人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.4.1_圆的标准方程 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
第二章 2.4.1圆的标准方程
1.掌握圆的定义及标准方程；
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
知识点一　圆的标准方程
思考1　确定一个圆的基本要素是什么？
答案　圆心和半径.
思考2　在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？
答案　能.
1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标
准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
知识点二　点与圆的位置关系
思考　点A(1,1)，B(4,0)， 同圆x2＋y2＝4的关系
如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？
答案　|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　求圆的标准方程
例1　(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B.(x－1)2＋(y－2)2＝100
C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D.(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析　∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
D
(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为 ___________________.
解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________.
解析 方法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
由题意知
方法二　由几何关系知，圆心在AB的垂直平分线上，
∵AB的中点为(0,0)，AB的斜率k＝－1，
则AB的垂直平分线为y－0＝x－0.
则所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案　 (x－1)2＋(y－1)2＝4
反思与感悟
(1)直接法
根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程.
(2)待定系数法
①根据题意，设出标准方程；
②根据条件，列关于a，b，r的方程组；
③解出a，b，r，代入标准方程.
(3)常见的几何条件与可以转化成的方程
①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程.
②圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径.
③圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心.
④弦的垂直平分线经过圆心.
跟踪训练1　求下列圆的标准方程：
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
解　设圆心(0，b)，
得b＝0或－8，
所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；
解　因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.
即5x＋7y－50＝0上，
解得圆心坐标为(3,5)，
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上.
解　线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，
令y＝0，则x＝2，
∴圆心坐标为(2,0)，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
类型二　点与圆的位置关系
例2　(1)点P(m2 , 5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A.在圆内 B.在圆外
C.在圆上 D.不确定
解析　由(m2)2＋52＝m4＋25>24，∴点P在圆外.
(2)已知点M(5 ＋1， )在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是____.
解得0≤a<1.
B
[0,1)
反思与感悟
(1)判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断.
(2)灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.
跟踪训练2　已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是________________________.
解析　由题意知，
(1－a)2＋(1＋a)2>4，
2a2－2>0，
即a<－1或a>1，
(－∞，－1)∪(1，＋∞)
类型三　与圆有关的最值问题
例3　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
(2)求y－x的最大值和最小值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，
它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
反思与感悟
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如u＝ 形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线
截距的最值问题.
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
解　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.
原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，
(1)x2＋y2的最值；
(2)x＋y的最值.
解　令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，
问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.
当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，
1
2
3
达标检测 　　　　
4
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2　
圆心坐标为(1,1)，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
D
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2.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A.－1C.a>1或a<－1 D.a＝±1
解析　∵点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，
∴－1A
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3.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是____.
解析　x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，
由几何意义可知，
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4.圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________________.
解析　由题意知圆心坐标为(2，－3)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
(x－2)2＋(y＋3)2＝5
规律与方法
1.判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.
(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内 (x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
2.求圆的标准方程时常用的几何性质
求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心.
(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.
(3)圆心与切点的连线长是半径长.
(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.
3.求圆的标准方程常用方法：
(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.