高三期末复习第五部分数列与极限

第五部分　　数列与极限
35、等差数列{}中，通项，前项和（为公差，）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：是常数(=常数，，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数有：（）.
［举例］数列满足：.
（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.
36、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等比数列.
37、在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质.
38、等差数列当首项且公差，前n项和存在最大值.当首项且公差，前n项和存在最小值.求等差数列前项和的最值可以利用不等式组来确定的值；也可以利用等差数列的前项的和是的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.
［举例1］若是等差数列，首项，则（1）使前项和最大的自然数是＿＿；（2）使前项和的最大自然数 ；
39、数列是等比数列，其前项的和是关于的分段函数，在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论.
［举例1］数列是等比数列，前项和为，且，求的取值范围.
［举例2］数列是等比数列，首项，公比，求的值.
40、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若｝是等差数列，则对于任意自然数有；若｝是等比数列，则对于任意的自然数，有.在这两关系式中若取，这就是等差（比）数列的通项公式.
［举例1］已知数列是等差数列，首项，且.若此数列的前项和为，问是否存在最值？若存在，为何值？若不存在，说明理由.
[举例2]已知正项等比数列中，首项，且.若此数列的前项积为，问是否存在最值？说明理由.
41、已知数列的前项和，求数列的通项公式时，要注意分段.当 满足时，才能用一个公式表示.
［举例］已知数列的前项和.若是等差数列，求的通项公式.
42、形如：+的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：的递推数列，求通项用连乘（约项）法.
［举例］数列满足，求数列的通项公式.
43、一次线性递推关系：数列满足：是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当时，此数列是等差数列，当（时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令化成等比数列求解.
［举例］已知数列满足：，求此数列的通项公式.
44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项.
［举例］某企业去年底有资金积累万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长20%，但每年底要留出万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求的最大值.
45、常见的极限要记牢：，注意存在与 是不相同的；，特别注意此式的结构形式；若是关于的多项式函数，要会求.
［举例1］求下列各式的值：（1）；（2）.
［举例2］若，则＿＿＿＿；＿＿＿＿.
46、理解极限是“无限运动的归宿”.
［举例］已知△ABC的顶点分别是，记△ABC的外接圆面积为，则＿＿＿＿＿.