人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.5.2_圆与圆的位置关系_课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第二章 2.5.2圆与圆的位置关系
1.理解圆与圆的位置关系的种类；
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系；
3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
知识点　两圆位置关系的判定
思考1　圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？
答案　圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含.
几何方法判断圆与圆的位置关系：
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则
(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；
(2)当d＝r1＋r2 时，圆C1与圆C2外切；
(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆C1与圆C2相交；
(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；
(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含.
思考2　已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？
答案　联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，
当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，
当Δ<0时，两圆外离或内含.
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　两圆位置关系的判定
例1　a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0
(1)外切；
(2)相交；
(3)外离.
解　将两圆方程写成标准方程，
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，
C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
(2)当1(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.
反思与感悟
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径.
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.
跟踪训练1　(1)圆x2＋y2－2y＝0与圆(x－4)2＋(y＋2)2＝4的位置关系是(　　)
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
解析　圆的方程x2＋y2－2y＝0化为x2＋(y－1)2＝1，
∴两圆圆心分别为(0,1)，(4，－2)
由d＝5>r1＋r2＝1＋2，
∴两圆外离.
A
(2)已知0A.内切 B.外切 C.内含 D.相交
解析 两圆的圆心分别为(0,0)，(1，－1)，
∴两圆相交.
D
类型二　两圆相交的问题
例2　已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
解　将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴r1－r2<|C1C2|∴两圆相交.
(2)求公共弦所在的直线方程；
解　将两圆方程相减，
得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
解 方法一　由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到
方法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
直线x－2y＋4＝0的距离
(3)求公共弦的长度.
反思与感悟
(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
跟踪训练2　(1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为____.
解析　由题意知：直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，
AB的中点坐标为(3,1)，
AB的中点在直线x－y＋c＝0上.
∴3－1＋c＝0，∴c＝－2，
∴m＋c＝5－2＝3.
3
∴kAB×1＝－1，
(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝ 所截得的弦长.
解　由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
圆C3的圆心为(1,1)，
类型三　两圆相切问题
例3　(1)已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是__________________________________________.
解析　设圆C的半径为r，
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.
(2)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
①m取何值时两圆外切.
②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
解　 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11， (x－5)2＋(y－6)2＝61－m.
圆心分别为C1(1,3)，C2(5,6).
①当两圆外切时，
②
反思与感悟
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
跟踪训练3　若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)
A.21 B.19 C.9 D.－11
解析　C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
∵C1，C2两圆的圆心分别为(0,0)，(3,4)，
C
则d＝r1＋r2，
1
2
3
达标检测 　　　　
4
1.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
解析　圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，
圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，
B
又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，
所以r2－r1故两圆相交.
1
2
3
4
2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析　圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
B
1
2
3
4
3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为(　　)
A.±3 B.±5
C.3或5 D.±3或±5
D
当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5，
当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.
1
2
3
4
4.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0
解析　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.
C
规律与方法
1.判断两圆的位置关系的方法：
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.
(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.
2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.
3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.