3.3 垂径定理 课件 (共18张PPT)

(共18张PPT)
数学（北师大版）
九年级 下册
3.3 垂径定理
第三章 圆
课前导入
学习目标
1) 理解垂径定理的推导。
2)利用垂径定理解决实际问题。
重点
理解垂径定理的推导。
难点
利用垂径定理解决实际问题。
探索与思考
如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA,OB.
·
O
A
D
E
B
证明： 在△OAB中，∵OA=OB,
∴ △OAB是等腰三角形
而OE⊥AB∴AE=EB
即CD是AB的垂直平分线。
这就是说对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此⊙O关于直线CD对称。
探索与思考
根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？并尝试证明？
CE=DE
⌒
⌒
ＡＣ＝ AD　， BC＝ ＢＤ
⌒
⌒
A
B
C
D
O
已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E。
求证：CE=DE,
⌒
⌒
AC = AD,
⌒
⌒
BC =BD.
证明：连接OC、OD,在△OCD中，
∵OC=OD，且OE⊥CD,
∴CE=DE，∠COB=∠BOD,
∴ ∠AOC=∠AOD,
⌒
⌒
∴AC =AD,
⌒
⌒
　BC =BD.
E
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
∵ CD是直径， CD⊥AB
∴ AE=BE，AC=BC，AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
E
C
D
B
概念理解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
情况二：弦不是直径
O
C
D
A
B
·
O
A
E
C
B
不一定
课堂基础练
判断：
1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.
3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
下列说法正确的是（　　）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 ②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心 ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．
课堂基础练
判断下列图形，能否使用垂径定理？
×
√
×
√
√
√
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
∵ CD是直径 ， AE=BE且AB不是直径
符号语言：
∴ CD⊥AB， AC=BC，AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
O
C
D
A
B
E
课堂基础练
如图，在 O中，AB=8，OA=5，
则OE= ，ED= ．
如图，在 O中，OA=5，ED=2，
则OE= ，AB= .
如图，在 O中，AB=8，ED=2，
则OA= ，OE= .






2
3
3
4
r － 2
r
3
2
3
8
3
5
r2 = (r － 2)2 + 42
5
3
课堂基础练
└
解 : 连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF=(R-90)m.
∴CF= ×600=300 m
根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2,
即
解得R=545，
∴这段弯路的半径为545m .
如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E是CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
随堂测试
1．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．
【详解】∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴，DE=CE，，∴B，D选项正确；
∵，∴，∴∠COE=∠DOE，∴A选项正确；
只有当∠COE=60°时，才有OE=BE．∴C选项不成立；故选：C．
2．如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA＝13m，水面宽AB＝24m，则水的深度CD是（ ）
A．6m B．6.5m C．7m D．8m
【详解】解：由题意，AB是⊙O的弦，OD是⊙O的半径，，
∴，在中，OA＝13m，m，
∴，∴，
故选D．
随堂测试
3．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（　　）
A．2m B．4m C．6m D．8m
【详解】∵CD垂直平分AB，∴AD＝＝8m∴OD＝＝6m
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m 故选：B．
4.数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于C点，交弧AB于D点，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）
A．50cm B．30cm C．25cm D．20cm
O
【详解】解：如图，设圆心为点，连接，
∵，AB＝40cm，∴，∠OCB=90°，
∵CD＝10cm，∴，
∵在中，， ∴，
解得：OB=25cm，∴轮子的半径为25cm．故选：C．
随堂测试
5 如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（　　）
A．8 B．10 C． D．
【详解】解：∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝,
∴AD＝OA＋OD＝5＋3＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝，
故选D．
随堂测试
6．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
1）求证：AC=BD；
2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【详解】
解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴.
∴AC=AE﹣CE=8﹣．
随堂测试
7.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）
A．2cm B．4 cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【解析】
连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，∴MC=5 3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=cm.
故选C.
课堂小结
运用垂径定理及其推论解决数学问题时，最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题。
半径
半弦
弦心距
在直角三角形中，由勾股定理得：=
谢谢~