十六 圆的标准方程
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知两直线x-2y=0和x+y-3=0的交点为M,则以点M为圆心,半径长为1的圆的方程是 ( )
A.(x+1)2+(y+2)2=1
B.(x-1)2+(y-2)2=1
C.(x+2)2+(y+1)2=1
D.(x-2)2+(y-1)2=1
2.圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值是 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
3.圆心在直线2x+y=0上,并且经过点A(1,3)和B(4,2)的圆的半径为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.点(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是 ( )
A.0
C.a>1 D.a=1
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.圆x2+(y-1)2=1的圆心到直线y=-x-2的距离为 .
【加练·固】
在y轴上的截距为2和8,且半径为5的圆C的方程是 .
答案:(x+4)2+(y-5)2=25或(x-4)2+(y-5)2=25
6.若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的标准方程为 .
【加练·固】
圆C经过A(-1,2),B(1,4)两点,当圆C面积最小时,圆C的标准方程为 .
三、解答题
7.(10分)已知圆M过A(1,-1),B(-1,1)两点,且圆心M在直线x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程.
(2)若圆M上存在点P,使|OP|=a(a>0),其中O为坐标原点,求实数a的取值范围.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知三点A(2,0),B(1,),C(3,)则△ABC的外接圆的圆心到原点O的距离为 ( )
A. B.
C. D.
2.(5分)已知两点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则△PAB面积的最大值与最小值分别是 ( )
A.2,(4-)
B.(4+),(4-)
C.,4-
D.(+2),(-2)
3.(5分)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y=0对称,则圆C2的标准方程为 .
4.(5分)若圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且圆心到直线x+2y=0的距离等于半径,则圆C的方程是 .
5.(10分)如图,矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0),AB边所在直线的方程为x-3y-7=0,点E(0,1)在BC边所在直线上.
(1)求AD边所在的直线方程.
(2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程.
【加练·固】
已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P在圆x2+y2=4上运动,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值.
十六 圆的标准方程答案
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知两直线x-2y=0和x+y-3=0的交点为M,则以点M为圆心,半径长为1的圆的方程是 ( )
A.(x+1)2+(y+2)2=1
B.(x-1)2+(y-2)2=1
C.(x+2)2+(y+1)2=1
D.(x-2)2+(y-1)2=1
【解析】选D.由解得即圆心M为(2,1),半径为1,所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
2.圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值是 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
【解析】选B.圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则直线过圆心(1,1),即1=k+3,解得k=-2.
3.圆心在直线2x+y=0上,并且经过点A(1,3)和B(4,2)的圆的半径为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选C.设圆心坐标为(a,b),
则
解得
所以该圆的半径r==5.
4.点(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是 ( )
A.0C.a>1 D.a=1
【解析】选B.由于点在圆的内部,所以(5+1-1)2+()2<26,即26a<26,又a≥0,解得0≤a<1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.圆x2+(y-1)2=1的圆心到直线y=-x-2的距离为 .
【解析】圆心(0,1)到直线y=-x-2的距离为d==.
答案:
【加练·固】
在y轴上的截距为2和8,且半径为5的圆C的方程是 .
【解析】由题意知圆过点A(0,2),B(0,8),所以圆心C在弦AB的垂直平分线y=5上,设圆心坐标为C(a,5),所以=5,所以a=±4,所以所求圆的标准方程为(x±4)2+(y-5)2=25.
答案:(x+4)2+(y-5)2=25或(x-4)2+(y-5)2=25
6.若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的标准方程为 .
【解析】设圆心C(a,b),
由已知得
解得a=2,b=±,半径r=|a|=2,
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-)2=4
或(x-2)2+(y+)2=4.
答案:(x-2)2+(y±)2=4
【加练·固】
圆C经过A(-1,2),B(1,4)两点,当圆C面积最小时,圆C的标准方程为 .
【解析】圆C经过A(-1,2),B(1,4)两点,当圆C面积最小时,
圆心为AB的中点(0,3),
半径为|AB|==,所以所求的圆的方程为x2+(y-3)2=2.
答案:x2+(y-3)2=2
三、解答题
7.(10分)已知圆M过A(1,-1),B(-1,1)两点,且圆心M在直线x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程.
(2)若圆M上存在点P,使|OP|=a(a>0),其中O为坐标原点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),根据题意得
解得
所以圆M的方程为:(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)如图,a=|OP|∈[2-,2+].
(15分钟·30分)
1.(5分)已知三点A(2,0),B(1,),C(3,)则△ABC的外接圆的圆心到原点O的距离为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.根据题意,设△ABC的外接圆的圆心为D,
又由B(1,),C(3,),则D在线段BC的垂直平分线上,则设D的坐标为(2,t),则有(2-2)2+(t-0)2=(2-1)2+(t-)2,
解可得:t=,故圆心的坐标为,则|OD|==.
2.(5分)已知两点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则△PAB面积的最大值与最小值分别是 ( )
A.2,(4-)
B.(4+),(4-)
C.,4-
D.(+2),(-2)
【解析】选B.点A(-1,0),B(0,2)所在的直线方程为2x-y+2=0,圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线的距离为=,又AB=,所以△PAB面积的最大值为××=(4+),最小值为××=(4-).
3.(5分)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y=0对称,则圆C2的标准方程为 .
【解析】圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y=0对称,则圆C2的圆心坐标为(1,-1),半径为1,故圆C2的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=1.
答案:(x-1)2+(y+1)2=1
4.(5分)若圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且圆心到直线x+2y=0的距离等于半径,则圆C的方程是 .
【解析】设圆心坐标为C(a,0)(a<0),
则=,所以|a|=5.
又因为a<0,所以a=-5,故圆C的方程为(x+5)2+y2=5.
答案:(x+5)2+y2=5
5.(10分)如图,矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0),AB边所在直线的方程为x-3y-7=0,点E(0,1)在BC边所在直线上.
(1)求AD边所在的直线方程.
(2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程.
【解析】(1)因为AB⊥AD,所以kAD=-=-=-3,
E(0,1)关于M(3,0)的对称点为(6,-1)在直线AD上,
所以AD边所在直线的方程为:y+1=-3(x-6),即3x+y-17=0.
(2)联立
解得A(5.8,-0.4),
r2=|AM|2=(5.8-3)2+(-0.4-0)2=8,
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x-3)2+y2=8.
【加练·固】
已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P在圆x2+y2=4上运动,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值.
【解析】设P点的坐标为(x,y),
则x2+y2=4.|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2
=3(x2+y2)-4y+68=80-4y.
因为-2≤y≤2,
所以72≤|PA|2+|PB|2+|PC|2≤88,
即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88,最小值为72.
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4 / 10第二章直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2) ( )
A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外
2.已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y-3)2=29
B.(x+1)2+(y-3)2=116
C.(x-1)2+(y+3)2=29
D.(x-1)2+(y+3)2=116
3.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
4.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)的连线中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.(x+)2+y2=
5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .
6.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为 .
7.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是 .
8.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2,试分别求满足下列条件的实数a的取值范围:
(1)点A在圆的内部;
(2)点A在圆上;
(3)点A在圆的外部.
能力提升练
1.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )
A.,-4 B.-,4
C.,4 D.-,-4
2.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是( )
A. B.
C.- D.-
3.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
4.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是 .
5.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是
.
6.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
素养培优练
若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,求当半径最小时圆的方程.
第二章直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
课后篇巩固提升答案
基础达标练
1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2) ( )
A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外
解析∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.
答案C
2.已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y-3)2=29
B.(x+1)2+(y-3)2=116
C.(x-1)2+(y+3)2=29
D.(x-1)2+(y+3)2=116
解析因为A(-4,-5),B(6,-1),所以线段AB的中点为C(1,-3),所求圆的半径r=|AB|=,所以以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C.
答案C
3.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
解析根据圆心在直线x+y-2=0上可排除B,D.再把点B的坐标代入A,C选项中,可得C正确.
答案C
4.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)的连线中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.(x+)2+y2=
解析设M(x0,y0)为圆上的动点,则有=1,设线段MA的中点为P(x,y),则x=,y=,
∴x0=2x-3,y0=2y,代入=1,得(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.
答案C
5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .
答案(2,-3)
6.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为 .
解析圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.
答案x2+(y+1)2=5
7.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是 .
解析由题意得A(0,3),B(-4,0),AB的中点(-2,)为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB为直径的圆的标准方程为(x+2)2+(y-)2=.
答案(x+2)2+(y-)2=
8.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2,试分别求满足下列条件的实数a的取值范围:
(1)点A在圆的内部;
(2)点A在圆上;
(3)点A在圆的外部.
解(1)∵点A在圆的内部,∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,
即2a+5<0,解得a<-.
故a的取值范围是.
(2)将点A(1,2)坐标代入圆的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,解得a=-.
(3)∵点A在圆的外部,∴(1-a)2+(2+a)2>2a2,即2a+5>0,解得a>-.
故a的取值范围是.
能力提升练
1.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )
A.,-4 B.-,4
C.,4 D.-,-4
解析因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.
答案A
2.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是( )
A. B.
C.- D.-
解析过P可作圆的两条切线,说明点P在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m)2>1,解得m>或m<-,对照选项知AD可能.
答案AD
3.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析(方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.
过A,B两点的直线方程为y=x+,
即ax-4y+2a=0,令d==1,
化简后,得3a2=16,解得a=±.再进一步判断便可得到正确答案为C.
(方法2)(数形结合法)
如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=,再由图直观判断,故选C.
答案C
4.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是 .
解析由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为-5=10-5=5.
答案5
5.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是
.
解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
答案(x+1)2+(y-2)2=5
6.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
解(1)因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-2.又因为点T(-1,0)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.
(2)由解得所以点A的坐标为(0,-2),
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1),所以M为矩形外接圆的圆心.
又|AM|=,
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.
素养培优练
若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,求当半径最小时圆的方程.
解(方法1)设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径r=.当a=时,rmin=.
故所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=.
(方法2)易知,圆的半径的最小值就是原点O到直线y=-2x+3的距离.
如图,此时r=.
设圆心为(a,-2a+3),
则,
解得a=,从而圆心坐标为().故所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=.
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