2.5 二次函数与一元二次方程 课件 (共20张PPT)

(共20张PPT)
数学（北师大版）
九年级 下册
2.5 二次函数与一元二次方程
第二章 二次函数
课前导入
学习目标
1）二次函数与一元二次方程之间的联系。
2）理解二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 。
重点
理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点
用图象求方程解的方法。
情景引入
我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以用公式h=－5t2+v0t +h0 表示，其中h0 (m)是抛出点距地面的高度，v0 (m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h (m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么
1）h与t的关系式是什么？
2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流。
解析：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0）
代入关系式h=－5t2+v0t+h0得h0=0, 由已知可知v0=40，
得h=－5t2+40t.
（2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0，得t=0s（舍去）或t=8s.
情景引入
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
问题一：球的飞行高度能否达到 15 m 若能，需要多少时间
【分析】：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．
【注意】根据实际问题，讨论h的取值．
解：当h=15时，20t-5t2=15，
解得，t1=1，t2=3.
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
情景引入
当h=20时，20t-5t2=20，
解得，t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
【提问】结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？
情景引入
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
问题三 球的飞行高度能否达到 20.5 m 为什么？
当h=20.5时，20t-5t2=20.5，
化简得，t2-4t+4.1=0，
因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根.
故球的飞行高度达不到20.5m.
归纳总结
从上面发现，一般地，当 y 取定值且 a≠0 时，二次函数为一元二次方程。如：y=5 时，5=ax2+bx+c 就是一个一元二次方程。所以二次函数与一元二次方程关系密切。
例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x 的值。就是求方程3=-x2+4x(即x2-4x+3=0)的解。
反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值。
探索与思考
二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的图象如图所示.
（1）每个图象与x轴有几个交点？
（2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？
解方程验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐
标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
（2）①x1=0, x2=-2,两个不相等实数根.
②x1=x2=1,两个相等实数根.
③没有实数根.
解:（1）每个图象与x轴的交点个数分别是2个，1个，0个.
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
探索与思考
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根
探索与思考
判别式(△) b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） 图象 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）（x2，0）
与x轴没有交点
x
y
O
x
y
O
x
y
O
有两个不同的解x=x1，x=x2
没有实数根
有两个重合的公共点
有两个相等的实数根
课堂基础练
1．抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与x轴的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【详解】解：令y＝0，则0＝﹣x2+4x﹣4，解得x1＝x2＝2，
∴抛物线与x轴交点为（2，0）．故选：B．
2．二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（ ）
A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝2
【详解】解：令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，
∵二次函数图象与x轴由两个不同交点，
∴b2﹣4＞0，∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．
故选：A．
课堂基础练
3．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ）　　
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根
【详解】解：由函数图象可得：的图象与y＝-2有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧，
∴关于x的方程即有两个同号不等实数根，故选：C．
4．已知二次函数y=x2﹣x+ m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【详解】∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，
∴△=(-1) 2-4×1×( m-1)≥0，解得：m≤5，故选A．
课堂基础练
5．（2019荆门市中考）抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【详解】当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选C．
探索与思考
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间 (可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
分别约为-4.3和2.3。
(3)确定方程x2+2x-10=0的解。由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
其横坐标一个在-5与-4之间
约为-4.3
其横坐标另一个在2与3之间
约为2.3
课堂基础练
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
1） ，
2） 。
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根的一般步骤是怎样的？
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
②观察估计二次函数的图象与直线y=h的交点的横坐标；
③确定一元二次方程ax2+bx+c=h的解。
课堂基础练
下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是（）
A． B．
C． D．
【详解】利用二次函数和一元二次方程的性质．
由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选C．
随堂测试
1．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程
的根为________．
【详解】解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,
对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴关于的一元二次方程的根为或.
随堂测试
2 已知二次函数与x轴有两个交点．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若此二次函数有最小值，求k的值．
【详解】
1）解：∵二次函数与x轴有两个交点，∴，即，
解得．
2）解：，
∵，∴时，y有最小值，
∵此二次函数有最小值，∴，
解得．
谢谢~