4.4 对数函数专题测试——2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章对数函数——课后专题复习
一、单选题。
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．函数，其中，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数过定点（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知，）（ ）
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
8．已知，，，则a、b、c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，，，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为（ ）
A． B．
C． D．
10．存在函数满足：对于任意都有（ ）
A． B．
C． D．
11．在同一坐标系中，函数与且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A．若函数与图象有一个交点，则
B．若函数与图象有两个交点，则
C．若函数与图象有三个交点，则
D．若函数与图象有四个交点，则
三、填空题.
13．函数的反函数___________.
14．若函数，则函数的值域为___________.
15．函数，则不等式的解集是______．
16．已知函数若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是_________.
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知，，求，的值.
18．已知函数（且）．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)若，求函数的值域．
19．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)求不等式的解集.
20．设、、均为正数．
(1)若，求证：；
(2)若，求、、之间的关系．
21．某地为践习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为20%，且x年后森林的面积为y亩．
(1)列出y与x的函数解析式并写出函数的定义域；
(2)为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？参考数据：
22．已知函数，，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据对数的真数大于零建立不等式可求解.
【详解】由题意得，解得，故函数的定义域是.
故选：C.
2．C
【分析】根据对数函数的单调性求得正确答案.
【详解】，
在上递增，
所以.
故选：C
3．B
【分析】根据分段函数的解析式，先求，再求即可．
【详解】由解析式知：，
∴．
故选：B．
4．C
【分析】根据函数恒过点，令，即得解.
【详解】由于函数恒过点，令，则，，
故函数恒过定点.
故选：C
5．C
【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，如下图所示：
由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.
考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．
6．A
【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于对称可确定结果.
【详解】由指数函数和对数函数性质可知：与图象关于对称，
由选项中图象对称关系可知A正确.
故选：A.
7．D
【分析】根据2016年开始每年比上一年增产，由求解即可.
【详解】2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为，
再过n年（），这家工厂生产这种产品的年产量为，
由得，，
两边取对数得，，
即，
而，故，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于读懂函数模型，熟练掌握对数的运算，才能根据实际情况突破难点.
8．C
【分析】先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小.
【详解】，又，因为，单调递增，所以.
故选：C
9．AD
【分析】利用对数运算性质得到将化为底相同的对数，然后利用对数函数的相关性质得到，而，最终比较出三者大小关系.
【详解】，，
所以根据对数函数的图像与单调性知，
即，
，所以，
故选：AD.
10．BC
【分析】根据函数的定义判断各选项的对错.
【详解】对于A，令，得，令，得，
不符合函数的定义，故A错误;
对于B，
符合题意，故B正确;
对于C，令，则，故C正确;
对于D，当时，函数无意义，故D错误.
故选：BC.
11．BD
【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.
【详解】当时，定义域为R，且在R上单调递减，定义域为，且在上单调递增，D符合；当时，定义域为R，且在R上单调递增，定义域为，且在上单调递减，B符合．
故选：BD．
12．ABD
【分析】结合的解析式分析的性质以及零点，然后逐项分析即可求解.
【详解】因为，
所以由二次函数和对数函数性质可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
由解析式可知，，，，
且共有3个零点：，，，
对于A：若函数与图象有一个交点，则，故A正确；
对于B：若函数与图象有两个交点，则，故B正确；
对于C：若函数与图象有三个交点，则或，故C错误；
对于D：若函数与图象有四个交点，则，故D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】令可得，再由，可得，从而即可得答案.
【详解】解：令
解得，
又因为，
所以解得，
所以函数的反函数.
故答案为：.
14．
【分析】求出函数的定义域，进而求出的范围，利用换元法即可求出函数的值域.
【详解】由已知函数的定义域为
又，定义域需满足，
令，因为 ，
所以，
利用二次函数的性质知，函数的值域为
故答案为：.
15．
【分析】分析得出函数为上的减函数，由得出，解此不等式即可得解.
【详解】，当时，单调递减；
当时，单调递减.
又，所以，函数为上的减函数，如下图所示：
由，可得，解得.
因此，不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数不等式的求解，分析函数的单调性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
16．
【分析】分别令，，结合自变量的范围和对数型函数定义域求解即可.
【详解】由题意，当时，令，可得，即，为一个根；
当时，令，解得，即，故，
又时，有定义，故，即；
综上：实数的取值范围为.
故答案为：
17．（1）；（2）
【分析】（1）根据指数运算与对数运算的法则计算即可；
（2）先根据指对数运算得，进而，再将其转化为求解即可.
【详解】解：（1）原式＝
＝
（2）
∴，，化为：，
，解得
∴
18．(1)奇函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义判断并证明作答.
（2）利用指数函数的值域，对数函数定义及性质求解作答.
（1）
函数是奇函数，
依题意，，解得或，即的定义域为，
又，
所以函数是奇函数．
（2）
当a＝2时，，，显然，
则有，即，而在上递增，因此，
所以的值域是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的知识求得函数在上的解析式.
（2）结合函数的单调性、奇偶性求得不等式的解集.
（1）
当时，，
.
所以函数在上的解析式为.
（2）
当时，为增函数，所以在上为增函数.
由得，
所以，
所以，
所以不等式的解集为.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）令，分别求出，再根据同底数对数的运算结合对数函数的性质即可得出结论；
（2）令，分别求出，再根据对数的运算性质进行运算即可得出结论.
(1)
证明：令，则，，，
所以，，
因为，所以，所以；
(2)
解：令，由、、均为正数得，
则，，，
所以，，，
因，且，所以；
21．(1)(且)；
(2)10.
【分析】(1)直接由题意可得与的函数解析式；
(2)设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，求解指数不等式得答案．
(1)
森林原来的面积为亩，森林面积的年平均增长率为，年后森林的面积为亩，
则(且)；
(2)
设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，
则，
，得，
即，
，即取10，
故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林10年．
22．（1）；（2）.
【分析】（1）由对数函数性质解不等式；
（2）函数有唯一零点，即对数方程只有一解，转化后注意对数的真数大于0．在此条件下方程只有一解，用分类讨论方法求解．
【详解】（1）解：若，则有，函数的定义域为
易知函数在定义域内单调递增，则有，解得
∴不等式得解集为.
（2）函数有唯一的零点，可知方程的解集中恰有一个元素，
即的解集中恰有一个元素，
即当时，方程的解集中恰有一个元素.
若时，即时，解得，此时，满足题意.
若时，方程的根为，.
当时，，此时，满足题意
当时，由时，方程恰有一个元素，
∴或，解得或.
综上所述：实数的取值范围为.