高一期末复习之不等式知识点总结

二、不等式
1. 不等式的性质：
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；
（4）若，，则；若，，则。
如（1）对于实数中，给出下列命题：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦； ⑧，则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）
（2）已知，，则的取值范围是______（答：）
（3）已知，且则的取值范围是______ （答：）
2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；
（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
如设，，，试比较的大小（答：）
3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______（答：）
4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：
或 或
R
R R
如解关于的不等式：。（答：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）
5. 对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_______（答：）；（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)
6. 一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？
（、、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．
如在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。　（答：）
7. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。如（1）不等式的解集是，则=__________（答：）；（2）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为________（答：）；（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______（答：）。
8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。
如：（1）解不等式。 （答：）
（2）不等式的解集是____（答：）
（3）设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为______（答：）
（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是.（答：）
9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
如：（1）解不等式 （答：）
（2）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集
（答：）
10. 绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式（答：）
（2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合；如解不等式（答：）
（4）两边平方：如若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围。（答：）
11. 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见4中例题）
12. 含绝对值不等式的性质：
同号或有；
异号或有.
如设，实数满足，求证：
13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。
如：（1）下列命题中正确的是
A.的最小值是2 B.的最小值是2
C.的最大值是D.的最小值是
（2）若，则的最小值是______（答：）
（3）正数满足，则的最小值为______（答：）
14. 常用不等式有：（1）(当且仅当时，取等号)，根据目标不等式左右的结构选用；（2），（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。如果正数、满足，则的取值范围是 _________（答：）
15. 证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
常用的放缩技巧有：
如（1）已知，求证： ；
(2) 已知，求证：；
（3）已知，且，求证：；
(4)若，求证：；
(5)已知，求证：；
16. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
（1）恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
如（1）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围
（2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围
（3）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.
（2）能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如
已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围____
（3）恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.