第3讲 解三角形
高考预测一：三角形中的求值问题
类型一：三角恒等变换
1．在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
2．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的面积．
3．的内角，，的对边分别为，，．设．
（1）求；
（2）若，求．
4．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：的内角，，的对边分别为，，，若，___，求和．
类型二：几何图形
5．在中，，，点在边上，，．
（1）求；
（2）求的面积．
6．如图，在中，，，点在边上，且，．
（1）求；
（2）求，的长．
7．如图，在中，，，点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值．
8．如图，在平面四边形中，，，．
（1）求的值；
（2）若，，求的长．
9．如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
10．在平面四边形中，的面积为2．
（1）求的长；
（2）求的面积．
11．如图，在平面四边形中，，，．
（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；
（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．
12．如图所示，已知圆内接四边形，记．
（1）求证：；
（2）若，，，，求的值及四边形的面积．
13．如图，角，，，为平面四边形的四个内角，，，．
（1）若，，求；
（2）若，，求．
14．某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．
（1）如果，求四边形的区域面积；
（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值．
类型三：向量问题
15．锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．
16．在中，内角，，的对边分别为，，，且．已知，，．求：
（1）和的值；
（2）的值．
17．中，、、分别是三内角、、的对边，若．解答下列问题：
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若，求的面积．
高考预测二：三角形中的取值范围或最值
类型一：化为角的关系
18．设是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
19．在中，角、、的对边分别为、、，、、成等差数列．
（1）若，，求的值；
（2）设，求的最大值．
20．在中，角，，所对的边分别为，，，角，，依次成等差数列．
（1）若，试判断的形状；
（2）若为钝角三角形，且，试求的取值范围．
类型二：周长或边长的范围
21．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，依次成等差数列．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
22．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
23．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，其外接圆的半径为，求的周长的取值范围．
类型三：面积的范围
24．在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
25．在内角、、的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值．
26．的内角、、的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
27．已知圆的半径为为常数），它的内接三角形满足成立，其中，，分别为，，的对边，
（1）求角；
（2）求三角形面积的最大值．第3讲 解三角形
高考预测一：三角形中的求值问题
类型一：三角恒等变换
1．在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
【解析】解：（1），
，
，
，
，
；
（2）由（1）可得，
由余弦定理可得，
，
解得，则，
，
，
．
2．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的面积．
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）．
，分
可得：，可得：，分
中，，可得，
，
，可得：分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，
，可得：，，分
，分
，由正弦定理，可得：，分
分
（注：解法较多，酌情给分，直接的也给分）
3．的内角，，的对边分别为，，．设．
（1）求；
（2）若，求．
【解析】解：（1）的内角，，的对边分别为，，．
．
，
由正弦定理得：，
，
，．
（2），，
由正弦定理得，
解得，，，
．
4．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：的内角，，的对边分别为，，，若，___，求和．
【解析】解：若选①，，由正弦定理可得，
则，
由余弦定理可得，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
若选②，，由正弦定理可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
若选③，由正弦定理可得，
，
，
或，
，
，
，
，
，
，
，
．
类型二：几何图形
5．在中，，，点在边上，，．
（1）求；
（2）求的面积．
【解析】解：（1）由，可得，
则．
（2）在中，由正弦定理可得，即，解得，
所以，
所以的面积．
6．如图，在中，，，点在边上，且，．
（1）求；
（2）求，的长．
【解析】解：（1）在中，因为，
所以，
所以
．
（2）在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得：．
所以．
7．如图，在中，，，点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值．
【解析】解：（1）中，，．
，．
中，由正弦定理可得，；
（2）设，则，
，的面积为，
，
，
由正弦定理可得，．
，，
，
．
8．如图，在平面四边形中，，，．
（1）求的值；
（2）若，，求的长．
【解析】解：，，
（1）在中，由余弦定理，得．
；
（2）设，则，
，
在中，由正弦定理，，
解得：．
即的长为3．
9．如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
【解析】解：（1）中，，，，
由正弦定理得，
即，
解得；
（2）由，所以，
在中，由余弦定理得：
，
解得．
10．在平面四边形中，的面积为2．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【解析】解：（1）由已知，
所以，又，所以，
在中，由余弦定理得：，
所以．
（2）由，得，所以，又，，
所以为等腰三角形，即，在中，由正弦定理得：，
所以．
11．如图，在平面四边形中，，，．
（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；
（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．
【解析】（本题满分为14分）
解：（1）连接，由余弦定理可得：
，
，
可得：，分
又四边形内接于圆，则又，
所以：，化简可得：，
又，
所以，，分
所以，分
（2）设四边形的面积为，则，
可得：，分
可得：，可得：，平方后相加，可得：，
即：，分
又，当时，有最大值，即有最大值．
此时，，代入，可得：，
又，可得：，分
在中，可得：，可得．分
12．如图所示，已知圆内接四边形，记．
（1）求证：；
（2）若，，，，求的值及四边形的面积．
【解析】解：（1）．
（2）由于：，，，，
由题知：，
可得：，
则，，
则，
则，
．
13．如图，角，，，为平面四边形的四个内角，，，．
（1）若，，求；
（2）若，，求．
【解析】解：（1）在中，，
，
，
中，由正弦定理，
．
（2）在中，，
在中，，
，
，
可得：，
可得：，
可得，
则，
．
14．某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．
（1）如果，求四边形的区域面积；
（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值．
【解析】解：（1）连结，可得四边形的面积为：
，
四边形内接于圆，
，可得．
．
在中，由余弦定理可得：
，
同理可得：在中，，
，
结合，得，解得，
，
，
代入式，可得四边形面积．
（2）设圆形公园的半径为，则面积为万平方米，可得：，可得：，
由正弦定理，可得：，
由余弦定理可得：，
，两边平方，整理可得：，
，
，整理可得：，
解得：，或．
类型三：向量问题
15．锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．
【解析】解：（1）因为：，
所以：，
由正弦定理，得：，
又因为：，
从而可得：，
由于：，
所以：．
（2）因为：由正弦定理知，
可得：三角形周长，
又因为：，
所以：，
因为：为锐角三角形，
所以：，，，
所以：．
16．在中，内角，，的对边分别为，，，且．已知，，．求：
（1）和的值；
（2）的值．
【解析】解：（1），，，
可得，即为；
，
即为，
解得，或，，
由，可得，；
（2）由余弦定理可得
，
，
，
则．
17．中，、、分别是三内角、、的对边，若．解答下列问题：
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若，求的面积．
【解析】证明：（1）因，故，即．
由正弦定理，得，故，
因为，
故，故．（4分）
（2）因，故，由余弦定理得，
即；又由（1）得，
故，故．（10分）
（3）由得，
即，
故，因，故，
故是正三角形，
故面积．（16分）
高考预测二：三角形中的取值范围或最值
类型一：化为角的关系
18．设是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【解析】解：（1）由正弦定理得：，
为锐角，故，
，而为锐角，
．
（2），
，
．
是锐角三角形，，
，
，
，
．
．
19．在中，角、、的对边分别为、、，、、成等差数列．
（1）若，，求的值；
（2）设，求的最大值．
【解析】解：（1）、、成等差数列，
，
，
，，
，
，
；
（2），
，
，
，的最大值是．
20．在中，角，，所对的边分别为，，，角，，依次成等差数列．
（1）若，试判断的形状；
（2）若为钝角三角形，且，试求的取值范围．
【解析】解：（1），．
，，依次成等差数列，，．
由余弦定理，，．
为正三角形．
（2）要求的式子
．
，，
，故．
代数式的取值范围是，．
类型二：周长或边长的范围
21．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，依次成等差数列．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
【解析】解：（1），，成等差数列，
．
又，；
（2）在中，由正弦定理，，
的周长
．
又，．
周长的取值范围，．
22．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1）由已知得：，
即，
，，即，
又为三角形的内角，
则；
（2），即，，
由余弦定理得：，即，
，，
则．
23．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，其外接圆的半径为，求的周长的取值范围．
【解析】解：（1）中，由，
得，即；
所以；
又，所以；
（2）由（1）知，且外接圆的半径为，
由正弦定理得，；
由正弦定理得；
所以；
，
所以
；
又为锐角三角形，则且，
又，则，所以；
所以；
所以，即周长的取值范围是，．
类型三：面积的范围
24．在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
【解析】解：（1），
，
由正弦定理，得：．
整理得．
．
在中，．
，．
（2）由余弦定理，．
，当且仅当时取“”．
三角形的面积．
三角形面积的最大值为．
25．在内角、、的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值．
【解析】解：（1），
根据正弦定理，得①，
．
②，
比较①②，可得，
即，
结合为三角形的内角，可得；
（2）中，，，
根据余弦定理，
可得，
化简可得
，
即当且仅当时等号成立．
面积，
综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．
26．的内角、、的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解析】解：（1），即为，
可得，
，
，
若，可得，不成立，
，
由，可得；
（2）若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，且，
解得，
可得面积，．
27．已知圆的半径为为常数），它的内接三角形满足成立，其中，，分别为，，的对边，
（1）求角；
（2）求三角形面积的最大值．
【解析】解：（1），
，
由正弦定理得，，代入，
得，
，
由余弦定理知，，
；
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当时，．
