人教版九年级下册数学27.2.2 相似三角形的性质 教案

27.2.2 相似三角形的性质
一、教学目标
（一）知识与技能：
1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法.
2、灵活运用相似三角形的判定和性质，提高分析，推理能力.
（二）过程与方法：
1、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.
2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法.
3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力.
（三）情感与态度：
在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用.
二、教学重、难点
1、教学重点：相似三角形性质定理的探索及应用.
2、教学难点：综合应用相似三角形的性质与判定探索三角形中面积之间的关系.
三、教学方法与手段
探究式教学、小组合作学习、多媒体教学.
四、教学过程
（一）创设情境，导入新课
问题1：对于相似三角形，我们已研究了它的定义与判定，根据已有的研究几何图形的经验，我们还需研究什么？可以从哪些角度来研究？
师生活动：学生思考交流．
追问1：相似三角形的性质主要是研究三角形几何量之间的关系，三角形有哪些几何量？
师生活动：学生互相补充，列举出几何量．
追问2：我们已经知道哪些有关几何量的性质？还能从哪些几何量方面提出哪些性质猜想？
师生活动：学生回答相似三角形的对应角相等，对应边成比例，并写出性质猜想，如果学生列出性质猜想有难度，教师可再追问：全等三角形可以看作相似比为1的三角形，全等三角形对应高的比是多少？相似三角形呢？三角形的几何量呢？教师展示，并指出我们这堂课要研究的问题．
设计意图：对几何图形的研究包括判定和性质两个方面，性质主要研究几何量的相互关系，这样设计体现了几何图形研究的基本套路，立足于学生的可持续发展．学生自己提出研究的问题，能激发学生研究的兴趣．
合作交流，探究新知
问题2：
如图，△ABC∽△，相似比为，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？小组讨论，学生证明.
设计意图：由相似三角形对应高的比等于相似比类比，得到对应中线、角平分线的比等于相似比，进而归纳出对应线段的比等于相似比．用利于学生归纳得出一般结论．
相似三角形对应高的比，对应角分线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
一般地，我们有，相似三角形对应线段的比等于相似比.
问题3：如果△ABC∽△，相似比为，它们的周长有什么关系？ (
△
ABC
∽△
A
′
B
′
C
，
相似比为
k
，
＝
＝
＝
k
，
AB
＝
kA
′
B
′
，
BC
＝
kB
′
C
′
，
CA
＝
kC
′
A
′
，
＝
＝
k
，
结论：相似三角形周长的比等于相似比．
)
师生活动：教师提出问题，先让学生大胆猜想，再通过推理验证猜想的结论，在小组内与其他同学交流，归纳结论．教师让学生书写证明过程．
教师引导学生推理验证结论(先由三角形相似得到对应边的比，再得周长的比的关系．)
学生思考、分析、写出证明过程，小组交流．
教师引导学生类比相似三角形得到相似多边形的性质“相似多边形周长的比等于相似比”．
设计意图：求对应周长的比可以看作是相似三角形对应线段的比等于相似比的应用．
问题4：如果△ABC∽△，相似比为，△ABC与△的面积比是多少？
师生活动：（1）师生分析：我们已经知道相似三角形对应线段的比等于相似比，可将三角形的面积往对应线段上转化．
由学生写出问题5的计算过程．
(
△
ABC
∽△
A
′
B
′
C
′，相似比为
k
，它们的面积比是多少？
分别作出△
ABC
和△
A
′
B
′
C
′的高
AD
和
A
′
D
′
.
∵∠
ADB
＝∠
A
′
D
′
B
′＝
90
°，又∠
B
＝∠
B
′
.
∴
△
ABD
∽△
A
′
B
′
D
′
.
∴
＝
＝
k
.
∴
＝
＝
＝
k
2
.
结论：
相似三角形面积比等于相似比的平方．
)
（3）教师板书：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
设计意图：在对相似三角形对应周长的比等于相似比的探究基础上，进一步运用转化的思想解决面积的比的问题，从一维到二维，让学生深入体会相似比的应用．
运用新知，深化理解
小试牛刀：
如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 .
2.△ABC 与 △A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A’D' ＝_______ .
3.如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.
4.两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则较小三角形的周长 cm，面积为 cm2.
问题5：例3
如图1，在△ABC和△DEF中，，，，△ABC的边BC上的高是6，面积是，求△DEF的边EF上的高和面积．
(
A
B
C
D
E
F
图
1
)
师生活动：师生一起分析△ABC和△DEF具有什么关系，相似三角形的对应高，对应面积有什么关系？
设计意图：进一步巩固两三角形相似的判定方法，初步学会运用新知求三角形的对应线段的长度和面积．
课堂练习，巩固提高
(
A
B
C
D
F
E
) 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
反思小结，梳理新知
本节课你有何收获？
1、这节课我们学到了哪些知识？
2、我们是用哪些方法获得这些知识的？
3、通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？
五、布置作业
(
F
E
D
C
B
A
图
2
)必做题：教科书第39页练习1，2，3题和学案目标检测.
选做题：
如图2，△ABC的面积为100，周长为80，，点D是AB上一点，，过点D作DE∥BC，交AC于E．
（1）求△ADE的周长和面积；
（2）过点E作EF∥AB，EF交BC于点F，求△EFC和四边形DBFE的面积．
设计意图：必做题对三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行了巩固运用．选做题难度有所加大，要让学生找相似三角形，再通过周长的比、面积的比与相似比的关系解决．
板书设计
(
27.2.2
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比，对应角分线的比与对应角平分线的比都等于相似比
.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形面积比等于相似比的平方
．
)
七、目标检测设计
（一）选择题
1．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE=1∶2，则BC的中线与EF的中线之比为（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
设计意图：考查“相似三角形对应线段的比等于相似比”的运用．
2．在△ABC和△DEF中，，，，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ）
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6
设计意图：结合三角形相似的判定，考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用．
（二）填空题
3．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
设计意图：考查“相似多边形面积的比等于相似比的平方”的运用．
4．已知两个相似三角形周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大三角形面积为_________.
设计意图：考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用．
(
A
B
C
D
E
F
（第
5
题）
)（三）解答题
5．如图，□ABCD中，点E是AB延长线上一点，DE交BC
于点F，已知BE∶AB=3∶2，S△BEF =4，求S△CDF ．
设计意图：结合平行四边形的性质，考查“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用．