人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.4.1《圆的标准方程》名师课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直线.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢？
A
M
r
x
O
y
复习引入
1、什么是圆？
如图,在一个平面内,线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周,另一个端点P所形成的图形叫做圆
2、圆有什么特征呢？
思考：
在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢？
圆心－－确定圆的位置
半径－－确定圆的大小
(1)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径r);
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
复习引入
人教A版同步教材名师课件
圆的标准方程
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解圆的定义,经历并体会推导圆的标准方程的过程 数学抽象
掌握待定系数法、几何性质法求圆的标准方程 数学运算
结合圆的标准方程,体会判断点与圆的位置关系的两种方法 数学抽象
数学运算
学习目标
学习目标：
1.会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特点.
2.会根据已知条件求圆的标准方程.
3.能准确判断点与圆的位置关系
学科核心素养：
通过对圆的标准方程的学习,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.
因此一个圆最基本要素是圆心和半径.
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x, y)
如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离.
探究新知
符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？
符合上述条件的圆的集合：
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x, y)
探究新知
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？
根据两点间距离公式：
则点M、A间的距离为：
即：
圆的标准方程：
探究新知
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？
点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程,这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上.
把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
探究新知
即
即
称为圆心为,半径长为的圆的标准方程
问题:圆的标准方程有什么特征
(1)有两个变量,形式都是与某个实数差的平方;
(2)两个变量的系数都是1;
(3)方程的右边是某个实数的平方,也就是一定为正数.
探究新知
特殊位置的圆方程
因为圆心是原点O(0, 0),将x＝0,y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
圆心在坐标原点,半径长为r 的圆的方程是什么？
得：
整理得：
探究新知
怎样判断点 在圆内呢？还是在圆外呢？
x
y
o
M1
M2
M3
可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ;
点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r .
探究新知
重要结论：
点与圆
的位置关系：
探究新知
点在圆上
点在圆外
点在圆内
(1)设圆心为则,
所以或,所以圆心为或.
又,所以圆的标准方程为或.
典例讲解
解析
例1、求下列圆的标准方程.
(1)圆心在y轴上,半径为,且过点(3,－4);
(2)求过点A(1,－1),B(－1,1)且圆心在直线上的圆的标准方程.
(2)法一：设点C为圆心,
因为点C在直线上,所以可设点C的坐标为.
又因为该圆经过两点,所以
所以
解得.所以圆心坐标为,半径长.
故所求圆的标准方程为
典例讲解
解析
例1、求下列圆的标准方程.
(1)圆心在y轴上,半径为,且过点(3,－4);
(2)求过点A(1,－1),B(－1,1)且圆心在直线上的圆的标准方程.
(2)法二：由已知可得线段的中点坐标为,
,所以弦的垂直平分线的斜率为,
所以的垂直平分线的方程为,即
则圆心是直线与的交点,
由解得 即圆心为,
圆的半径为,
故所求圆的标准方程为
例2、写出圆心为,半径长等于的圆的方程,并判断点,是否在这个圆上.
圆心是,半径长等于的圆的标准方程是：.
把的坐标代入方程, 左右两边相等,点的坐标适合圆的方程,所以点在这个圆上;
把点的坐标代入此方程,左右两边不相等,点点的坐标不适合圆的方程,所以点不在这个圆上.
典例讲解
解析
(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.
(2)注意圆的有关几何性质,可使问题计算简单.
(3)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程组(由已知条件,建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组,求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程,得所求圆的标准方程)
方法归纳
变式训练
1、若圆C的半径为1,其圆心与点关于直线对称,则圆C的标准方程为______________.
因为圆C的圆心与点关于直线对称,即圆心坐标为,而圆的半径不变,故所求圆C的标准方程为.
解析
典例讲解
例3、(1)点在圆的内部,则的取值范围是( )
(2)已知两点(4,9)和.
①求以为直径的圆的方程;
②试判断点是在圆上,在圆内,还是在圆外？
(1)点在圆的内部,所以,所以,即 .
D
解析
(2)①设圆心为,半径为,则由C为的中点,得, .
又由两点间的距离公式得,所以所求圆的
方程为
典例讲解
例3、(1)点在圆的内部,则的取值范围是( )
(2)已知两点(4,9)和.
①求以为直径的圆的方程;
②试判断点是在圆上,在圆内,还是在圆外？
D
解析
②由①知,圆心,则分别计算点到圆心的距离：
因此,点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.
(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0,y0)在圆C上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2;
点P(x0,y0)在圆C内 (x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0,y0)在圆C外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.
方法归纳
2、(1)点M(a,a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的关系是(　　)
A.M在C外 B.M在C上 C.M在C内 D.不确定与a的取值有关
(2)已知圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0),若点P(1,1)在圆内,点N(3,2)在圆外,求半径r的取值范围.
A
变式训练
(2)因为点在圆内,圆心,所以.
又因为点在圆外,故.所以1解析
(1)因为圆心,
例4、已知,且圆C:,求的最大值与最小值.
典例讲解
连接,直线与圆交于,则当位于位置时,取得最大值,
.
当位于位置时,取得最小值,.
即的最大值为49,最小值为9.
解析
因为表示以为圆心,半径的圆,所以表示圆上的动点与定点的距离(如图).
典例变式
由图可知,设过A点与圆C相切的切线方程为,则点C到该直线的距离为2,即解得所以 即,所以,即的最大值为,最小值为0.
解析
例4、已知,且圆C:,求的最大值与最小值.
数形结合法
如图： 即为圆上的点与的连线所在直线的斜率k,过A的两条切线分别为,则
典例变式
解析
例4、已知,且圆C:,求的最大值与最小值.
直接法
令,即表示圆上的点与的连线方程,则圆心到直线AM的距离不大于半径2,
即.即,所以0
即的最大值为,最小值为0.
方法归纳
有关圆的最值问题,常借助于图形性质,利用数形结合求解.
一般地,
①形如的最值问题可转化为求动直线斜率的最值问题;
②形如的最值问题转化为动直线截距的最值问题;
③形如的最值问题转化为圆上一动点到定点的最值问题.
1.确定圆的方程的条件
圆的标准方程中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r,这时圆的方程就确定了,因此确定圆的方程,需要三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.
素养提炼
素养提炼
2.几种特殊位置的圆的方程
(1)圆心在原点： ;
(2)圆过原点：
(3)圆心在轴上：
(4)圆心在轴上：
(5)圆心在轴上且过原点：
(6)圆心在轴上且过原点：
(7)圆与轴相切：
(8)圆与轴相切：
(9)圆与两坐标轴都相切：
素养提炼
3.点M与圆上任一点P间距离的最值
(1)若点M在圆C外,d表示点M到圆心C的距离,则的最大值为d+r,最小值为d-r.
(2)若点M在圆C上,则的最大值为2r,最小值为0.
(3)若点M在圆C内,则的最大值为d+r,最小值为r-d.
当堂练习
1.圆心为,且过原点的圆的标准方程是( )
由圆过原点知,故所求圆的方程为.
解析
D
2.两个点与圆C: 的位置关系是( )
A.点M在圆C外,点N在圆C外 B.点M在圆C内,点N在圆C内
C.点M在圆C外,点N在圆C内 D.点M在圆C内,点N在圆C外
将点的坐标代入方程左边得,∴M点在圆内.∵,∴N点在圆外.
D
解析
当堂练习
由可得 即圆心为,从而,故圆
的标准方程为.
3.圆心为直线与直线的交点,且过原点的圆的标准方程是____________________.
解析
由于点在圆的内部,所以
即,又,解得
4.点在圆的内部,则的取值范围是_____________.
解析
当堂练习
在中,
设点C坐标为,则= ,∴.
∴所求圆的标准方程为或.
5.已知某圆圆心在轴上,半径为5,且截轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.
解析
如图,由题设, ,∴
(1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 ,圆的标准方程为 x2 + y2 = r2
(2)推导圆的标准方程的方法与步骤？(3)点与圆的位置关系？
(4) 如何求圆的标准方程 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数,因此必须具备三个独立的条件才能确定圆;对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。
(5)如何利用圆的标准方程解决实际问题
归纳小结
重要结论：
点与圆的位置关系：
归纳小结
点在圆上
点在圆外
点在圆内
教材85页 练习1、2、4
作 业