人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《圆的方程---圆的标准方程》教材分析
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《圆的方程---圆的标准方程》教材分析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 69.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-19 10:53:29 | ||
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文档简介
《圆的方程---圆的标准方程》教材分析
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：圆的标准方程和一般方程.
难点：圆的方程的应用.
三、教科书编写意图及教学建议
本节内容是圆的两类方程：标准方程和一般方程.圆是学生熟悉的基本平面曲线，可以说圆是最简单的封闭“曲线形”.学生在初中已经学习过圆的一些性质.现在在平面直角坐标系中研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题.圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用.
通过本节的学习，要让学生掌握圆的标准方程和一般方程的基本知识，能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径.要让学生掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和圆的半径.能够根据具体条件,选择适当的圆的方程形式,求出圆的标准方程,或圆的一般方程.
2.4.1圆的标准方程
1.建立圆的标准方程
在平面直角坐标系中建立圆的标准方程,是从确定圆的几何要素开始的.确定圆的几何要素是：圆心和半径.在平面直角坐标系中建立圆的标准方程问题,涉及平面中两点间的距离公式.这里的两个点：一个是圆心,另一个是圆上任意一点,其中圆心是定点,圆上任意一点是动点.圆是到定点（圆心）的距离为定值（圆的半径）的点的集合或轨迹.根据平面上两点间的距离公式得到方程
…….
对于以上方程,我们容易得到,圆上的点都满足方程①；反过来,满足方程①的点到圆心的距离都等于半径,也就是这些点都在圆上,此时称这个方程为圆的标准方程.对于求圆的标准方程来说,这个双向论证过程是容易的.推导圆的标准方程的过程说明圆上点的坐标都满足方程①；反过来,如果点的坐标满足方程①,即,那么,,根据两点间的距离公式,也就说明了动点与圆心的距离为,根据圆的定义,动点在以为圆心,半径等于的圆上.
在直线与直线的方程中,教科书述及了两者之间的一一对应关系.现在通过对圆与圆的方程关系的研究,丰富了学生对曲线与方程之间一一对应关系的认识.从大的范围看,这种一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系.有了这种关系,我们可以用方程表示曲线,对曲线进行“运算”；建立方程的几何直观表达,把方程“形象化”.
2.例1的教学
本节三个例题、“探究”都涉及圆的标准方程.它们由简单到复杂,具有一定的层次性：例1是由圆的标准方程判断平面直角坐标系中任意一点是否在圆上；“探究”进一步研究点在圆内、圆外的条件；例2是由三角形求其外接圆的标准方程；例3是由任意两点以及圆心的动态变化,结合图形的几何特征,求圆的标准方程.解决这一类问题的基本思想方法是首先求出圆心的坐标和圆的半径,然后写出圆的标准方程.
例1是根据点的坐标是否满足圆的标准方程判断点是否在圆上的问题,这是圆的标准方程的直接运用,只要验证点的坐标是否满足圆的标准方程.如果满足,那么这个点在圆上；如果不满足,那么这个点不在圆上.而且,根据点与圆心的距离,我们可以进一步判断点在圆内,还是在圆外.这里的判定方法与通过画出圆和点用纯几何的判定方法不同,这里用的是坐标法.
3.“探究”的教学
教科书紧接例1安排了一个“探究”,由于涉及点与圆心的距离问题,比判断点是否在圆上难一些.这个探究是一个思考性的问题,此问题的意图是从坐标法的角度来思考,从数量关系来回答问题.“探究”中的点和圆并不是具体的点和圆,对于这个问题的回答具有一般性意义：根据圆的知识,只要计算出点到原点距离的平方,即,并与作比较,即：如果小于,那么点在圆内；如果大于,那么点在圆外.
4.例2的教学
例2是求三角形外接圆的方程,本质上是不共线的三个点唯一确定一个圆,用的方法是待定系数法.在解方程求未知数的过程中,教科书中使用的方法是把标准方程展开,通过把三个方程两两相减,消去二次项,得到二元一次方程组,解出未知数.
当然,这个例题的解答也可以运用平面几何中由三角形作出其外接圆的过程,先求出三角形任意两边的垂直平分线的方程,两条垂直平分线的交点就是圆心,两条垂直平分线的交点与任意一个顶点的距离就是三角形外接圆的半径.圆心坐标和半径确定后,问题就解决了.
对于上述两种方法,学生可能更习惯于后一种方法,这种方法的特点是充分结合图形的几何特征.而待定系数法是解析几何中研究问题时常用的方法,它是充分运用方程,通过运算解决问题,需要慢慢体会.
本题可以向学生提出要求在坐标系内画出及外接圆,数形结合,把数学运算和直观想象结合起来.
5.例3的教学
例3也是根据一些已知条件求圆的标准方程的问题,解决这类问题往往有多种方法.例3给出了两种方法,第一种方法是待定系数法.先设圆心的坐标,通过圆心在直线上,满足直线的方程,得到圆心的横坐标与纵坐标之间的关系式；再根据圆心与圆上任意一点的距离都等于半径，得出圆心横坐标与纵坐标之间的关系式,通过两个关系式,得出圆心坐标的具体值.这种方法的出发点和落脚点都是圆心,求出圆心的坐标,圆心坐标确定后,半径自然就确定了.第二种方法是充分运用图形的几何性质,由圆的垂径定理,圆心在弦的垂直平分线上,结合圆心在另一条直线上,通过直线的交点得出圆心的坐标,进而得到半径,最后得到圆的方程.
解决本题的关键是确定圆心的坐标,第一种方法是典型的待定系数法,第二种方法是充分结合图形的几何性质.教学时要让学生比较两种方法的差异,进一步体会待定系数法.
从例2和例3的解答中可以得到启示,解决平面解析几何问题的过程中,要注意综合运用所学的数学知识.代数方法具有程序化的特点,比较容易想到,但有时运算会比较复杂；如果灵活运用平面几何知识,往往能够减少运算量,使问题的解法显得简洁.另外,解决解析几何问题的过程中离不开运算,需要灵活运用运算法则和数学公式.
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一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：圆的标准方程和一般方程.
难点：圆的方程的应用.
三、教科书编写意图及教学建议
本节内容是圆的两类方程：标准方程和一般方程.圆是学生熟悉的基本平面曲线，可以说圆是最简单的封闭“曲线形”.学生在初中已经学习过圆的一些性质.现在在平面直角坐标系中研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题.圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用.
通过本节的学习，要让学生掌握圆的标准方程和一般方程的基本知识，能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径.要让学生掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和圆的半径.能够根据具体条件,选择适当的圆的方程形式,求出圆的标准方程,或圆的一般方程.
2.4.1圆的标准方程
1.建立圆的标准方程
在平面直角坐标系中建立圆的标准方程,是从确定圆的几何要素开始的.确定圆的几何要素是：圆心和半径.在平面直角坐标系中建立圆的标准方程问题,涉及平面中两点间的距离公式.这里的两个点：一个是圆心,另一个是圆上任意一点,其中圆心是定点,圆上任意一点是动点.圆是到定点（圆心）的距离为定值（圆的半径）的点的集合或轨迹.根据平面上两点间的距离公式得到方程
…….
对于以上方程,我们容易得到,圆上的点都满足方程①；反过来,满足方程①的点到圆心的距离都等于半径,也就是这些点都在圆上,此时称这个方程为圆的标准方程.对于求圆的标准方程来说,这个双向论证过程是容易的.推导圆的标准方程的过程说明圆上点的坐标都满足方程①；反过来,如果点的坐标满足方程①,即,那么,,根据两点间的距离公式,也就说明了动点与圆心的距离为,根据圆的定义,动点在以为圆心,半径等于的圆上.
在直线与直线的方程中,教科书述及了两者之间的一一对应关系.现在通过对圆与圆的方程关系的研究,丰富了学生对曲线与方程之间一一对应关系的认识.从大的范围看,这种一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系.有了这种关系,我们可以用方程表示曲线,对曲线进行“运算”；建立方程的几何直观表达,把方程“形象化”.
2.例1的教学
本节三个例题、“探究”都涉及圆的标准方程.它们由简单到复杂,具有一定的层次性：例1是由圆的标准方程判断平面直角坐标系中任意一点是否在圆上；“探究”进一步研究点在圆内、圆外的条件；例2是由三角形求其外接圆的标准方程；例3是由任意两点以及圆心的动态变化,结合图形的几何特征,求圆的标准方程.解决这一类问题的基本思想方法是首先求出圆心的坐标和圆的半径,然后写出圆的标准方程.
例1是根据点的坐标是否满足圆的标准方程判断点是否在圆上的问题,这是圆的标准方程的直接运用,只要验证点的坐标是否满足圆的标准方程.如果满足,那么这个点在圆上；如果不满足,那么这个点不在圆上.而且,根据点与圆心的距离,我们可以进一步判断点在圆内,还是在圆外.这里的判定方法与通过画出圆和点用纯几何的判定方法不同,这里用的是坐标法.
3.“探究”的教学
教科书紧接例1安排了一个“探究”,由于涉及点与圆心的距离问题,比判断点是否在圆上难一些.这个探究是一个思考性的问题,此问题的意图是从坐标法的角度来思考,从数量关系来回答问题.“探究”中的点和圆并不是具体的点和圆,对于这个问题的回答具有一般性意义：根据圆的知识,只要计算出点到原点距离的平方,即,并与作比较,即：如果小于,那么点在圆内；如果大于,那么点在圆外.
4.例2的教学
例2是求三角形外接圆的方程,本质上是不共线的三个点唯一确定一个圆,用的方法是待定系数法.在解方程求未知数的过程中,教科书中使用的方法是把标准方程展开,通过把三个方程两两相减,消去二次项,得到二元一次方程组,解出未知数.
当然,这个例题的解答也可以运用平面几何中由三角形作出其外接圆的过程,先求出三角形任意两边的垂直平分线的方程,两条垂直平分线的交点就是圆心,两条垂直平分线的交点与任意一个顶点的距离就是三角形外接圆的半径.圆心坐标和半径确定后,问题就解决了.
对于上述两种方法,学生可能更习惯于后一种方法,这种方法的特点是充分结合图形的几何特征.而待定系数法是解析几何中研究问题时常用的方法,它是充分运用方程,通过运算解决问题,需要慢慢体会.
本题可以向学生提出要求在坐标系内画出及外接圆,数形结合,把数学运算和直观想象结合起来.
5.例3的教学
例3也是根据一些已知条件求圆的标准方程的问题,解决这类问题往往有多种方法.例3给出了两种方法,第一种方法是待定系数法.先设圆心的坐标,通过圆心在直线上,满足直线的方程,得到圆心的横坐标与纵坐标之间的关系式；再根据圆心与圆上任意一点的距离都等于半径，得出圆心横坐标与纵坐标之间的关系式,通过两个关系式,得出圆心坐标的具体值.这种方法的出发点和落脚点都是圆心,求出圆心的坐标,圆心坐标确定后,半径自然就确定了.第二种方法是充分运用图形的几何性质,由圆的垂径定理,圆心在弦的垂直平分线上,结合圆心在另一条直线上,通过直线的交点得出圆心的坐标,进而得到半径,最后得到圆的方程.
解决本题的关键是确定圆心的坐标,第一种方法是典型的待定系数法,第二种方法是充分结合图形的几何性质.教学时要让学生比较两种方法的差异,进一步体会待定系数法.
从例2和例3的解答中可以得到启示,解决平面解析几何问题的过程中,要注意综合运用所学的数学知识.代数方法具有程序化的特点,比较容易想到,但有时运算会比较复杂；如果灵活运用平面几何知识,往往能够减少运算量,使问题的解法显得简洁.另外,解决解析几何问题的过程中离不开运算,需要灵活运用运算法则和数学公式.
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