第二章直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( )
A.x2+y2+4x-2y-5=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y=0 D.x2+y2-4x+2y=0
2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
3.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-4x+6y+8=0 B.x2+y2-4x+6y-8=0
C.x2+y2-4x-6y=0 D.x2+y2-4x+6y=0
4.已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.10 B.4 C.5 D.
5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是 .半径是 .
6.过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为 .
7.若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆面积最大时,圆心坐标为 .
8.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.
能力提升练
1.曲线x2+y2+2x-2y=0关于( )
A.直线x=轴对称 B.直线y=-x轴对称
C.点(-2,)中心对称 D.点(-,0)中心对称
2.(多选题)若点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外,则下列可能为m值的有( )
A. B. C. D.1
3.已知点P(5,3),点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动,则|PM|的最大值为 .
4.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则圆C的一般方程为 .
5.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.
素养培优练
设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程.
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点 请说明理由.
第二章直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
课后篇巩固提升答案
基础达标练
1.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( )
A.x2+y2+4x-2y-5=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y=0 D.x2+y2-4x+2y=0
解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.
答案C
2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
解析将圆x2+y2+2x-4y=0化为标准方程(x+1)2+(y-2)2=5,可得圆心(-1,2).
∵直线3x+y+a=0过圆心,
∴将(-1,2)代入直线3x+y+a=0,可得a=1.
答案B
3.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-4x+6y+8=0 B.x2+y2-4x+6y-8=0
C.x2+y2-4x-6y=0 D.x2+y2-4x+6y=0
解析易知圆C的半径为,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.
答案D
4.已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.10 B.4 C.5 D.
解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆M过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得解得即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即为(x-1)2+(y+2)2=25,圆心(1,-2)到原点的距离为.故选D.
答案D
5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是 .半径是 .
解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为.
答案(-2,1)
6.过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为 .
解析设M(x,y),则P(x,2y).
∵点P(x,2y)在圆x2+y2=4上,∴x2+4y2=4.
答案x2+4y2=4
7.若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆面积最大时,圆心坐标为 .
解析将圆的方程配方得(x+)2+(y+1)2=-k2+1,即r2=1-k2>0,∴rmax=1,此时k=0.
∴圆心为(0,-1).
答案(0,-1)
8.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.
解设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0.
∴圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,
∴圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E.
由题知x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,
∴D+E=-2. ①
又A(4,2),B(-1,3)在圆上,
∴16+4+4D+2E+F=0, ②
1+9-D+3E+F=0. ③
由①②③解得D=-2,E=0,F=-12.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.
能力提升练
1.曲线x2+y2+2x-2y=0关于( )
A.直线x=轴对称 B.直线y=-x轴对称
C.点(-2,)中心对称 D.点(-,0)中心对称
解析原方程化为(x+)2+(y-)2=4,表示以(-)为圆心,半径长为2的圆.又圆过原点,故原点与圆心的连线方程为y=-x,圆关于此直线轴对称,故应选B.
答案B
2.(多选题)若点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外,则下列可能为m值的有( )
A. B. C. D.1
解析x2+y2-x+y+m=0可化为(x-)2+(y+)2=-m,
则-m>0,解得m<.
因为点(1,-1)在圆外,所以1+1-1-1+m>0,
即m>0,所以0答案AB
3.已知点P(5,3),点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动,则|PM|的最大值为 .
解析圆x2+y2-4x+2y+4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=1,圆心为C(2,-1),半径为1,
∴|PC|==5,
∴|PM|的最大值为5+1=6.
答案6
4.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则圆C的一般方程为 .
解析因为圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C(-,-)在直线x+y-1=0上,
所以--1=0,即D+E=-2, ①
又r=,所以D2+E2=20, ②
联立①②可得,
又圆心在第二象限,所以-<0,D>0,
所以
所以所求的圆的方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
答案x2+y2+2x-4y+3=0
5.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.
解(1)(方法1)直线AB的斜率k==-1,
所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.
线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=,y=.因此,直线m的方程为y-=x-,即x-y-1=0.
又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.联立方程组解得
所以圆心坐标为C(3,2).
又半径r=|CA|=,
则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(方法2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意得解得
所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),
则解得
将P(2x-8,2y)代入圆C的方程中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ中点M的轨迹方程为(x-)2+(y-1)2=.
素养培优练
设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程.
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点 请说明理由.
解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),
∴
解得D=0,E=3-a,F=-3a.
∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.
(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由
解得x=0,y=-3.
∴圆M过定点(0,-3).
2 / 6十七 圆的一般方程
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)若a∈,方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的值可以为 ( )
A.-2 B.0 C.1 D.
2.若圆x2+y2+2x-4y=0关于直线2x-y+a=0对称,则a的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.0 D.4
3.已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为(5,0),则它的半径为 ( )
A.3 B. C.5 D.4
4.圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y+1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心到直线ax-y+1=0的距离为1,则a= .
【加练·固】
已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,则d的最大值及最小值分别为 、 .
6.圆x2+y2=8内有一点P(2,-1),AB为过点P的弦,则AB的中点Q的轨迹方程为 .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,求圆的一般方程.
8.在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与坐标轴有三个交点,经过这三个点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围.
(2)求圆C的方程.
(15分钟·30分)
1.(5分)当圆x2+y2+2x+2ky+2k2=0的面积最大时,圆心坐标是 ( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(1,-1) D.(-1,1)
2.(5分)若Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为 ( )
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
3.(5分)若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0和直线l2:x+3y=0都对称,则D= ,E= .
【加练·固】
已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,则圆C的圆心坐标为 ( )
A.(0,1) B.(1,0)
C.(2,1) D.(1,2)
4.(5分)点M,N在圆C:x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则圆C的半径为 .
5.(10分)已知圆的方程x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0.
(1)求此圆的圆心与半径.
(2)求证:不论m为何实数,它们表示圆心在同一条直线上的半径相等的圆.
1.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 ( )
A. B.5 C.2 D.10
2.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.
最小覆盖圆满足以下性质:
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆.
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点.
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程.
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程.
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.
十七 圆的一般方程答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)若a∈,方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的值可以为 ( )
A.-2 B.0 C.1 D.
【解析】选ABD.根据题意,若方程表示圆,则有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得:a<1,又由a∈,则a=-2,0,.
2.若圆x2+y2+2x-4y=0关于直线2x-y+a=0对称,则a的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.0 D.4
【解析】选D.因为圆关于直线2x-y+a=0对称,所以圆心C在直线2x-y+a=0上,求得C的坐标为(-1,2),可得2×(-1)-2+a=0,解得a=4.
3.已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为(5,0),则它的半径为 ( )
A.3 B. C.5 D.4
【解析】选D.圆的方程x2+y2+2ax+9=0,即(x+a)2+y2=a2-9,它的圆心坐标为(-a,0),可得a=-5,故它的半径为==4.
4.圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y+1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.由于圆x2+y2-ax-2y+1=0的圆心M,圆x2+y2-4x+3=0的圆心N(2,0),又两圆关于直线x-y+1=0对称,故有×1=-1,解得a=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心到直线ax-y+1=0的距离为1,则a= .
【解析】圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心C(1,4),因为圆心到直线ax-y+1=0的距离为1,所以d==1,解得a=.
答案:
【加练·固】
已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,则d的最大值及最小值分别为 、 .
【解析】如图,设P点坐标为(x0,y0),
所以d=+(y0+1)2++(y0-1)2=2(+)+2=2PO2+2.问题转化为求P点到原点O距离的最值,因为O在圆外,
所以OPmax=CO+1=5+1=6,OPmin=CO-1=5-1=4,所以dmax=2×62+2=74,dmin=2×42+2=34.
答案:74 34
6.圆x2+y2=8内有一点P(2,-1),AB为过点P的弦,则AB的中点Q的轨迹方程为 .
【解析】设AB的中点为Q(x,y),
则AB的斜率为k=,又OQ⊥AB,
所以kOQ·k=-1,
即·=-1,整理得x2+y2+y-2x=0,
所以过点P的弦中点的轨迹方程为x2+y2+y-2x=0.
答案:x2+y2+y-2x=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,求圆的一般方程.
【解析】圆心C,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以---1=0,
即D+E=-2,①
又r==,
所以D2+E2=20,②
由①②可得
或
又圆心在第二象限,
所以-<0,即D>0,
所以
所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
8.在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与坐标轴有三个交点,经过这三个点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围.
(2)求圆C的方程.
【解析】(1)令x=0,函数图象与y轴的交点是(0,b),令f(x)=0,得x2+2x+b=0,由题意知b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b.令x=0,得y2+Ey+b=0,b是方程的根,代入得E=-b-1.所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.
(15分钟·30分)
1.(5分)当圆x2+y2+2x+2ky+2k2=0的面积最大时,圆心坐标是 ( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(1,-1) D.(-1,1)
【解析】选B.将圆x2+y2+2x+2ky+2k2=0化成标准方程,得(x+1)2+(y+k)2=1-k2,
所以该圆的圆心C(-1,-k),半径r=,当且仅当k=0时,半径r取得最大值1,此时圆心坐标为C(-1,0).
2.(5分)若Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为 ( )
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
【解析】选C.线段AB的中点为(2,0),因为△ABC为直角三角形,C为直角顶点,所以C到点(2,0)的距离为|AB|=5,所以点C(x,y)满足=5(y≠0),即(x-2)2+y2=25(y≠0).
3.(5分)若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0和直线l2:x+3y=0都对称,则D= ,E= .
【解析】由题知直线l1,l2过已知圆的圆心,
所以
所以
答案:6 -2
【加练·固】
已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,则圆C的圆心坐标为 ( )
A.(0,1) B.(1,0)
C.(2,1) D.(1,2)
【解析】选A.由题意,圆心C在直线x+y-1=0上,
从而有-+1-1=0,所以a=0,所以圆C的圆心坐标为(0,1).
4.(5分)点M,N在圆C:x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则圆C的半径为 .
【解析】圆C:x2+y2+kx+2y-4=0,
即C:+(y+1)2=+5,
所以圆心C为,
由题意可得直线x-y+1=0
经过圆心C,
故有-+1+1=0,所以k=4,
故圆的半径为=3.
答案:3
5.(10分)已知圆的方程x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0.
(1)求此圆的圆心与半径.
(2)求证:不论m为何实数,它们表示圆心在同一条直线上的半径相等的圆.
【解析】(1)x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0可化为[x+(m-1)]2+(y-2m)2=9,
所以圆心为(1-m,2m),半径r=3.
(2)由(1)可知,圆的半径为定值3,
且圆心(a,b)满足方程组
即2a+b=2.
所以不论m为何值,方程表示的是圆心在直线2x+y-2=0上,半径都等于3的圆.
1.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 ( )
A. B.5 C.2 D.10
【解析】选B.圆M的圆心为(-2,-1),由题意知点M在直线l上,所以-2a-b+1=0,所以b=-2a+1,
所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5.
2.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.
最小覆盖圆满足以下性质:
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆.
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点.
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程.
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程.
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.
【解析】(1)由题意,得t=-2,
由于△ABC为锐角三角形,其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆.
设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为 x2+y2-3x-4=0.
(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆,
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.
又因为|OA|=|OC|=2<4(O为坐标原点),所以点A,C都在圆内.
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.
(3)由题意,知曲线W为中心对称图形.
设P(x0,y0),则+=16.
所以|OP|2=+(O为坐标原点),且-2≤y0≤2.
故|OP|2=+=16-+=-+,所以当=时,|OP|max=,
所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2+y2=.
PAGE
4 / 12
