人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系课时1》教学设计

《圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系》教学设计
课时1圆的标准方程
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
圆的方程 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 数学运算 【考查内容】 掌握圆的标准方程和一般方程. 掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法,能利用直线和圆的位置关系解决相关问题. 【考查题型】 填空题、选择题、解答题
直线与圆的位置关系 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
圆与圆的位置关系 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
圆是最简单的曲线之一,这节教材安排在学习了直线之后,在学习三大圆锥曲线之前,旨在熟悉曲线和方程的理论,为后继学习做好准备.同时有关圆的问题,特别是直线与圆的位置问题,也是解析几何中的基本问题,这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习,使学生确实掌握这节的知识和方法.在学习中使学生进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力,是进一步学习圆锥曲线的基础.对于知识的后续学习,具有相当重要的意义.另外,本部分的学习是通过由特殊到一般逐步展开的,可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理的思考及灵活处理问题的能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.圆的方程 2.直线与圆的位置关系 3.圆与圆的位置关系 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法,这些都为本节课的学习奠定了必要的基础.
高一时,学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解,具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力.通过五种直线方程的学习,对坐标系下建立方程进行了反复训练,这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备.
当然,由于学生对建系求方程的方法以及圆的标准方程认识还不深刻,在探究知识的形成与方程的运用时可能会遇到一些困难,在教学中一定要关注学生反馈的信息,循序渐进地开展教学.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.圆的标准方程
2.圆的一般方程
3.直线与圆的位置关系
4.圆与圆的位置关系
【教学目标设计】
1.运用待定系数法求圆的方程.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
3.学生在探索圆和圆的位置关系的过程中,学会运用数形结合的思想解决问题.
【教学策略设计】
新课程下的教学,力求知识的形成过程,为克服课堂时间不足,需要学生做好课前预习.在老师的引导下,学生已经具备一定探究与研究问题的能力,所以在设计问题时应考虑周全和灵活性,采用启发式、探究式教学,师生共同探讨,共同研究,让学生积极思考,主动学习.在教学过程中采用讨论法,向学生提供具备启发性和思考性的问题.因此,要求学生在课上讨论,提高学生的探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力.使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,力求体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.
【教学方法建议】
探究教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.会求圆的一般方程和圆的标准方程.
2.能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程.
3.会用直线与圆的位置关系的代数判别法和几何判别法判断直线与圆的位置关系.
4.探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系.
难点:
1.会根据不同的已知条件求圆的标准方程和圆的一般方程.
2.对待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.
3.用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
4.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系,发展学生的识图能力和动手操作能力.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,在平面直角坐标系中,确定直线的几何条件有哪两种
生:第一种:已知一个点和倾斜角(斜率);第二种:已知两个点.
师:在我们的实际生活中有这样的一些物体,如摩天轮、汽车的轮子、呼啦圈、圆形钟表的表盘……请大家思考一下,老师列举的这些物体,它们抽象出来的平面图形是什么
生:是圆形.
师:上节课我们已经学过直线方程的概念、直线斜率及直线方程的常见表达式,我们知道了关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,那么曲线方程会有怎样的表达式呢 这节课让我们一起来学习最常见的曲线——圆的方程的第一节——圆的标准方程.
【设计意图】
通过具体实际生活的物体让学生感知圆,通过直线方程的学习过程引导学生类比学习圆的方程,学生可以很好地理解和接受新知识.
教学精讲
探究1 圆的标准方程
问题1:我们如何在平面上画圆
【教师用圆规在黑板上画个圆】
【将圆规的两只脚张开一定的角度后,把其中一只脚放在固定点,另一只脚紧贴点所在平面上,然后转动圆规一周(圆规的两只脚张开的角度不变),画出的图形就是圆】
师:通过刚才画圆的过程,大家思考一下,在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢(或者说在平面直角坐标系中,要确定一个圆,需要哪些要素)
【以学论教】
通过问题思考,从几何方面探究确定圆的条件.通过动手实践和数据的变化,使学生体会到确定圆的两个要素.
生:当圆心确定了位置,半径确定了大小之后,圆就唯一确定了.
师:同学们在初中的时候就已经初步了解了圆的有关知识,那么哪一位同学来回答圆的概念
生:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆或平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
师:在上一章的学习中,我们知道直线的方程可以用一个关于的二元一次方程表示,即的形式表示,那么圆的方程是否也可以用一个通式来表示呢 根据圆的定义怎样求出圆心是,半径是的圆的方程
【教师引导学生观察图象,找出圆上任意一点满足的几何条件,并转化成代数条件在黑板上板书,学生观察图象,回答问题】
生:如图所示,在平面直角坐标系中,以点为圆心,为半径作圆,那么圆就是集合
设点的坐标为,根据两点间的距离公式:,两边同时平方得
【活动学习】
通过启发诱导激发学生的求知欲,形成“认知冲突”,让学生尝试学习,并经历几何知识代数化的过程,体现数学素材和学生已有的知识和生活的经验的结合.
师:由此可知,圆的标准方程如下.
【要点知识】
圆的标准方程
圆心坐标为,半径为的圆,标准方程为:
师:同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特点
生:这是二元二次方程,展开后没有项,括号内变数的系数都是1,点,分别表示圆心的坐标和圆的半径.
师:思考一下当圆心在原点、轴上、轴上时,圆的方程是什么
生:当圆心在原点即时,方程为;当圆心在轴上时,方程为;当圆心在轴上时,方程为.
师:圆的标准方程有哪些特点
生:(1)关于的二元二次方程(不含项);
(2)方程明确给出了圆心的坐标和半径的大小,即给出了三个量.
师:请同学们回答下面两个问题.
(1)写出点为圆心,为半径的圆的标准方程.
(2)写出圆的圆心的坐标及半径.
生:(1)因为,故所求圆的标准方程为.
(2)方程即,
所以,故圆心的坐标为,半径为.
【推测解释能力】
使学生从代数的角度认识圆的标准方程是关于x,y的二元二次方程;并指出确定了圆心的坐标和半径就能写出圆的标准方程.
提升学生推测解释能力.
探究2 点和圆的位置关系
问题,圆的标准方程为,试判断与圆的位置关系.
师:思考、判断点和圆的位置关系的依据是什么
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以启发和肯定】
生:点到圆心的距离.
通过计算可得:,即,所以点在圆上;
,即,所以点在圆内;
,即,所以点在圆外.
师:还可以如何判断点和圆的位置关系
生:判断点与圆的位置关系时,只需将点代入圆的标准方程中:
若,则点在圆上;
,则点在圆外;
,则点在圆内.
师:回答正确,下面请看具体的点和圆的位置关系.
【简单问题解决能力】引导学生分析和归纳,从点和圆位置关系出发,让学生在已有认知结构的基础上建构新知识,从而达到数学的外部到内部的学习,培养学生分析问题、解决简单问题的能力.
【要点知识】
点和圆的位置关系
在平面坐标系中,的圆心坐标为,半径为为圆上任意一点,则:
位置 几何条件 代数条件
圆上
圆外
圆内
【概括理解能力】
师生共同探究点和圆的不同位置关系,培养学生的概括理解能力.
师:下面我们根据本节所学解决例题.
【典型例题】
圆的方程
例1 写出圆心为,半径为5的圆的方程,并判断点是否在这个圆上.
生解:圆心为,半径为5的圆的标准方程是
把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边相等,点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边不相等,点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上.
【简单问题解决能力】
加强求圆的标准方程的两种方法:待定系数法和数形结合法的训练.提升简单问题解决能力.
【推测解释能力】
例1考查学生对圆的标准方程的掌握,以及点和圆位置关系的判断.引导学生分析和归纳,从问题出发,让学生在已有认知结构的基础上建构新知识,提升推测解释能力.
师:例1题我们是通过代入法将点代入圆的标准方程来判断的,下面我们看例2题.
【典型例题】
圆的方程
例2 的三个顶点的坐标分别是,求该三角形外接圆的方程.
师分析:圆的标准方程是,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要三个量确定了且,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件,确定,所以,解决该题,有两种方法:(方法一)待定系数法:可把三个顶点的坐标代入圆的标准方程中.
生解:设所求的方程是
①
因为三点都在圆上,所以它们的坐标都满足方程①,于是
即
观察上面的式子,我们发现,三式两两相减,可以消去,得到关于的二元一次方程组
解此方程组,得
代入,得.
所以的外接圆的标准方程是
师:下面请看(方法二)几何法.
外接圆的圆心是三角形的外心,即三边垂直平分线的交点.分别求直线,的垂直平分线,垂直平分线的交点就是圆心坐标,线段的长就是圆的半径.
解:由得中点中点,且,所以的中垂线为,即的中垂线为,即,由得,则圆心的坐标为,由,得外接圆方程为.
师:根据上面的应用举例,我们总结一下求圆的标准方程的方法.
【分析计算能力】
例2 从几何和代数两个角度思考问题,完成几何条件和代数条件的相互转化,提高学生数形结合思想的应用.提升分析计算能力.
【概括理解能力】
通过观察,实践、归纳的课堂活动让学生总结出求圆的标准方程的方法,加深对知识的深化和理解,这是本节课的重点.
【学生总结,教师补充并出示】
【典型例题】
圆的标准方程求法
例3 已知圆心为的圆经过点和,且圆心在直线上,求圆心为的圆的标准方程.
求圆的标准方程的方法:
(1)直接法;(2)待定系数法;(3)数形结合法.
师分析:设圆心的坐标为,由已知条件可知,,且,由此可求出圆心坐标和半径.
另外,因为线段是圆的一条弦,根据平面几何知识,的中点与圆心的连线垂直于,由此可得到另一种解法.
生:(解法1)设圆心的坐标为,因为圆心在直线上,所以.①
因为是圆上的两点,所以.
根据两点间距离公式,有
即
②
由①②可得,所以圆心的坐标是.
圆的半径
所以,所求圆的标准方程是
(解法2)如图,设线段的中点为,由两点的坐标为,可得点的坐标为,直线的斜率为.
因此.线段的垂直平分线的方程是,即.
由垂径定理可知,圆心也在线段的垂直平分线上,所以它的坐标是方程组
的解.
解这个方程组,得
所以圆心的坐标是.
圆的半径
所以,所求圆的标准方程是
【简单问题解决能力】
例3 从不同的角度思考问题,一题多解,培养学生思考问题、探究问题解决问题的能力.提升数学运算、直观想象核心素养.
师:这节课我们就上到这里,你学到了哪些知识
【课堂小结】
圆的标准方程
1.确定圆的几何条件:圆心的位置和圆半径的大小.
2.圆心为,半径为的圆的标准方程是.
3.判断点和圆的位置关系的几何条件和代数条件.
4.求圆的标准方程的方法:(1)直接法;(2)待定系数法;(3)数形结合法.
【设计意图】
通过课堂小结提炼本节课的主要内容,利于学生对本节所学知识的掌握和提高,起到总结性的作用.
教学评价
本讲所涉及的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分,正是它们构成了解析几何问题的基础,又是解决这些问题的重要工具之一.本部分具体知识如下:
(1)解答有关圆的问题时,应注意利用圆的平面几何性质,如圆与直线相切、相交的性质,圆与圆相切的性质,这样可以使问题简化;(2)要注意学习如何借助于坐标系,用代数方法来研究几何问题,体会这种数形结合的思想.
【设计意图】
在解决与圆有关的问题时,要充分利用圆的特殊几何性质,这样会使问题简单化.同时数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用,应熟练掌握.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知的三个顶点坐标分别是,求外接圆的方程.
解析:本题主要考查圆的方程求法.求圆的方程,常用待定系数法,根据条件设出标准方程或一般方程.有时利用几何特征,解答更为简便.
解法一:设所求圆的方程是.①
因为都在圆上,
所以它们的坐标都满足方程①,于是
可解得
所以的外接圆的方程是.
解法二:因为外接圆的圆心既在的垂直平分线上,也在的垂直平分线上,所以先求的垂直平分线方程,求得的交点坐标就是圆心坐标.∵,线段的中点为,线段的中点为,
∴的垂直平分线方程为,①
的垂直平分线方程为.②
解由①②联立的方程组可得外接圆的圆心为,
半径.
故外接圆的方程是.
【意义学习】
通过习题巩固学习效果,同时回顾了已有的相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.
【分析计算能力】
解决直线与圆的计算问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比代数法解题来得简捷.
2.一圆与轴相切,圆心在直线上,且直线截圆所得弦长为,求此圆的方程.
思路:利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程;(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得或待定系数法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数.
解析:因圆与轴相切,且圆心在直线上,故设圆方程为.又因为直线截圆所得弦长为,
则有,解得.
故所求圆的方程为或
3.已知两圆.
(1)取何值时两圆外切
(2)取何值时两圆内切
(3)当时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
思路:判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系.而两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去项得到.
解析:因为两圆的标准方程分别为,
,
所以两圆的圆心分别为,半径分别为,
(1)当两圆外切时,由,得.
(2)当两圆内切时,因为定圆半径等于两圆圆心之间的距离5,所以,解得.
(3)由,得两圆的公共弦所在直线的方程为.
故两圆的公共弦的长为.
【活动学习】
通过练习及时进行总结圆与圆的位置关系及弦长问题,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.
4.如果一条直线经过点,且被圆截得的弦长为8,求这条直线的方程.
思路:当直线与圆相交时,讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型,此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用:①垂直于弦的直径平分这条弦;②圆心与弦的中点连线垂直于这条弦;③.要综合考虑利用这些几何知识,这样既简单又不容易出错.
解析:圆的半径为5,直线被圆所截得的弦长,于是弦心距.圆心到直线的距离恰为直线是符合题意的一条直线.设直线也符合题意,即圆心到直线的距离等于3,于是,解得.
∴直线方程为.
综上所述,满足题意的直线有两条,分别为和.
【综合问题解决能力】
解决练习4时,应将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题,处理代数问题,分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.也可以直接利用几何性质求解.通过本题提升综合问题解决能力.
【以学定教】
教师启发并引导学生理解直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的作用.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.
教学反思
教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤,切实把关注学生的发展放在首位来考虑,并依此制定合理而科学的教学计划.
针对本节课的特点,在教法上,采用以教师为主导、学生为主体的教学方法.在教学过程中,注重启发式引导、反馈式评价,充分调动学生的学习积极性,鼓励同学们动手计算,采用一题多变的形式,让学生体会由简单到复杂,由特殊到一般的题型及相应解题策略.教师在学生活动后,给予帮助,促进数学概念的建构,促进数学基本素养的形成.在教学手段上,运用黑板板书和多媒体展示,激发学生的创造力,活跃了气氛,加深了理解.注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出在教学过程中以教师为主导,学生为主体,教师注意启发引导,学生主动积极学习,增强动手能力,体会知识的生成和完善过程,达到学习目标.
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