数学人教A版（2019）必修第一册4.4.2对数函数及其性质（共30张ppt）

(共30张PPT)
4.4对数函数及其性质
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
将衰减率设为p，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，
若死亡的生物体内碳14含量记为y，死亡年数记为x，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式。



指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题.
问题1：由死亡生物体内碳14含量，如何求出它的死亡年数x呢？
问题2：这是函数吗？


问题3：这个函数有什么特征？
问题4：回顾研究过程，你能得到什么一般性的结论？

对数函数
指数函数
一般地，函数
叫做对数函数，其中x是自变量。函数的
定义域是(0,+∞)。
一、对数函数的概念
你是如何理解对数函数的定义域(0,+∞)的？
(0,+∞)表示所有的正数的集合，正数要一个也不剩，所以对数函数的定义域必须是所有的正数的集合。
下列函数哪些是对数函数？
物价 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0
解：(1)由题意可知，经过y年后物价x为 x=(1+5%)y，
即x=1.05y(y∈[0,+∞））.
由对数与指数间的关系，可得 y=log1.05x，x∈[1,+∞)
由计算工具可得，当x=2时，y≈14.
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.
例2
物价 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
（2）根据函数y=log1.05x，x∈[1,+∞)，利用计算工具，
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小.
例2
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=log2x
…
8
4
2
1
…
x
…
3
2
1
0
-1
-2
-3
…
y=log2x
…
8
4
2
1
…
x
发现：
图象关于x轴对称
函数值互为相反数
利用换底公式，可以得到
因为点P(x,y)与P1(x,-y)关于x轴对称，
归纳：底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。所以可以直接利用对称性画出的图象。
更一般的对数函数图像是否也满足上述规律？
问题5：底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数
（a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？
图象按底数的取值，可分为01两种类型，且
进一步：
所有函数的定义域都是（0，+∞），
值域都是R.
所有函数都过定点（1,0）
所有函数都是非奇非偶函数
以2,3,4为底的函数是增函数，其余函数是减函数
二、对数函数的图象和性质
01
性质
　
(１)定义域：
(２)值域：
(３)恒过点
(４)在R上是
R
（0,+∞）
增函数
减函数
（1,0），即x＝1时,y＝0
二、对数函数的图象和性质
a>1
000
0x>1 y<0
x>1 y>0
已知四个函数y=logax、y=logbx、y=logcx、y=logdx的图象如下图，试比较a、b、c、d的大小。
a
b
c
d
1
o
当x>1时，底数越大,图象越往下掉
例3.求下列函数定义域:
例4.比较下列各组数的大小:
(1)log23.4, log28.5; (2)log0.31.8, log0.32.7;
(3)loga5.1, loga5.9 (a>0,a≠0);
分析：先构造对数函数，再用对数函数的单调性解决
例5：画出下列函数的图象
注意：绝对值位置不同，则图象变换的方式也不一样。
分析：先变形，再用对数函数的单调性解决
练习：
函数f(x)的定义域是[0,1],求函数
的定义域．
例1 求函数的值域
(3)已知函数 在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（ ）
函数的单调性
(1)求函数 的单调递增区间。
例2
函数的奇偶性
例3、判断下列函数的奇偶性。
练习二：
1.已知函数 ,
(1)当定义域为R时,求a的取值范围;
(2)当值域为R时,求a的取值范围.
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
(2)值域：（0，+∞）
(3)过点（0，1），即x=0时，y=1
(4)在 R上是增函数（4）在R上是减函数
指数函数的性质
性质
　
(１)定义域：
(２)值域：
(３)恒过点
(４)在R上是
R
（0,+∞）
增函数
减函数
（1,0），即x＝1时,y＝0
对数函数的图象和性质
a>1
000
0x>1 y<0
x>1 y>0
反函数的概念
设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如果由函数y=f(x)所解得 也是一个函数（即对任意一个 ，都有唯一的 与之对应），那么就称函数 是函数y=f(x)的反函数，记作 。习惯上，用x表示自变量，y表示函数，因此反函数通常改写成：
反函数的概念
注意：y=f(x)的定义域、值域分别是反函数
的值域、定义域
互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
互为反函数的两个函数的单调性相同。
单调函数必有反函数。
例1 求下列函数的反函数
（2）y=log2（4－x） (x<4)
（1）y=0.2－x+1
小结：
1.指数函数与对数函数的关系.
2.反函数的定义和图象的特点.