第二十四章 圆单元练习题（含答案）
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人教版九年级数学第二十四章《圆》单元练习题（含答案）
一、单选题
1．已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
2．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．0
3．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3.8cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上都有可能
4．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得并且则这个油桶的底面半径是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )
A．25° B．35° C．40° D．50°
6．如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
7．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，为的直径，和相切于点E，和相交于点F，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
9．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( )
A． B． C．1 D．-2
10．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．
12．如图，在甲，，，，以点为圆心，的长为半径作圆，交于点，交于点，阴影部分的面积为__________（结果保留）．
13．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
14．如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°．
15．如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则__________
16．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线．
三、解答题
17．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
(1)求证：∠BOD＝2∠A；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
19．如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；
(2)若，，求的长．
20．如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
21．如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC交⊙O于点P，若，BF＝1，求⊙O的半径．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
23．已知P为⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合)，连接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ
（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径。
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，设∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α与β的数量关系。
24．如图，已知抛物线的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．
（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：（），并指出顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；
（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．
25．如图①已知抛物线的图象与轴交于、两点（在的左侧），与的正半轴交于点，连结；二次函数的对称轴与轴的交点.
（1）抛物线的对称轴与轴的交点坐标为，点的坐标为_____
（2）若以为圆心的圆与轴和直线都相切，试求出抛物线的解析式：
（3）在（2）的条件下，如图②是的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点与抛物线交于点，连结，将沿翻折，的对应点为’，在图②中探究：是否存。
参考答案
1．D2．D3．A4．C5．C6．A7．C8．C9．C10．D
11．45
12．
13．36
14．35
15．##64度
16．60
17．（1）
∵＝
∴＝
∴
∴BD=AC
（2）
∵∠B=∠C
∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
18．（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠CAB；
（2）证明：如图，连接OC，AD，
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵OC＝OD，
∴∠CDF＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CAB，
∵，
∴∠CAB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD，
∵∠E＝，
∴∠CDE+∠DCE＝，
∴∠OCD+∠DCE＝，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
19．（1）证明：连接．
∵为切线，
∴，
又∵，
∴，，
且，
∴，
在与中；
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切．
（2）设半径为；
则：，得；
在直角三角形中，，
，解得
20．（1）连接，由，得，由弧长公式即得的长为；
（2）根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分．
（1）
解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
．
（2）
证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分．
21．（1）解：如图所示，连接AF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=BC，∠B=∠D，，
∴∠DAF=∠AFB=90°，
∵CE=CF，
∴CD-CE=BC-CF，即DE=BF，
∴△AED≌△AFB（SAS），
∴∠DAE=∠BAF，
∴∠DAE+∠EAF=90°=∠BAF+∠EAF，
∴∠BAE=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AE是圆O的切线；
（2）解：如图所示，连接BP，
∵AB是圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴，
设圆O的半径为r，则，
∴，
在Rt△ACF中，，
在Rt△ABF中，，
∴，
解得或（舍去），
∴圆O的半径为．
22．（1）
证明：连接OD，CD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD=AB，
∴AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCO=90°-60°=30°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=30°，
∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）
解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，
又∵AC=，
∴BD=AC=，
∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，
∴∠BOD=60°，BO=2DO，
由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，
即（2OD）2=OD2+（）2，
解得：OD=1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=．
23．（1）连接AB，
∵∠APQ=∠BPQ=45°，
∴∠APB=∠APQ+BPQ=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB=，
∴⊙O的半径为；
（2）α+2β=90°，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ=∠BPQ，
∴，
∴∠AOQ=∠BOQ，
∵OA=OB，
∴OQ⊥AB，
∵ON∥AB，
∴NO⊥OQ，
∴∠NOQ=90°，
∵OP=OQ，
∴∠OPN=∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ=180°，
∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，
∴∠NOP+2∠OPN=90°，
∵∠NOP=α，∠OPN=β，
∴α+2β=90°．
24．（1）∵=，∴抛物线的解析式化为顶点式为：，顶点M的坐标是（，）；
（2）∵，∴当y=0时，，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC==．设直线BC的解析式为，∵B（6，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：，令x=，得y==，∴R点坐标为（，）；
（3）设点P坐标为（x，）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，∴NP=，即，移项得，，得：，整理得：，解得（与A重合，舍去），，（在对称轴的右侧，舍去），（与B重合，舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（，），N（，0），∴==，==， ==，∴，∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N的切线．
25．（1）∵对称轴x=，
∴点E坐标（，0），
令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，
∴x=﹣1或4，
∴点A坐标（﹣1，0）．
故答案分别为（，0），（﹣1，0）．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，
∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，
∴DB=，
∵tan∠OBC=，
∴，解得a=，
∴抛物线解析式为y=．
（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，
∵MN∥OM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴MN=CM，
∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），
∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，
∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=，
∴，
∴CM=m，
①当N在直线BC上方时，﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=m，
解得：m=或0（舍弃），
∴Q1（，0）．
②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，
解得m=或0（舍弃），
∴Q2（，0），
综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．
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人教版九年级数学第二十四章《圆》单元练习题（含答案）
一、单选题
1．已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
2．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．0
3．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3.8cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上都有可能
4．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得并且则这个油桶的底面半径是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )
A．25° B．35° C．40° D．50°
6．如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
7．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，为的直径，和相切于点E，和相交于点F，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
9．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( )
A． B． C．1 D．-2
10．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．
12．如图，在甲，，，，以点为圆心，的长为半径作圆，交于点，交于点，阴影部分的面积为__________（结果保留）．
13．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
14．如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°．
15．如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则__________
16．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线．
三、解答题
17．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
(1)求证：∠BOD＝2∠A；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
19．如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；
(2)若，，求的长．
20．如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
21．如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC交⊙O于点P，若，BF＝1，求⊙O的半径．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
23．已知P为⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合)，连接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ
（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径。
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，设∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α与β的数量关系。
24．如图，已知抛物线的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．
（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：（），并指出顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；
（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．
25．如图①已知抛物线的图象与轴交于、两点（在的左侧），与的正半轴交于点，连结；二次函数的对称轴与轴的交点.
（1）抛物线的对称轴与轴的交点坐标为，点的坐标为_____
（2）若以为圆心的圆与轴和直线都相切，试求出抛物线的解析式：
（3）在（2）的条件下，如图②是的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点与抛物线交于点，连结，将沿翻折，的对应点为’，在图②中探究：是否存。
参考答案
1．D2．D3．A4．C5．C6．A7．C8．C9．C10．D
11．45
12．
13．36
14．35
15．##64度
16．60
17．（1）
∵＝
∴＝
∴
∴BD=AC
（2）
∵∠B=∠C
∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
18．（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠CAB；
（2）证明：如图，连接OC，AD，
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵OC＝OD，
∴∠CDF＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CAB，
∵，
∴∠CAB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD，
∵∠E＝，
∴∠CDE+∠DCE＝，
∴∠OCD+∠DCE＝，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
19．（1）证明：连接．
∵为切线，
∴，
又∵，
∴，，
且，
∴，
在与中；
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切．
（2）设半径为；
则：，得；
在直角三角形中，，
，解得
20．（1）连接，由，得，由弧长公式即得的长为；
（2）根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分．
（1）
解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
．
（2）
证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分．
21．（1）解：如图所示，连接AF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=BC，∠B=∠D，，
∴∠DAF=∠AFB=90°，
∵CE=CF，
∴CD-CE=BC-CF，即DE=BF，
∴△AED≌△AFB（SAS），
∴∠DAE=∠BAF，
∴∠DAE+∠EAF=90°=∠BAF+∠EAF，
∴∠BAE=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AE是圆O的切线；
（2）解：如图所示，连接BP，
∵AB是圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴，
设圆O的半径为r，则，
∴，
在Rt△ACF中，，
在Rt△ABF中，，
∴，
解得或（舍去），
∴圆O的半径为．
22．（1）
证明：连接OD，CD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD=AB，
∴AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCO=90°-60°=30°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=30°，
∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）
解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，
又∵AC=，
∴BD=AC=，
∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，
∴∠BOD=60°，BO=2DO，
由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，
即（2OD）2=OD2+（）2，
解得：OD=1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=．
23．（1）连接AB，
∵∠APQ=∠BPQ=45°，
∴∠APB=∠APQ+BPQ=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB=，
∴⊙O的半径为；
（2）α+2β=90°，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ=∠BPQ，
∴，
∴∠AOQ=∠BOQ，
∵OA=OB，
∴OQ⊥AB，
∵ON∥AB，
∴NO⊥OQ，
∴∠NOQ=90°，
∵OP=OQ，
∴∠OPN=∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ=180°，
∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，
∴∠NOP+2∠OPN=90°，
∵∠NOP=α，∠OPN=β，
∴α+2β=90°．
24．（1）∵=，∴抛物线的解析式化为顶点式为：，顶点M的坐标是（，）；
（2）∵，∴当y=0时，，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC==．设直线BC的解析式为，∵B（6，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：，令x=，得y==，∴R点坐标为（，）；
（3）设点P坐标为（x，）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，∴NP=，即，移项得，，得：，整理得：，解得（与A重合，舍去），，（在对称轴的右侧，舍去），（与B重合，舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（，），N（，0），∴==，==， ==，∴，∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N的切线．
25．（1）∵对称轴x=，
∴点E坐标（，0），
令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，
∴x=﹣1或4，
∴点A坐标（﹣1，0）．
故答案分别为（，0），（﹣1，0）．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，
∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，
∴DB=，
∵tan∠OBC=，
∴，解得a=，
∴抛物线解析式为y=．
（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，
∵MN∥OM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴MN=CM，
∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），
∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，
∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=，
∴，
∴CM=m，
①当N在直线BC上方时，﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=m，
解得：m=或0（舍弃），
∴Q1（，0）．
②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，
解得m=或0（舍弃），
∴Q2（，0），
综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．
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