人教版数学九年级上册 24.3 正多边形和圆（第1课时)教案

24.3 正多边形和圆
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.
【过程与方法】
结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系.
【情感态度与价值观】
学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.
【教学难点】
探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、边心距，边长之间的关系.
五、课前准备
课件、图片、直尺等.
六、教学过程
（一）导入新课
出示课件2,3：
观察上边的美丽图案，思考下面的问题：
（1）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能找出正多边形吗？
（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样做一个正多边形呢？
学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.（板书课题）
（二）探索新知
探究一 正多边形的对称性
教师问：什么叫做正多边形？（出示课件5）
学生答：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
教师问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
学生答：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等；
教师强调：正多边形：①各边相等；②各角相等，两个条件，缺一不可.
教师问:正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？（出示课件6,7）
学生动手操作，交流，感受正多边形的对称性.
教师归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
探究二 正多边形的有关概念
教师问:以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？（出示课件8，9）
师生结合图形共同探究：
EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB,OD=OC.
GH是边AD、BC的垂直平分线，
∴OA=OD,OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线，
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
出示课件10：
教师问：所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
学生答：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
教师问：一个正多边形的各个顶点在同一个圆上
学生答：一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的一个内接正多边形，圆叫做这个正多边形的外接圆.
教师问：所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？
学生答：多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意三角形都有外接圆和内切圆.
教师出示概念：（出示课件11）
1.正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
2.外接圆的半径叫做正多边形的半径.
3.内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
4.正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于
练一练：（出示课件12）完成下面的表格：
正多边形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
学生计算交流并填表.
探究三 正多边形的有关计算
出示课件13：如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度；
②OC BC(填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:_______________________.
学生计算交流后，教师抽学生口答.
①60；②=；③等边；④6；⑤
出示课件14:例 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
教师分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.师生共同解答:（出示课件15）
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝，
利用勾股定理,可得边心距，
亭子地基的面积：
巩固练习：（出示课件16）
如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（ ）
A．60° B．45° C．36° D．30°
学生独立思考后自主解答：C.
教师归纳：圆内接正多边形的辅助线（出示课件17）
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
巩固练习：（出示课件18）
已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
学生独立思考后解答，一生板演.
解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长为x.
∴ 另一边长为8-x.
则该直角三角形面积：S=（8-x）x÷2,即
当x==4,另一边为4时，S有最大值＝8.
∴当两直角边都是4时，直角面积最大，最大值为8.
（三）课堂练习（出示课件19-24）
1.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度.
2.填表：
正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
3.若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是_____.
4.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为_____度.（不取近似值）
5.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
7.如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
8.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=_______；图②中∠MON=_______；图③中∠MON=_______；
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
参考答案：
1.360°解析：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
2.
3.3
4.
5.
6.解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2.
则圆的直径AC=2，
∴⊙O的半径=.
∴⊙O的面积为
7.解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∴CG=BC=.
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×=2×3=6.
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
8.解：⑴①120°；②90°；③72°；
⑵.
（四）课堂小结
通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？
（五）课前预习
预习下节课（24.3第2课时）的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本节课通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.