课时分层作业(十七)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有( )
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为，则a＝( )
A．0或－1 B．0
C．7 D．－1或7
3．过三个点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
5．已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________．
8．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________．
三、解答题
9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
11．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是( )
A．圆心在直线y＝－x上
B．圆心在直线y＝x上
C．圆过原点
D．圆的半径为|a|
12．使方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的实数a的可能取值为( )
A．－2 B．0
C．1 D．
13．(一题两空)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
14．M(3,0)是圆C：x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．
15．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由．
课时分层作业(十七) 答案
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有( )
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
B [由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E.]
2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为，则a＝( )
A．0或－1 B．0
C．7 D．－1或7
D [将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4，
所以圆的圆心坐标为(1,4)，
所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝，
整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7.]
3．过三个点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C [设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
故圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝＝4.故选C.]
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
B [设P(x，y)，由条件知＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，故点P的轨迹所包围的图形面积等于4π.]
5．已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为.如图，
由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直．
则＝－，即a＝3.故选B.]
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
(2，－3) [由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得
解得所以点B的坐标为(2，－3)．]
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________．
x2＋y2－4x－5＝0 [设圆C的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，由题意可得＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的半径为＝3，所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.]
8．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________．
3－ [|AB|＝＝2，又AB方程为＋＝1，即x－y＋2＝0，圆x2＋y2－2x＝0上的点到直线距离的最小值为d＝－1＝，∴S△ABC的最小值为×2×＝3－.]
三、解答题
9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
[解] (1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.
由7t2－6t－1＜0得－＜t＜1.
故t的取值范围是.
(2)由(1)知：圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为.
(3)r＝＝≤.
∴r的最大值为，此时t＝，圆的标准方程为＋＝.
10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
[解] (1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，
∴a＝4，P(4,5)，
∴|PQ|＝＝2，
kPQ＝＝.
(2)∵圆心C的坐标为(2,7)，
∴|QC|＝＝4，
圆的半径是2，点Q在圆外，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
11．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是( )
A．圆心在直线y＝－x上
B．圆心在直线y＝x上
C．圆过原点
D．圆的半径为|a|
ACD [圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2.圆心坐标为(－a，a)适合方程y＝－x.
∴A正确，不适合y＝x，∴B错误，把(0,0)代入圆的方程适合，∴C正确，又r2＝2a2，∴r＝|a|，∴D正确．故选ACD.]
12．使方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的实数a的可能取值为( )
A．－2 B．0
C．1 D．
B [该方程若表示圆，则有(－a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜，其中B项满足条件，应选B.]
13．(一题两空)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由题意知a2＝a＋2，则a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，即＋(y＋1)2＝－，不能表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.]
14．M(3,0)是圆C：x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．
x－y－3＝0 x＋y－3＝0 [由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4,1)，kCM＝＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0.]
15．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由．
[解] (1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，
∴解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a.∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.
(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0.
由
解得x＝0，y＝－3.∴圆M过定点(0，－3).
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3 / 82.4.2圆的一般方程
1.以为圆心，为半径的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
2.圆的圆心和半径分别为( )
A. B. C. D.
3.过三点的圆的一般方程是( )
A. B.
C. D.
4.方程表示的圆的圆心和半径分别为( )
A. B. C. D.
5.方程表示的图形是圆，则该圆圆心位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.与圆同圆心，且过点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
7.若方程表示圆，则 k 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知方程表示圆心为，半径为2的圆，则的值依次为( )
A.2，4，4 B. C. D.
9.已知圆，则原点在( )
A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外
10.已知圆关于直线对称，则k的值为( )
A． B．1 C．或1 D．0
11.圆的半径为______.
12.已知，方程表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.
13.已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为____________.
14.圆心在直线上的圆与轴交于两点，求圆的方程.
15.当实数的值为多少时，关于的方程表示的图形是一个圆
答案以及解析
1.答案：C
解析：由圆心坐标为，半径，
则圆的标准方程为：，
化为一般方程为：．
2.答案：B
解析：将变形，得，所以圆心为，半径为2.故选B.
3.答案：D
解析：设所求的圆的方程为，因为三点在圆上，所以，解得，于是所求圆的一般方程是.
4.答案：B
解析：，即，故圆心为，半径为2．故选B．
5.答案：D
解析：因为方程表示的图形是半径为的圆，所以，即，所以.又该圆圆心坐标为，所以圆心位于第四象限.
6.答案：B
解析：设所求圆的方程为，由该圆过点，得，所以所求圆的方程为.
7.答案：B
解析：由题意可得解得
8.答案：B
解析：由，得圆心坐标是，半径.因为圆心为，半径为2，所以，故选B.
9.答案：B
解析：将圆的方程化成标准方程，因为，所以，即原点在圆外.
10.答案：A
解析：化圆为.则圆心坐标为，
∵圆关于对称，∴，得.
当时，，不合题意，∴.故选A.
11.答案：
解析：由，得，所以所求圆的半径为.
12.答案：
解析：由题意，或，
时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为，不表示圆.
13.答案：
解析：因为方程表示圆，
所以，即.易知圆心坐标为，且.设圆心坐标为，则有，消去，得，即所求圆心的轨迹方程.
14.答案：设圆的方程为.
圆心在直线上，
，
即.①
又点在圆上，
，②
由①②，解得，
圆的方程为.
15.答案：要使方程表示的图形是一个圆，需满足，得，
所以或.
①当时，方程为不合题意，舍去；
②当时，方程为，即，表示以原点为圆心，以为半径的圆.
综上，满足题意.
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