，变量是 ；
（2）某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元，其中常量是 ，变量是 ；
4
x，y
0.2
t，w
典型例题
例2 指出下列问题中的常量与变量
（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率(圆周长与直径之比）为π，其中常量是 ，变量是 ；
(4)把10本书随意放入两个抽屈（每个抽屈内都放），第一个抽屈放入x本，第二个抽屈放入y本，其中常量是 ，变量是 ；
.
π
r，C
10
x，y
常量与变量
概念：
常量：数值保持不变的量，变量：数值发生变化的量。
列出变量之间的关系式
课堂小结
记录的是某一种股票上市以来的每天的价格变动情况.
K线图
心电图
记录的是心脏本身的生物电在每一心动周期中发生的电变化情况.
二、函数的图像
合作探究---函数的图像
有些问题中的函数关系很难列式表示，但是可以用图来直观地反映，例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系。即使对于能列式表示的函数关系，如能画图表示则会使函数关系更清晰。
问题1：正方形的面积S与边长x的函数解析式为 ，其中x的取值范围是 .
我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系.
S=x2
x>0
思考2；怎样获得组成图形的点？
先确定点的坐标.　　　　
思考4：自变量x 的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否唯一确定了一个点（x，S）呢？
取一些自变量的值，计算出相应的函数值．
思考3：怎样确定满足函数关系的点的坐标？
思考1：在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对 来表示.即坐标平面内 与有序数对是一一 的.
有序数对
点
对应
是唯一确定的点
问题2：填写下表：
x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
S
0.25
1
2.25
4
6.25
9
12.25
　　一般地，对于一个函数，如果把
自变量与函数的每对对应值分别作为
点的横、纵坐标，那么坐标平面内由
这些点组成的图形，就是这个函数的图象．如右图中的曲线就叫函数 （x＞0）的图象．
用空心圈表示不在曲线的点
用平滑曲线去连接画出的点
典例精析
例1 画出下列函数的图象：
（1 ) ； （2） （x ＞ 0） .
解：(1)从函数解析式可以看出，x的取值范围是 .
第一步：从x的取值范围中选取一些简洁的数值， 算出y的对应值，
填写在表格里：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
全体实数
O
x
y
0.5
1
1.5
2
2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
1.5
0.5
2
1
2.5
-1
-2
-0.5
-1.5
y=x+0.5
第二步：根据表中数值描点（x，y）；
第三步：用平滑曲线连接这些点.
当自变量x的值越来越大时，
对应的函数值y .
画出的图象是一条 ，
直线
越来越大
解：(2)第一步：列表 取一些自变量的值，并求出对应的函数值，填入表中.
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 …
y … 12 6 4 3 2.4 2 1.7 1.5 1.2 1 …
第二步：描点分别以表中对应的x、y为横纵坐标,在坐标系中
描出对应的点.
第三步：连线用平滑曲线依此连接这些点.
x
y
4
0
1
3
2
1
2
3
4
5
5
6
6
从图象可以看出，曲线不再是一条直线，且曲线由左向右下降，即当x由小变大时 y的值随之减小。
要点归纳
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其 ；
第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为 ，相应的函数值为 ，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标 的顺序，把所描出的各点
用 连接起来.
对应的函数值
横坐标
纵坐标
平滑曲线
由小到大
画函数图象的一般步骤：
合作探究
　　我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？
把点的横坐标（即自变量x）的取值代入解析式求出相应的函数值y值，看是否等于该点的纵坐标，如果等于，则该点在函数图象上；如不在，则该点不在函数图象上.
（1）判断下列各点是否在函数 y=x+0.5 的图象上？
①（-0.5，1）； ②（1.5，2）．
（2）判断下列各点是否在函数 （x ＞ 0）的图象上？
①（2，3）；②（3，2）．
√
√
√
×
练一练
实际问题中的函数图像
-3
O
4
14
24
8
T/℃
t/时
思考：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？
（1）从图象中可以看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.
（2）从这个函数图象可知：这一天中 时气温最低（ ）, 气温最高（ ）;
4
-3°C
14时
8°C
（3）从_ __至 气温呈下降状态，从4时至 14时气温呈上升状态，从 至 气温又呈下降状态.
0时
4时
14时
24时
-3
O
4
14
24
8
T/℃
t/时
典例精析
例2 下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x 表示时间，y 表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
解：(1)食堂离小明家0.6km，小明从家到食堂用了8min.
（2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（2）25-8=17，小明在食堂吃早餐用了17min.
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
（3）0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km；28-25=3，小明从食堂到图书馆用了3min.
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（4）小明读报用了多长时间？
（4）58-28=30，小明读报用了30min.
（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（5）图书馆离小明家0.8km，小明从图书馆回家用了68-58=10(min)，由此算出的平均速度是0.08km/min.
解答图象信息题主要运用数形结合思想,化图象信息为数字信息.
主要步骤如下:
(1)了解横、纵轴的意义；
(2)从 上判定函数与自变量的关系；
(3)抓住图象中端点，拐点、交点等特殊点的实际意义.
图象形状
方法总结
函数的图象
概念：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值
分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，
就是这个函数的图象.
图象的画法：列表，描点，连线。
课堂小结
用平面直角坐标系中的一个图象来表示的．
问题1：下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，气温T是不是时间t 的函数？
这里是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？
是
三、函数的表示方法
问题2：正方形的面积S与边长x的取值如下表，面积S是不是边长x的函数？
这里是怎样表示正方形面积S与边长x之间的函数关系的？
列表格来表示的．
1 4 9 16 25 36 49
是
问题3：某城市居民用的天然气，１m3收费2.79元，使用x（m3） 天然气应缴纳的费用y（元）为y = 2.79x． y是不是x 的函数？
这里是怎样表示缴纳的天然气费y与所用天然气的体积x的函数关系的？
用函数解析式y＝2.79x来表示．
是
函数的三种表示法：
y = 2.79x
图象法、
列表法、
解析式法．
1 4 9 16 25 36 49
1.解析式法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系.
2.列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系.
3.图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律.
思考：这三种表示函数的方法各有什么优点？
典例精析
　例 1.一水库的水位在最近5 h 内持续上涨，下表记录了这5 h 内6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y表示水位高度．
　
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律？
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
x/h
y/m
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
解：可以看出，这6个点
，且每小
时水位 .
由此猜想，在这个时间
段中水位可能是以同一
速度均匀上升的.
在同一直线上
上升0.3m
5
（2）水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出函数图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
（2）由于水位在最近5小时内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y 都有 的值与其对应，所以，y t 的函数.
函数解析式为： .
自变量的取值范围是： . 它表示在这 小时内，水位匀速上升的速度为 ，这个函数可以近似地表示水位的变化规律.
唯一
是
y=0.3t+3
0≤t≤5
5
0.3m/h
（3）据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将达到多少m．
（3）如果水位的变化规律不变，按上述函数预测，再持续2小时，水位的高度： .
此时函数图象（线段AB）向 延伸到对应的位置，这时水位高度约为 m.
5.1m
右
5.1
函数的表示法
解析式法：反映了函数与自变量之间的数量关系
列表法：反映了函数与自变量的数值对应关系
图象法：反映了函数随自变量的变化而变化的规律
课堂小结
1.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：m）落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是 ．
y=0.5x
课后练习
2.某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间t，纵轴表示与山脚距离h，那么下列四个图中反映全程h与t的关系图是（ ）
D
3.最近中旗连降雨雪，德岭山水库水位上涨．如图表示某一天水位变化情况，0时的水位为警戒水位．结合图象判断下列叙述不正确的是（ 　）
A．8时水位最高
B．P点表示12时水位为0.6米
C．这一天水位均高于警戒水位
D． 8时到16时水位都在下降
D
4.已知火车站托运行李的费用W（元）和托运行李的重量P（千克）（P为整数）的对应关系如表：
P 1 2 3 4 5 …
W 2 2.5 3 3.5 4 …
（1）已知小周的所要托运的行李重12千克，请问小周托运行李的费用为多少元？
（2）写出W与P之间的函数解析式.
（3）小李托运行李花了15元钱，请问小李的行李重多少千克？
7.5元
W=0.5P+1.5
27千克
5. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）
B
A
B
C
D
谢 谢！