人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系》知识探究课件(共37张PPT)

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圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
---知识探究
圆的标准方程:
,其中为圆心,为半径.
探究点1 圆的标准方程
1.如果圆心在坐标原点,这时,圆的方程就是.
有关图形特征与方程的转化:如圆心在轴上:;
圆与轴相切时:;
圆与轴相切时:;
与坐标轴相切时:;
过原点:.
要点辨析
2.圆的标准方程圆心为,半径为,它体现了圆的几何特点.
3.标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知,确定一个圆的方程,只需要,这三个独立参数,因此,求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
要点辨析
典例1、求满足下列条件的各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径是3;
(2)已知圆经过两点,圆心在轴上;
(3)经过点,圆心在点.
思路
一般情况下,如果已知圆心或易于求出圆心,可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,分析计算求出圆心坐标和半径.
分析计算能力、概括理解能力
典型例题
解析
解:(1).
(2)线段的中垂线方程为,与轴的交点即为圆心的坐标,所以半径为,所以圆的方程为.
(3)解法一:∵圆的半径5,
圆心在点,
∴圆的方程是.
典例1、求满足下列条件的各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径是3;
(2)已知圆经过两点,圆心在轴上;
(3)经过点,圆心在点.
分析计算能力、概括理解能力
典型例题
解析
解:(3)解法二:∵圆心在点,故设圆的方程为.
又∵点在圆上,
∴,
∴,
∴所求圆的方程是.
当时,
方程叫做圆的一般方程.
为圆心,为半径.
探究点2 圆的一般方程
由方程得.
(1)当时,方程只有实数解,它表示一个点.
(2)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
(3)当时,可以看出方程表示以为圆心,为半径的圆.
要点辨析
典例2、已知直线表示一个圆.
(1)求的取值范围;
(2)求这个圆的圆心和半径;
(3)求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程.
思路
若一个圆可用一般方程表示,应推测出它具备隐含条件,解题时,应充分利用这一隐含条件计算.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
解:(1)已知方程表示一个圆,
即,
整理得.
(2)圆的方程化为.
∴它的圆心坐标为,半径为.
典例2、已知直线表示一个圆.
(1)求的取值范围;
(2)求这个圆的圆心和半径;
(3)求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
(3)由,
∴的最大值为,此时圆的标准方程为.
探究点3 点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为,圆心为,半径为,则有:
(1)若点在圆上.
(2)若点在圆外.
(3)若点在圆内.
点与圆的位置关系,从形的角度来看,设圆心为,半径为,
则点在圆内;点在圆上;点在圆外,
从数的角度来看,设圆的标准方程为,圆心为,,半径为,
则点在圆上;
点在圆外;
点在圆内.
要点辨析
典例3、判断点与圆的位置关系.
思路
本题可以利用点与圆心的距离和半径比较的判定方法进行直接推测判断,或者把点代入圆的方程中进行推测判断.
推测解释能力
典型例题
解析
解:∵圆的方程为,
分别将代入得:
∴在圆上;
∴在圆外;
∴在圆内.
探究点4 与圆有关的轨迹问题
求符合某种条件的动点的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标法”将其转化为关于变量,之间的方程.
1.当动点满足的几何条件易于“坐标化”时,常采用直接法;当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时,常采用定义法;当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时,可采用代入法(或称相关点法).
2.求轨迹方程时,一要区分“轨迹”与“轨迹方程”;二要注意检验,去掉不合题设条件的点或线等.
探究点4 与圆有关的轨迹问题
3.用直接法求曲线方程的步骤如下:
(1)建系设点:建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点坐标为;
(2)几何点集:写出满足题设的点的集合;
(3)翻译列式:将几何条件用坐标表示,写出方程;
(4)化简方程:通过同解变形化简方程;
(5)查漏除杂:验证方程表示的曲线是否为已知的曲线,重点检查方程表示的曲线是否有多余的点,曲线上是否有遗漏的点.
求轨迹时常用的方法——代入法,对于“双动点”问题,即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时,通常用这一方法.代入法是先设所求轨迹的动点坐标为,在已知曲线上运动的点的坐标为,用表示,即,,并将它代入到已知曲线方程,即求出所求动点的轨迹方程.一般情况下,证明可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说明,即扣除不合题意的解或补上失去的解.
要点辨析
典例4、(1)已知定点点是圆上一动点,点是的中点,求点的轨迹方程;
(2)等腰的底边一个端点,顶点,求另一个端点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
思路
(1)题中是属于“双动点”问题,用代入法计算求解.(2)题中可以判断出的轨迹是以为圆心,半径为的圆.利用定义法求出方程.
分析计算能力
典型例题
解析
解:(1)设点坐标为点坐标为,
则,即.
又点在圆上,∴,
将代入得,即.
故所求的轨迹方程为.
典例4、(1)已知定点点是圆上一动点,点是的中点,求点的轨迹方程;
(2)等腰的底边一个端点,顶点,求另一个端点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
分析计算能力
典型例题
解析
(2)由题意得,则点到定点的距离等于定长,所以的轨迹是圆.
又,
的轨迹方程为(除去点和点,
即的轨迹形状是以点为圆心,半径为的圆,
其中去除点和点.
探究点5 圆中的最值问题
处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.
研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解.
常见的最值问题有以下几种类型:
(1)形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2)形如形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
要点辨析
典例5、已知实数满足方程,求的最大值和最小值.
思路
本题要求与圆有关的最值问题,根据题意构造斜率模型解决问题.
简单问题解决能力
典型例题
解析
解:原方程变形为,表示以为圆心,半径的圆.
设,即,由题知,直线与圆有公共点,
则圆心到直线的距离小于等于半径.
,即
的最大值为,最小值为.
探究点6 直线与圆的位置关系
1.直线与圆,圆心到直线的距离.弦长.
(1)直线与圆相离无交点.
(2)直线与圆相切只有一个交点.
(3)直线与圆相交有两个交点.
探究点6 直线与圆的位置关系
2.还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解,通过解的个数来判断.
(1)当时,直线与圆有2个交点,直线与圆相交.
(2)当时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切.
(3)当时,直线与圆没有交点,直线与圆相离.
判断直线与圆的位置关系时,通常用几何法,其步骤是:
(1)明确圆心的坐标和半径长,将直线方程化为一般式.
(2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离.
(3)比较与的大小,写出结论.
要点辨析
典例6、已知直线与曲线.
(1)求证:不论为何值,直线和曲线恒有两个交点;
(2)求当直线被曲线所截的线段最短时,此线段所在的直线的方程.
思路
本题分别运用几何法和代数法证明直线与圆的位置关系,根据不同解法进行选择.
说明论证能力、分析计算能力
典型例题
解析
解:(1)证法一：将直线与曲线的方程联立得
消去得.③
∵,
∴方程③有两相异实根,从而,由①②组成的方程组有两组解,即直线与曲线恒有两个交点.
解:(1)证法三:注意到直线可化为,可知直线恒过定点.
∵曲线是以为圆心,2为半径的圆,
又,即点在圆内,
∴直线与曲线恒有两个交点.
(2)解:设直线被曲线所截的线段为,当时,最小,直线的斜率,
所以直线的斜率,其方程为.
典例6、已知直线与曲线.
(1)求证:不论为何值,直线和曲线恒有两个交点;
(2)求当直线被曲线所截的线段最短时,此线段所在的直线的方程.
说明论证能力、分析计算能力
典型例题
解析
探究点7 圆的弦长问题
1.涉及直线被圆截得的弦长问题,一般有两种求解方法
(1)利用半径长,弦心距,弦长的一半构成直角三角形,结合勾股定理求解.
(2)若斜率为的直线与圆交于,两点,则.
2.求两圆公共弦长一般有两种方法:
(1)联立两圆的方程求出交点坐标,再利用两点间的距离公式求解;
(2)求出两圆公共弦所在直线的方程,转化为直线被圆截得的弦长问题.
1.利用点斜式设定直线时要考虑直线的斜率是否存在.
2.直线与圆相交求弦长问题,选择几何法优于代数法,利用垂径定理构造直角三角形来解决.
要点辨析
典例7、直线经过点并且与圆相交截得的弦长为,求的方程.
思路
本题分别运用几何法和代数法证明直线与圆的位置关系,根据不同解法进行选择.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
解:根据题意知直线的斜率存在,设直线的方程为,
圆心到直线的距离,
由弦长的一半、半径和距离构成的直角三角形中,
,解得或,
故直线的方程为或.
探究点8 圆的切线问题
1.求过圆上的一点的切线方程
先求切点与圆心连线的斜率,若不存在,则由图形可写出切线方程为,若,则由图形可写出切线方程为,若存在且,则由垂直关系知切线的斜率为,由点斜式方程可求切线方程.
2.求过圆外一点的圆的切线方程
(1)几何方法
当斜率存在时,设为,则切线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径长,即可得出切线方程.
探究点8 圆的切线问题
(2)代数方法
当斜率存在时,设为,则切线方程为,即,代入圆的方程,得到一个关于的一元二次方程,由,求得,切线方程即可求出.
3.在求过一定点的圆的切线方程时,应首先判断定点与圆的位置关系,若点在圆上,则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,切线有两条;若点在圆内,则切线不存在.
1.利用点与圆的位置关系来判断点在圆上还是圆外.
2.过圆外一点的切线有两方面
(1)不存在,验证是否成立.
(2)存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离等于半径来求斜率.
要点辨析
典例8、经过点,且与圆10相切的直线的方程为_________________.
思路
此题可以利用切线的斜率与圆心和切点连线所在直线的斜率的乘积为分析计算求出切线的斜率,然后求出切线方程.
分析计算能力
典型例题
解析
解:因为,
所以点在圆上,由题意可知圆心为,
则直线的斜率.
因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线,所以所求切线的斜率.
故经过点的切线方程为,整理得.
探究点9 圆与圆的位置关系
设两圆与圆:,圆心距.
(1)外离条公切线.
(2)外切条公切线.
(3)相交条公切线.
(4)内切条公切线.
(5)内含无公切线.
1.圆与圆的位置关系中重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化.
2.两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
要点辨析
典例9、已知圆截直线所得线段的长度是,则圆与圆的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
思路
本题为直线与圆、圆与圆的位置关系综合问题,利用几何法和代数法分别判定.
综合问题解决能力
典型例题
解析
解法一:由得两交点为.
∵圆截直线所得线段长度为,
∴.又.
∴圆的方程为,即,圆心,半径.
又圆,圆心,半径,
∴
∴∴两圆相交.
典例9、已知圆截直线所得线段的长度是,则圆与圆的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
综合问题解决能力
典型例题
解法二:由题知圆,
圆心到直线的距离,
所以,解得,
圆,圆的圆心距,两圆半径之差为1,故两圆相交.
解析
B