第一章 空间向量与立体几何 单元复习卷（含答案）

第一章空间向量与立体几何 单元复习卷
一、单选题
1．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．或
2．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
3．=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（3，2，λ），若三向量共面，则实数等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．正方体的棱长为3，点E，F分别在棱上，且，，下列几个命题：
①异面直线与垂直；
②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；
③三棱锥的体积为
④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为．
其中真命题的序号为（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
6．如图，在棱长为3的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，
B．当时，点到平面的距离为1
C．直线与所成的角可能是
D．若二面角的平面角的正弦值为，则或
7．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（ ）(参考数据：)
A． B． C． D．
8．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
10．下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，若，则
B．若空间四个点，，则三点共线
C．已知向量，若，则为钝角
D．任意向量满足
11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．平面
C．向量与的夹角是60°
D．直线与AC所成角的余弦值为
12．如图，已知二面角的棱上有不同两点和，若，，，，则（ ）
A．直线和直线为异面直线
B．若，则四面体体积的最大值为2
C．若，，，，，，则二面角的大小为
D．若二面角的大小为，，，，则过、、、四点的球的表面积为
三、填空题
13．若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
14．如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是______.
15．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．
16．点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_______________.
四、解答题
17．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.
19．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
20．如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
21．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．
（1）若点F为上一点且，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．
(1)求证：；
(2)若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值。
参考答案
1--8DCCDB CBA
9．AD 10．AB 11．AC 12．ACD
13．-1
14．
15．4
16．
17．（1）；（2）；（3）；（4）．
18．证明：取的中点，连接，
因为，分别为四面体的面与面的重心，
所以在上，在上，
设，，，
因为为的重心，
所以
，
因为，所以,
所以，
因为为的重心，
所以，
∴.
又，
∴，，三点共线.
19．（1）［方法一］利用平面基本事实的推论
在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.
在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点在平面内.
［方法二］：空间向量共线定理
以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．
设，则．
所以．故．所以，点在平面内．
［方法三］：平面向量基本定理
同方法二建系，并得，
所以．
故．所以点在平面内．
［方法四］：
根据题意，如图3，设．
在平面内，因为，所以．
延长交于G，
平面，
平面．
，
所以平面平面①．
延长交于H，同理平面平面②．
由①②得，平面平面．
连接，根据相似三角形知识可得．
在中，．
同理，在中，．
如图4，在中，．
所以，即G，，H三点共线．
因为平面，所以平面，得证．
［方法五］：
如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O为的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内．
（2）［方法一］坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.
则、、、，
，，，，
设平面的一个法向量为，
由，得取，得，则，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，，则，
，
设二面角的平面角为，则，.
因此，二面角的正弦值为.
［方法二］：定义法
在中，，即，所以．在中，，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角．
在中，．
所以，则．
［方法三］：向量法
由题意得，
由于，所以．
如图7，在平面内作，垂足为G，
则与的夹角即为二面角的大小．
由，得．
其中，，解得，．
所以二面角的正弦值．
［方法四］：三面角公式
由题易得，．
所以．
．
．
设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得
，所以．
20．（1）因为，，，所以，
如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，，即.
（2）若存在点使平面，则，，
，，，，
因为平面，所以存在实数、，使成立，
则，解得，
故在上存在点使平面，此时点为中点.
21．（1）作交于，连接

又且 且
四边形为平行四边形
平面，平面 平面
（2）平面，平面
又，
则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，
，，
设平面的法向量
则，令，则，
设直线与平面所成角为
22．(1)因为平面SAB，平面SBD，平面平面，故．
又因为四边形ABCD为矩形，故，则．
(2)∵四边形ABCD为矩形，∴．
又∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
∴平面SAD．∵平面SAD，∴．
同理．
又，平面ABCD，平面ABCD，
∴平面ABCD．
设，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．
,，,
设为平面ABE的法向量，
∵，∴，令，则．∴．
设为平面CBE的法向量，
∵，∴，令，则．∴．
∴，解得．
故