人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.5.1_直线与圆的位置关系_课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
第二章 2.5.1直线与圆的位置关系
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离；
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系；
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ ____ ____ ____
代数法： 消元得到一元二次方程的判别式Δ ____ ____ ____
dd＝r
d>r
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
由
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　直线与圆的位置关系的判定
例1　已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆
(1)相交；
(2)相切；
(3)相离.
解　方法一　(代数法)联立
消去y，
整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0.
Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)
＝－32k2＋4＝4(1－8k2).
(1)
(3)当直线和圆相离时，Δ<0，
(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即k＝± .
由条件知，圆的半径为r＝1.
方法二　(几何法)圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离
(3)当直线与圆相离时，d>r，
(2)当直线与圆相切时，d＝r，
(1)当直线与圆相交时，d反思与感悟
直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪训练1　(1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A.相交 B.相离
C.相交或相切 D.相切
解析　由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，
而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，
故直线与圆至少有一个公共点，
故选C.
C
(2)过点P(－ ，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________________.
解析　当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点，
0°≤α≤60°
∴0°≤α≤60°.
类型二　切线问题
例2　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求：
(1)此切线的方程；
解　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4).
设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
即15x＋8y－36＝0.
解　因为圆心C的坐标为(3,1)，
设切点为B，
则△ABC为直角三角形，
(2)其切线段长.
∴切线段长为4.
反思与感悟
求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目.
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－ ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝b或x＝a.
(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.
跟踪训练2　(1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12 D.2或12
解析　圆方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
D
得b＝2或12，故选D.
(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程：
∴点P在圆x2＋y2＝4上，
②切线斜率为2.
解　设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，
由圆心到切线的距离为半径，可得：
类型三　弦长问题
例3　(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
解析 方法一　(交点法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
方法二　(弦长公式)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
消去y，得2x2－2x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
方法三　(几何法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2 的圆的方程为________________________.
解析　设圆的半径为r，由条件，得
所以r2＝2＋2＝4，r＝2，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(x－2)2＋(y＋1)2＝4
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4 ，求l的方程.
解　方法一　若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设其方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，
|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二　若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点，
得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
所以Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k>0，
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝ 或k＝2，均符合题意.
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
由斜率公式， 得y1－y2＝k(x1－x2).
反思与感悟
求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝ 求解.
(2)弦长公式：
如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆
的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
(直线l的斜率k存在).
(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有
通常采用几何法较为简便.
跟踪训练3　已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.
(1)证明直线l与圆相交；
证明　∵l：kx－y＋k＋2＝0，
直线l可化为y－2＝k(x＋1)，
∴直线l经过定点(－1,2)，
∵(－1)2＋22<8，
∴(－1,2)在圆C内，
∴直线l与圆相交.
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.
解　由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，
又x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短，
∵kOP＝－2，
设直线l与圆交于A、B两点，
即x－2y＋5＝0.
1
2
3
达标检测 　　　　
4
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离　
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴选B.
B
1
2
3
4
2.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为(　　)
A. B.(1,1)
C.{(1,1)} D.{(－1，－1)}　
C
1
2
3
4
3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　)
A.0或2 B.0或4 C.2 D.4
C
解得m＝2或m＝0(应舍去).
1
2
3
4
4.直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥2 ，则k的取值范围是__________.
解得k≤0.
(－∞，0]
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较
(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.
(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.
2.过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法
(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法.
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.