人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《圆的方程---圆的一般方程》教材分析
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《圆的方程---圆的一般方程》教材分析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 94.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-19 10:54:13 | ||
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文档简介
《圆的方程---圆的一般方程》教材分析
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：圆的标准方程和一般方程.
难点：圆的方程的应用.
三、教科书编写意图及教学建议
本节内容是圆的两类方程：标准方程和一般方程.圆是学生熟悉的基本平面曲线，可以说圆是最简单的封闭“曲线形”.学生在初中已经学习过圆的一些性质.现在在平面直角坐标系中研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题.圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用.
通过本节的学习，要让学生掌握圆的标准方程和一般方程的基本知识，能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径.要让学生掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和圆的半径.能够根据具体条件,选择适当的圆的方程形式,求出圆的标准方程,或圆的一般方程.
2.4.2圆的一般方程
1.圆的一般方程与标准方程的关系
由于圆的标准方程可以化为形如的方程，所以，教科书没有讨论圆的方程和一般形式的二元二次方程的之间的关系，这在一定程度上简化了教科书对于二元二次方程的研究范围，使问题聚焦在形如的方程上.教科书在第2.4.2小节中的“思考”起到了聚焦问题范围的作用.
研究圆与形如的方程之间的关系，应讨论以下基本问题：
（1）这类方程是否都是圆的方程？
（2）如果这类方程表示圆，其系数具有什么条件？
（3）这类方程是圆的方程时，能否直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径？
（4）这类方程如果不表示圆，方程表示什么曲线？
教科书第2.4.2小节中的“思考”和“探究”都是围绕以上问题展开的，其实是明确转化的方向，化成圆的标准方程的形式，所用的方法是配方法.解决以上问题的方法是通过配方把化成
，
于是得到教科书中相应的三个基本结论.
提到一个方程是圆的一般方程，这是有前提的，首先需要在方程确实表示圆的情况下称为圆的方程，而条件是充要条件.学生容易忽略这个前提条件，应该提醒学生加以注意.第（2）种情况，，此时方程表示一个点，这个点可以看成是半径等于0的“圆”，第（3）种情况，，方程不表示任何图形.
教学中，为了说明圆的标准方程一定可以展开为形如的方程，从逻辑严密性的角度来思考，当然也可以根据学生学习的实际情况，选择直接由圆的标准方程出发，通过运算去论证，也就是把圆的标准方程
展开为
圆的标准方程一定可以化为形如的方程.对于形如的方程，可以根据教科书中得到的基本结论（1），直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径.当然，也可以直接通过配方求圆的圆心坐标、圆的半径.
教科书中的“思考”：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？安排这个“思考”的目的在于让学生认识到：圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程，方程的代数特征非常明显.对于这个思考问题，在教学过程中不妨让学生自行归纳并作一些交流，然后教师作出总结归纳.
2.例4的教学
教科书的例4是典型的已知不共线三个点的坐标，求经过这三个点的圆的方程问题.例4和例2都属于这类问题，条件非常相似.由于解题要求中并未指明要求出哪种类型的圆的方程，此时，解题已经可以在两种类型的圆的方程中有所选择了.
例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的原因是得到的方程没有二次项次，是一个三元一次方程组，而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易.
例4的解题方法仍然应用了待定系数法.待定系数法，一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条件解得所设的未知系数.由于其中的系数是未知和待定的，这类方法称为待定系数法.对于这种方法，可以根据教学实际适当补充例题和习题.例3中的第一种解法也是待定系数法.
3.例5的教学
例5也是一类常见的求曲线方程的问题.这类问题的特点是：问题中常常有一条已知曲线，而所求曲线上的动点由曲线上的动点确定，于是可以根据和两者间的关系求出以下形式的坐标关系式：
于是，根据曲线与方程之间的关系，把以上坐标形式代入曲线的方程，作必要的方程变形和整理、化简，就可以求出曲线的方程.解答例5的基本思路就是运用了上述基本思想方法.
（1）求出点与点之间的关系：
由上得到
（2）由于点的坐标满足方程，即，把点与点之间的关系
代入以上关系式，作适当的变形，就得到点的坐标满足的条件，也就是它的轨迹方程，由轨迹方程判断轨迹的形状.教学中，可以让学生通过对于例题的分析和解答，以及解题后的回顾思考，让学生体会和思考以上思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.上述的解题思想方法广泛地应用于解决这种类型的曲线方程问题的过程之中.
在例5的教学中，如果能借助信息技术工具，对问题中曲线形成过程作动态演示，可以使得问题的分析更加直观、生动、有趣，启发学生思维，培养学生研究数学问题的兴趣和热情，推动信息技术在教学中的运用.
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一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：圆的标准方程和一般方程.
难点：圆的方程的应用.
三、教科书编写意图及教学建议
本节内容是圆的两类方程：标准方程和一般方程.圆是学生熟悉的基本平面曲线，可以说圆是最简单的封闭“曲线形”.学生在初中已经学习过圆的一些性质.现在在平面直角坐标系中研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题.圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用.
通过本节的学习，要让学生掌握圆的标准方程和一般方程的基本知识，能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径.要让学生掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和圆的半径.能够根据具体条件,选择适当的圆的方程形式,求出圆的标准方程,或圆的一般方程.
2.4.2圆的一般方程
1.圆的一般方程与标准方程的关系
由于圆的标准方程可以化为形如的方程，所以，教科书没有讨论圆的方程和一般形式的二元二次方程的之间的关系，这在一定程度上简化了教科书对于二元二次方程的研究范围，使问题聚焦在形如的方程上.教科书在第2.4.2小节中的“思考”起到了聚焦问题范围的作用.
研究圆与形如的方程之间的关系，应讨论以下基本问题：
（1）这类方程是否都是圆的方程？
（2）如果这类方程表示圆，其系数具有什么条件？
（3）这类方程是圆的方程时，能否直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径？
（4）这类方程如果不表示圆，方程表示什么曲线？
教科书第2.4.2小节中的“思考”和“探究”都是围绕以上问题展开的，其实是明确转化的方向，化成圆的标准方程的形式，所用的方法是配方法.解决以上问题的方法是通过配方把化成
，
于是得到教科书中相应的三个基本结论.
提到一个方程是圆的一般方程，这是有前提的，首先需要在方程确实表示圆的情况下称为圆的方程，而条件是充要条件.学生容易忽略这个前提条件，应该提醒学生加以注意.第（2）种情况，，此时方程表示一个点，这个点可以看成是半径等于0的“圆”，第（3）种情况，，方程不表示任何图形.
教学中，为了说明圆的标准方程一定可以展开为形如的方程，从逻辑严密性的角度来思考，当然也可以根据学生学习的实际情况，选择直接由圆的标准方程出发，通过运算去论证，也就是把圆的标准方程
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圆的标准方程一定可以化为形如的方程.对于形如的方程，可以根据教科书中得到的基本结论（1），直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径.当然，也可以直接通过配方求圆的圆心坐标、圆的半径.
教科书中的“思考”：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？安排这个“思考”的目的在于让学生认识到：圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程，方程的代数特征非常明显.对于这个思考问题，在教学过程中不妨让学生自行归纳并作一些交流，然后教师作出总结归纳.
2.例4的教学
教科书的例4是典型的已知不共线三个点的坐标，求经过这三个点的圆的方程问题.例4和例2都属于这类问题，条件非常相似.由于解题要求中并未指明要求出哪种类型的圆的方程，此时，解题已经可以在两种类型的圆的方程中有所选择了.
例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的原因是得到的方程没有二次项次，是一个三元一次方程组，而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易.
例4的解题方法仍然应用了待定系数法.待定系数法，一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条件解得所设的未知系数.由于其中的系数是未知和待定的，这类方法称为待定系数法.对于这种方法，可以根据教学实际适当补充例题和习题.例3中的第一种解法也是待定系数法.
3.例5的教学
例5也是一类常见的求曲线方程的问题.这类问题的特点是：问题中常常有一条已知曲线，而所求曲线上的动点由曲线上的动点确定，于是可以根据和两者间的关系求出以下形式的坐标关系式：
于是，根据曲线与方程之间的关系，把以上坐标形式代入曲线的方程，作必要的方程变形和整理、化简，就可以求出曲线的方程.解答例5的基本思路就是运用了上述基本思想方法.
（1）求出点与点之间的关系：
由上得到
（2）由于点的坐标满足方程，即，把点与点之间的关系
代入以上关系式，作适当的变形，就得到点的坐标满足的条件，也就是它的轨迹方程，由轨迹方程判断轨迹的形状.教学中，可以让学生通过对于例题的分析和解答，以及解题后的回顾思考，让学生体会和思考以上思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.上述的解题思想方法广泛地应用于解决这种类型的曲线方程问题的过程之中.
在例5的教学中，如果能借助信息技术工具，对问题中曲线形成过程作动态演示，可以使得问题的分析更加直观、生动、有趣，启发学生思维，培养学生研究数学问题的兴趣和热情，推动信息技术在教学中的运用.
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