《圆的方程》竞赛培优
一、选择题
1.(2019·全国高中数学联赛四川赛区预赛)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被合称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是呵波罗尼斯圆如动点M与两定点的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为。下面，我们来研究与此相关的一个问题。已知圆上的动点M和定点，，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、解答题
2.(2019·华约联盟自主招生)设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为。在满足上述条件的圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析：如图，取点，连接OM，MK。
，，
，
，，
易知的最小值为的长。
。
2.
答案：见解析
解析：设圆心为，半径为r，依题意，得消去，
得①。
圆心到直线l的距离，设，则，代入①式，
得。
判别式，解得，当时，。
当时，，圆的方程为；
当时，，圆的方程为。
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y
M
B
K
AO
X《圆的方程》高考通关练
一、选择题
1.(2020·辽宁实验中学月考)曲线围成的图形的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.(2020·湖北宜昌统考)已知直线，圆，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形只可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.(2020·山东枣庄二中月考)已知两点，点P是圆上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.(2020·江西南昌NCS项目第一次模拟)已知，
，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5.(2020·山东烟台一模)若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.(2020·上海松江模拟)一束光线从点出发经x轴反射，到达圆上一点的最短路程是_______。
7.(2020·武汉二中单元检测)已知圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围是_______。
8.(2020·湖北八校联考)已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖，则圆C的方程为______。
9.(2020·湖南十五校联考)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上。则矩形ABCD外接圆的标准方程为_______。
三、解答题
10.(2020·湖北黄梅一中月考)已知定点，动点N在圆上运动，以OM，ON为两边作，求点P的轨迹。
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析：由题意画出曲线对应的图形（如图中实曲线所示）。
当时，曲线的方程为，由曲线的对称性可知，此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆围成，因此围成的图形的面积为，故选B。
2.
答案：B
解析：圆M的圆心为，且过原点，可排除A，C。B项中由直线l可知圆心在第一象限，满足条件。D项中由直线l可知，圆心在第二象限，与图形不符。故选B。
3.
答案：B
解析：由题意可知，圆心到直线的距离为，故圆上的点P到直线AB的距高的最大值是，最小值是，又，故△PAB面积的最大值和最小值分别是。
4.
答案：A
解析：如图所示，表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部，表示圆及其内部，易知圆心到直线的距离，由p是q的必要不充分条件，得，故选A。
5.
答案：C
解析：由圆与圆关于直线对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线上，故可得，即点C的坐标为，所以过点且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为，整理得。
二、填空题
6.
答案：4
解析：因为点关于x轴的对称点的坐标为，圆心坐标为，所以光线从点出发经x轴反射，到达圆上一点的最短路程为。
7.
答案：
解析：由题意知，直线过圆心，而圆心坐标为，代入直线方程，得。圆的方程化为标准方程为，所以，因此，。
8.
答案：
解析：由题意可知，此平面区域表示的是以所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆。
△OPQ为直角三角形，圆心为斜边PQ的中点，半径，
因此圆C的方程为。
9.
答案：
解析：因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，所以AD边所在直线的斜率为。又点在AD边所在直线上，所以AD边所在直线的方程为，即。
由解得点A的坐标为。因为矩形ABCD的两条对角线的交点为，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心。
又外接圆的半径，所以矩形ABCD外接圆的标准方程为。
三、解答题
10.
答案：见解析
解析：如图，设P点的坐标为点的坐标为，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中坐标为。
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以，从而
又点在圆上，所以。
当点P在直线OM上时，有或。
故所求点P的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，
除去点和点。
2 / 7《圆的方程》学考达标练
一、选择题
1.(2020·湖北红安一中单元检测)方程表示的曲线是（ ）
A.一个圆和一条直线
B.一个圆和一条射线
C.一个圆
D.一条直线
2.(2020·山东济南一中单元检测)若圆关于直线和直线都对称，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.(2020·福建安溪八中月考)若圆的圆心位于第三象限，则直线一定不经过（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.(2020·湖北武汉华师一附中期中)已知圆的方程为，则点的位置是（ ）
A.在圆上
B.在圆内
C.在圆外
D.不能确定
二、填空题
5.(2020·湖南怀化二中单元训练)已知定点在圆的外部，则a的取值范围为_________。
6.(2020·湖南师大附中单元检测)已知点动点P满足，则点P的轨迹方程为_______。
三、解答题
7.(2020·广东华侨中学单元检测)已知方程表示一个圆。
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆半径r的取值范围；
（3）求圆心C的轨迹方程。
参考答案
一、选择题
1.
答案：D
解析：由题意，可化为，
或直线在圆的上方，
不成立方程
表示的曲线是一条直线。
2.
答案：D
解析：由圆的方程可得圆心的坐标为，又圆关于直线对称，所以直线都经过圆的圆心，所以
解得所以，故选D。
3.
答案：D
解析：圆的圆心为，其位于第三象限，
则。直线可变形为，则斜率，
纵截距，所以直线不经过第四象限。
4.
答案：C
解析：圆的圆心为，半径为，圆心到点的距离的平方为，故选C。
二、填空题
5.
答案：
解析：点A在圆外，
即的取值范围是。
6.
答案：
解析：设点P的坐标为，则，
化简可得，即点P的轨迹方程为。
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：（1）要使方程表示圆，则，
即，
整理得，解得。
。
。
（3）设圆心坐标为，则
消去m可得。
。
故圆心C的轨迹方程为，
即。
【点评】（1）利用二元二次方程表示圆的条件求m的取值范围，再构造函数通过求最值，获得半径r的取值范围。
（2）含有参数的二元二次方程，并不一定表示圆，只有当时才表示圆，即可通过不等式求出参数的范围，此题中利用了函数与方程思想求半径r的取值范围。
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