数学人教A版（2019）必修第一册4.4.2对数函数的图像及性质 课件（共32张ppt）

(共32张PPT)
4.4.2对数函数的图像及性质
4.4对数函数
在同一坐标系中用描点法画出对数函数
的图象。
作图步骤: ①列表,
②描点,
③连线。
前面我们学习了对数函数，那么我们该如何去研究对数函数的性质呢？
类比如何研究指数函数性质方法
X 1/4 1/2 1 2 4 …..
y=log2x -2 -1 0 1 2 …
列表
描点
作y=log2x图象
连线
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=log2x
问题：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，
比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
列表
描点
作y=log0.5x图像
连线
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
x 1/4 1/2 1 2 4
2 1 0 -1 -2
-2 -1 0 1 2
y=log2x
关于x轴对称
y=log1/2x
这两个函数的图象有什么关系呢？
问题：底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
由此你能概括出对数函数 （a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？
0 1
1
在同一坐标系中画出下列函数的图象.
：
你能否猜测 与 分别与哪个图象相似.
x
y
y=logax（0x
y
(1,0)
y = log x
(0a
o
y=logax（a>1）的图象
x
o
(1,0)
y = log x (a>1)
a
y
一般地，对数函数y=logax在a>1及0
a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 ⑴定义域：
⑵值域：
⑶过特殊点：
⑷单调性 ： ⑷单调性：
（0，+∞）
R
过点（1，0），即x=1时y=0
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
x
o
(1,0)
x =1
y = log x (a>1)
a
y
x
y
x = 1
(1,0)
y = log x
(0a
o
当0＜x＜1时，y＜0
当x=1时，y=0
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0
当x=1时，y=0
当x＞1时，y＜0
注：5
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。
注：4
图
形
1
1
0
随底数a的增大，图像顺时针旋转
例1：求下列函数的定义域：
①y=logax2 ②y=loga(4-x)
分析：此题主要利用对数函数y=logax的定义域为（0，+∞）求解。
①因为x2 >0,即x≠0，
所以函数y=logax2 的定义域是{x│x≠0}
②因为4-x>0,即x<4,
所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x│x<4}
解：
补充练习
求下列函数的定义域：
（1）
（2）
（3）
（4）
例
例3. 比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
log23.4
log28.5
3.4
1
0
8.5
∴ log23.4< log28.5
解法1：画图找点比高低
解法2：利用对数函数的单调性
考察函数y=log 2 x ,
∵a=2 > 1,
∴函数在区间（0，+∞）
上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
解法2：考察函数y=log 0.3 x ,
∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
(2)解法1：画图找点比高低
例3.比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
1
0
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论
即0 1
（3）比较loga5.1与 loga5.9的大小：
解: 若a>1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9
∴ loga5.1 < loga5.9
若0∵5.1<5.9
∴ loga5.1 > loga5.9
你能口答吗？
变一变还能口答吗？
＜
＞
＞
＜
＜
＞
＞
＜
＜
＜
＜
＜
补充联系： 比较下列各组中两个值的大小:
⑴　log 67 , log 7 6 ; ⑵　log 3π , log 2 0.8 .
解: ⑴∵log67＞log66＝1
　　　　log76＜log77＝1
　　∴ log67＞log76
⑵ ∵log3π＞log31＝0
log20.8＜log21＝0
∴ log3π＞log20.8
注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大小
（比较对数值大小时常用的4种方法）
　　
(1) 同底的利用对数函数的单调性．
(2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3) 底数和真数都不同，找中间量1,0,1等作比较．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
因此，函数 y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。
已知函数 y=2x （x∈R ，y ∈（0，+∞）） 可得到x=log2y ，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y ，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y （y∈（0，+∞））是函数 y=2x （ x∈R） 的反函数。
但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。
为此我们常常对调函数x=log2y 中的字母x，y，把它写成y=log2x ,这样，对数函数y=log2x （ x∈（0，+∞） ）是指数函数y=2x （x∈R ）的反函数。
反函数
(1)函数f(x)= 的反函数是　　　　　.
(2)函数g(x)=log8x的反函数是　　　　　.
f(x)=lox　
g(x)=8x
例4.解不等式loga(2x＋3)>loga(5x－6)．
解得x>3.
[题后感悟]　如何解同底对数不等式与对数方程？
①a>1时，logaf(x)>logag(x) f(x)>g(x)>0.
②0logag(x) 0③a>0，a≠1时，
logaf(x)＝logag(x) f(x)＝g(x)且f(x)>0，g(x)>0.　
练习:解不等式:
解：原不等式可化为：
常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，
需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的
单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
探究1.函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)定义域是什么？
探究2.函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)是怎么构成的？如何判断它的单调性？
探究3.底数a是否大于1不明确应如何讨论？
对数型复合函数的单调性
例5. 求y＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间．
[规律总结]　求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；
(2)拆分函数；
(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；
(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
由题目可以获取以下主要信息：
①函数y＝loga(2－ax)在[0，1]有意义，
②函数在[0，1]上是减函数.,
解决本类问题应注意复合函数单调性的判定方法.
对数型复合函数的值域
解析：　因为2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27，
令t＝2x－1
因为函数y＝log3t在区间[3,27]内是增函数，
所以log33≤log3t≤log327，即1≤y≤3.
故此函数在区间[2,14]上的最小值为1，最大值为3.
练习．求函数y＝log3(2x－1)，x∈[2,14]的最值
探究1.函数奇偶性判断的方法是什么？
探究2.对数的运算法则是什么？
对数型复合函数的奇偶性
题目给定的关键条件是f(x)是奇函数
，一般考虑用f(－x)＝－f(x)，
f(－1)＝－f(1)，
f(0)＝0(当0、－1在定义域中时)等，
它是从反面考查函数奇偶性的判定．
设a＞0，且a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间
课堂小结
3.思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；
数形结合思想方法是研究函数图像和性质；
[解]　(1)∵22a＋1＞25a－2，
∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，
∴a＜1，即0＜a＜1.
∴实数a的取值范围是(0,1)．