2022-2023学年河北省廊坊市三河三中高三（上）第一次段考数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
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)
2022-2023学年河北省廊坊市三河三中高三（上）第一次段考数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若全集，集合，则( )
A. B. C. D.
命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
已知平面向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第二天走了( )
A. 里 B. 里 C. 里 D. 里
已知角的终边在射线上，则( )
A. B. C. D.
抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件：出现的点数为质数，事件：出现的点数不小于，则事件与事件( )
A. 相互独立 B. 对立 C. 互斥但不对立 D. 概率相等
某圆锥体积为，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为( )
A. B. C. D.
已知定义在上的函数的导函数为，且，为偶函数，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知函数，则( )
A. 为其定义域上的增函数 B. 为偶函数
C. 的图象与直线相切 D. 有唯一的零点
某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近年投入的年科研经费单位：百万元和年利润单位：百万元的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知，的平均值分别为甲统计员得到的回归方程为；乙统计员得到的回归方程为；若甲、乙二人计算均未出现错误，则以下结论正确的为( )
A. 当投入年科研经费为百万元时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为百万元取
B.
C. 方程比方程拟合效果好
D. 与正相关
已知函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，图象沿轴向左平移单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是( )
A. 函数图像的一个对称中心为
B. 当到时，函数的最小值为
C. 若，则的值为
D. 函数的减区间为
已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆：相切于点，与及其渐近线在第二象限的交点分别为，，则( )
A.
B. 直线与相交
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若，则的离心率为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
在的展开式中，所有二项式系数的和是，则展开式中的常数项为______．
过点的直线截圆：得到的最短弦长为______．
已知函数满足：对，，都有成立；请写出一个符合上述两个条件的函数 ．
在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，点为的垂心，且平面，若三棱锥的外接球体积为，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知数列满足，且．
若，证明：数列是等比数列；
求数列的前项和．
本小题分
如图，在平面四边形中，．
证明：；
记与的面积分别为和，求的最大值．
本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，，分别为线段和的中点．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
本小题分
社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人岁以下喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者岁以上更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书
喜欢阅读纸质书
总计
请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了人，为进一步了解情况，再从抽取的人中随机抽取人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数的分布列及数学期望．
附：，其中．
本小题分
已知椭圆的离心率为，且的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．
求椭圆的方程；
若直线：与轴交于点，与椭圆交于，两点，过点与轴垂直的直线与椭圆的另一个交点为，求面积的最大值．
本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
当时，若不等式恒成立，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得，又，
，
．
故选：．
先化简，再运算即可得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：由全称命题的否定为存在量词命题得，该命题的否定为“，”．
故选：．

3.【答案】
【解析】解：复数满足，
，
，
的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：平面向量，，
，
，
，
解得实数．
故选：．
利用向量坐标运算法则和向量垂直的性质直接求解．
本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则和向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的通项公式、前项和公式、实际应用，属于较易题．
由题意可知此人每天行走的路程构成等比数列，且公比为，由以及等比数列的前项和公式求出，利用等比数列的通项公式即可求出．
【解答】
解：由题意可知，此人每天走的步数构成以为公比的等比数列，
由等比数列的前项和公式可得，
解得，
则，
故第二天走了里．
故选：．

6.【答案】
【解析】解：角的终边在射线上，
所以，
所以．
故选：．
根据三角函数的定义，直接求出的值，进而利用二倍角的正切公式可求的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式的应用，考查计算能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了概率公式检验事件是否相互独立，属于基础题．
由已知分析，及，然后结合相互独立的概念进行检验即可．
【解答】
解：抛掷骰子可能得到的点数为，，，，，，其中质数为，，，
所以，
故，
所以与相互独立．
故选：．

8.【答案】
【解析】解：设小锥体的底面半径为，大锥体的底面半径为，小锥体的高为，大锥体的高为，
则大圆锥的体积即为，整理得，
小圆锥的体积为，
该圆台体积为．
故选：．
设小锥体的底面半径为，大锥体的底面半径为，小锥体的高为，大锥体的高为，通过表示大圆锥和小圆锥体积，作差能求出圆台体积．
本题考查圆台体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：令，当时，，
因为，所以，
所以在上单调递减，
又为偶函数，所以的图象关于直线对称，
所以，，，
所以．
故选：．
根据结论特点，结合已知条件，构造函数，然后研究该函数在上的单调性解决问题．
本题考查导数在函数的单调性问题中的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的应用，考查函数的性质，属于中档题．
对函数求导，再对各项逐一分析即可．
【解答】
解：由题意的定义域为，对函数求导得，所以为上的增函数，A正确；
，故为奇函数，B错误；
，，故在原点处的切线方程为直线，C正确；
为上的增函数，，所以有唯一的零点，D正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查回归直线方程的应用，线性关系的应用，考查计算能力，属于中档题．
利用回归直线方程，求解利润判断；求解判断；利用散点图判断；相关关系判断．
【解答】
解：将代入，得，投入年科研经费为百万元时，
按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为百万元，A正确；
将代入，得，B正确；
由散点图可知，回归方程比的拟合效果更好，C错误；
因为随的增大而增大，所以与正相关，D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】解：函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，
所以：，故；
由于函数的图象沿轴向左平移单位后，得到偶函数，故为偶函数．
因为就是偶函数，所以，，，．
所以；
对于：当时，，故A错误；小技巧：将原函数向左平移个单位，若得到的是奇函数，即对称中心为，题中向左平移后不是奇函数所以不对：若向左平移个单位得到偶函数，即可得到对称轴为
对于：当时，，函数的最小值为，故B正确；
对于：利用平方差公式原式，，．
展开，故C正确；
对于：的单调减区间为，故D正确；
故选：．
先由题干中分析出的解析式，再根据三角函数的性质进行求解．选项中要画出的图像，就可以数形结合得到最小值．
先分析题干，相邻两个对称轴之间距离为半个周期可从画正弦图像中知道半个周期为 所以周期为题干中图像左右平移变换只能给变．考查了三角函数的平移变换，属于中档题
13.【答案】
【解析】解：令双曲线的半焦距为，有，，
依题意，，如图，
对于，，A正确；
直线的斜率，直线是双曲线过第一三象限的渐近线，直线与不相交，不正确；对于，由选项A可得点，设点，依题意，，
即，解得，，即，
又点在直线上，则有，解得，有，
的渐近线方程为，不正确；
对于，由选项C同理得点，
因此，即，解得，D正确．
故选：．
根据给定条件，计算切线长判断；由直线斜率与的大小说明判断；求出点，的坐标计算判断，作答．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由已知可得，解得，
则二项式的展开式的常数项为，
故答案为：．
利用二项式系数和求出的值，再根据二项式定理即可求出常数项．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：圆：，
，即圆心，半径，
设点，
则，
要使过点的直线截圆：得到的弦长最短，
则直线垂直于直线，
此时最短弦长为．
故答案为：．
由圆：，可得，即圆心，半径，要使过点的直线截圆：得到的弦长最短，则直线垂直于直线，再结合垂径定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理，属于基础题．
16.【答案】答案不唯一．
【解析】
【分析】
本题属于开放型问题，主要考查了指数的运算及指数函数的性质，属于基础题．
由我们可以联想到指数函数，且，再由算得即可解决问题．
【解答】
解：由，，都有成立，我们发现指数函数满足其条件，
不妨设，且，
再由得，解得，故．
故答案为：答案不唯一．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直判定定理，涉及三棱锥的外接球的体积，属于中档题．
根据线面垂直判定定理得到平面，进而证明为中点，所以是等边三角形，故三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球，解得半径，再求解即可．
【解答】
解：如图，连接并延长，交于点，与交于点，
则，，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，而平面，所以，
故D为中点，所以是等边三角形，
，易得，
所以，
所以三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球，
所以外接球半径，
故外接球体积，解得．
故答案为：．

18.【答案】解：证明：，且．
，
，
，，
数列是等比数列，首项与公比为．
由可得：，
，
，
数列的前项和
．
【解析】，且变形为，根据，可得，进而证明结论．
由可得：，可得，利用求和公式即可得出结论．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：因为在平面四边形中，，
所以在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，即．
因为与的面积分别为和，
所以，，
则
由知：，
代入上式得，
所以当时，取到最大值．
【解析】在，中，由余弦定理可得，即可得证．
由题意利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求得，利用余弦函数的性质以及二次函数的性质即可求解其最大值．
本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换，余弦函数的性质以及二次函数的性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】证明：如图，取中点，连接，，因为，分别为和的中点，
故，
且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
解：由题，平面平面，平面平面，，
所以平面，而平面，
所以，
又，所以平面，而平面，故CD，
因为，可得，
所以，故，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
所以，
设平面的一个法向量为
则，令，得，，
所以，
，
因为平面与平面的夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】本题考查了线面平行的证明和二面角的计算，属于中档题．
首先取中点，连接，，易证四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定证明即可；
首先易证，，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可．
21.【答案】解：根据题意，可得如下的的列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书
喜欢阅读纸质书
总计
则
所以没有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关．
由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为名，
所以随机变量的所有可能取值为，，，，
由超几何分布的分布列可得；
；
；
，
所以的分布列为：
则期望为．
【解析】本题主要考查随机变量及其分布列，概率统计的应用等知识，属于中档题．
根据题意，得出的列联表，求得，结合附表，即可求解；
由题意得到随机变量的所有可能取值为，，，，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式求得期望值．
22.【答案】解：设椭圆的焦距为，
则，
即，
又的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，
所以，
解得，，
所以椭圆的方程为：；
直线：与轴交于点，易得，由题意可得，
设，，由题意可得，
联立，整理可得：，
显然，，，
又，，
易知与同号，
所以1
，
当且仅当，，即时等号成立，
所以面积的最大值为．
【解析】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，均值不等式的应用，属于中档题．
由椭圆的离心率可得，的关系，再由题意可得四边形的面积，进而求出，的值，求出椭圆的方程；
由直线的方程及题意可得的坐标，联立直线与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，求出两个三角形的面积，可得所求的三角形的表达式，由均值不等式可得三角形的面积的最大值．
23.【答案】解：，．
当时，，在上单调递增；
当时，令，则，
令，则，
在上单调递增，上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
恒成立，恒成立，
即恒成立，
令，其中，
，
，，
令，即，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
当时，函数取得极大值，也是最大值，
且，
恒成立，即恒成立，
即，可得恒成立．
设，，可设，则，
，，在上单调递增，
当时，函数取得最大值，且，
，即的最小值为．
【解析】对求导，通过分类讨论判断的单调性；
恒成立，利用导数求出的最大值，通过对上式变形可以得到，最后构造函数，利用导数判断的单调性，求出的最大值即为所求．
本题考查了利用导数研究函数单调性和利用导数研究函数最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属于难题．
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