人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价练习：2.5.1直线与圆的位置关系（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价练习：2.5.1直线与圆的位置关系（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 381.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-20 11:20:53 | ||
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文档简介
十八 直线与圆的位置关系
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是 ( )
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
2.已知圆(x-2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
3.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A.-1 B.3 C.0 D.4
4.若直线l:x-3y+n=0与圆x2+y2+2x-4y=0交于A,B两点,A,B关于直线3x+y+m=0对称,则实数m的值为 ( )
A.1 B.-1 C.-3 D.3
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为 .
6.倾斜角是,且过点(1,4)的直线l交圆C:x2+y2-2y-3=0于A,B两点,则直线l的一般式方程为 ,|AB|= .
三、解答题
7.(10分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的方程.
【加练·固】
在平面直角坐标系xOy中,A(2,4)是☉M:x2+y2-12x-14y+60=0上一点.
(1)求过点A的☉M的切线方程.
(2)设平行于OA的直线l与☉M相交于B,C两点,且|BC|=2|OA|,求直线l的方程.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知坐标原点到直线l的距离为2,且直线l与圆(x-3)2+(y-4)2=49相切,则满足条件的直线l有几条 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(5分)若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则k的取值范围是 ( )
A.[-,0]∪[0,]
B.[-,]
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
3.(5分)已知方程为x2+y2+2x-ay+a=0的圆关于直线4x+y=0对称,则圆的半径r= ,若过点M(1,0)作该圆的切线,切点为A,则线段MA的长度为 .
4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+
(y-a)2=相交于A,B两点,且△ABC为正三角形,则实数a的值是 .
5.(10分)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)经过点A(0,5),与x轴正半轴交于点B.
(1)r= .
(2)圆O上是否存在点P,使得△PAB的面积为15 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【加练·固】
已知在平面直角坐标系xOy中,圆心在直线l:y=2x-4上的圆C的半径为1.
(1)若圆C与x轴交于A,B两点,且∠ACB=120°,求圆C的方程.
(2)是否存在直线m,使其被圆C截得的弦长总为,若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.
十八 直线与圆的位置关系答案
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是 ( )
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
【解析】选D.圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离d==2.已知圆(x-2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】选D.设圆心为C,则C(2,0),过点M的弦为直径时,长度最长为2×3=6,过点M的弦以M为中点且与CM垂直时,长度最短,最短为2=2=4,所以6+4=10.
3.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A.-1 B.3 C.0 D.4
【解析】选CD.设圆的弦长为l,半径为r,圆心到直线的距离为d,则l=2,由弦长为2,可得d=,即=,解得a=0或4.
4.若直线l:x-3y+n=0与圆x2+y2+2x-4y=0交于A,B两点,A,B关于直线3x+y+m=0对称,则实数m的值为 ( )
A.1 B.-1 C.-3 D.3
【解析】选A.由题意得圆的标准方程为:(x+1)2+(y-2)2=5,所以圆心C的坐标为:(-1,2),由题意可得:A,B关于直线3x+y+m=0对称,则直线3x+y+m=0过圆心,所以3×(-1)+2+m=0,解得m=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为 .
【解析】令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,
即r==,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.
答案:(x+1)2+y2=2
6.倾斜角是,且过点(1,4)的直线l交圆C:x2+y2-2y-3=0于A,B两点,则直线l的一般式方程为 ,|AB|= .
【解析】直线l的斜率k=tan=1,
又直线l过点(1,4),
所以直线l的方程为y-4=1×(x-1),
化为一般方程,
即x-y+3=0.
化圆C:x2+y2-2y-3=0为x2+(y-1)2=4,则圆心坐标为C(0,1),半径r为2.
圆心C(0,1)到直线x-y+3=0的距离d==.
所以|AB|=2=2=2.
答案:x-y+3=0 2
三、解答题
7.(10分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的方程.
【解析】(1)直线l:mx-y+1-m=0化为m(x-1)-y+1=0,所以直线l经过定点(1,1),因为12+(1-1)2<5,
所以定点(1,1)在圆C内,
所以对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)由圆心(0,1)到直线mx-y+1-m=0的距离d==,
而圆的弦长|AB|=2=,
即2=,
17=4,m2=3,
解得m=±,
故所求的直线方程为x-y+1-=0或-x-y+1+=0.
【加练·固】
在平面直角坐标系xOy中,A(2,4)是☉M:x2+y2-12x-14y+60=0上一点.
(1)求过点A的☉M的切线方程.
(2)设平行于OA的直线l与☉M相交于B,C两点,且|BC|=2|OA|,求直线l的方程.
【解析】(1)化圆M的方程为标准方程:(x-6)2+(y-7)2=25得圆心M(6,7),
半径r=5,
因为A(2,4),
所以kAM==,
所以切线方程为y-4=-(x-2),
即4x+3y-20=0.
(2)因为kOA=2,所以可设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.
又|BC|=2|OA|=2=4,
所以圆心M(6,7)到直线l的距离d==,
即=,
解得m=-10或m=0(不合题意,舍去),
所以直线l的方程为y=2x-10.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知坐标原点到直线l的距离为2,且直线l与圆(x-3)2+(y-4)2=49相切,则满足条件的直线l有几条 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.方法一:显然直线l有斜率,
设l:y=kx+b,则=2,
即b2=4(k2+1),…①
又直线l与圆相切,
所以=7,…②
联立①②,k=-,b=-,
所以直线l的方程为y=-x-.
方法二:如图,设圆心为P(3,4),
则|OP|=5,又O到直线l的距离为2,
且半径为7,P到l的距离为7,
即当OP⊥l时符合题意,
只有这种情况符合题意,
故满足条件的直线l只有一条.
2.(5分)若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则k的取值范围是 ( )
A.[-,0]∪[0,]
B.[-,]
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
【解析】选C.圆M的标准方程为:
(x-3)2+(y+4)2=52,
圆心M(3,-4),半径为5,要满足题意,
由圆的几何性质得圆心M(3,-4)到直线l:y-1=k(x-3)的距离不超过,
则≤,解得k2≥3,即k≥或k≤-.
3.(5分)已知方程为x2+y2+2x-ay+a=0的圆关于直线4x+y=0对称,则圆的半径r= ,若过点M(1,0)作该圆的切线,切点为A,则线段MA的长度为 .
【解析】圆标准方程可化为(x+1)2+
=-a+1,所以圆心在直线4x+y=0上,
代入解得a=8,所以r==3,
则圆的方程为(x+1)2+(y-4)2=9,圆心C(-1,4)
当直线为x=1时,明显与圆不相切,
因为直线MA与圆相切,
故MA⊥AC,所以|MA|===.
答案:3
4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+
(y-a)2=相交于A,B两点,且△ABC为正三角形,则实数a的值是 .
【解析】直线与圆心为C的圆相交于A,B两点,
且△ABC为正三角形,圆心C(1,a),
半径r==,所以圆心到直线ax+y-2=0的距离d==,
解得a=0.
答案:0
5.(10分)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)经过点A(0,5),与x轴正半轴交于点B.
(1)r= .
(2)圆O上是否存在点P,使得△PAB的面积为15 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)r=5.
(2)存在.因为r=5,
所以圆O的方程为x2+y2=25,
依题意,A(0,5),B(5,0),
所以|AB|=5,
直线AB的方程为x+y-5=0,
又因为△PAB的面积为15,
所以点P到直线AB的距离为3,
设点P(x0,y0),
所以P到直线AB的距离为=3,
解得x0+y0=-1或x0+y0=11(显然此时点P不在圆上,故舍去),
联立方程组解得或
所以存在点P(-4,3)或P(3,-4)满足题意.
【加练·固】
已知在平面直角坐标系xOy中,圆心在直线l:y=2x-4上的圆C的半径为1.
(1)若圆C与x轴交于A,B两点,且∠ACB=120°,求圆C的方程.
(2)是否存在直线m,使其被圆C截得的弦长总为,若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设圆心C(p,2p-4),
圆C与x轴交于A,B两点,
且∠ACB=120°,则|AB|=.
由弦心距,半弦长,半径构成的直角三角形可得,圆心到x轴的距离为,
所以|2p-4|=,所以p=或,所以圆心C的坐标为或.
所以圆C的方程为+=1或+=1.
(2)存在.因为弦长总为,半径为1,
所以由弦心距,半弦长,
半径构成的直角三角形可得圆心C到直线m的距离总为,
即直线m与l平行且距离为,
设直线m的方程为2x-y+n=0,
则=,解得n=-4±.
所以存在直线m,其方程为y=2x-4-或y=2x-4+.
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(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是 ( )
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
2.已知圆(x-2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
3.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A.-1 B.3 C.0 D.4
4.若直线l:x-3y+n=0与圆x2+y2+2x-4y=0交于A,B两点,A,B关于直线3x+y+m=0对称,则实数m的值为 ( )
A.1 B.-1 C.-3 D.3
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为 .
6.倾斜角是,且过点(1,4)的直线l交圆C:x2+y2-2y-3=0于A,B两点,则直线l的一般式方程为 ,|AB|= .
三、解答题
7.(10分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的方程.
【加练·固】
在平面直角坐标系xOy中,A(2,4)是☉M:x2+y2-12x-14y+60=0上一点.
(1)求过点A的☉M的切线方程.
(2)设平行于OA的直线l与☉M相交于B,C两点,且|BC|=2|OA|,求直线l的方程.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知坐标原点到直线l的距离为2,且直线l与圆(x-3)2+(y-4)2=49相切,则满足条件的直线l有几条 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(5分)若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则k的取值范围是 ( )
A.[-,0]∪[0,]
B.[-,]
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
3.(5分)已知方程为x2+y2+2x-ay+a=0的圆关于直线4x+y=0对称,则圆的半径r= ,若过点M(1,0)作该圆的切线,切点为A,则线段MA的长度为 .
4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+
(y-a)2=相交于A,B两点,且△ABC为正三角形,则实数a的值是 .
5.(10分)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)经过点A(0,5),与x轴正半轴交于点B.
(1)r= .
(2)圆O上是否存在点P,使得△PAB的面积为15 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【加练·固】
已知在平面直角坐标系xOy中,圆心在直线l:y=2x-4上的圆C的半径为1.
(1)若圆C与x轴交于A,B两点,且∠ACB=120°,求圆C的方程.
(2)是否存在直线m,使其被圆C截得的弦长总为,若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.
十八 直线与圆的位置关系答案
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是 ( )
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
【解析】选D.圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离d==
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】选D.设圆心为C,则C(2,0),过点M的弦为直径时,长度最长为2×3=6,过点M的弦以M为中点且与CM垂直时,长度最短,最短为2=2=4,所以6+4=10.
3.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A.-1 B.3 C.0 D.4
【解析】选CD.设圆的弦长为l,半径为r,圆心到直线的距离为d,则l=2,由弦长为2,可得d=,即=,解得a=0或4.
4.若直线l:x-3y+n=0与圆x2+y2+2x-4y=0交于A,B两点,A,B关于直线3x+y+m=0对称,则实数m的值为 ( )
A.1 B.-1 C.-3 D.3
【解析】选A.由题意得圆的标准方程为:(x+1)2+(y-2)2=5,所以圆心C的坐标为:(-1,2),由题意可得:A,B关于直线3x+y+m=0对称,则直线3x+y+m=0过圆心,所以3×(-1)+2+m=0,解得m=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为 .
【解析】令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,
即r==,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.
答案:(x+1)2+y2=2
6.倾斜角是,且过点(1,4)的直线l交圆C:x2+y2-2y-3=0于A,B两点,则直线l的一般式方程为 ,|AB|= .
【解析】直线l的斜率k=tan=1,
又直线l过点(1,4),
所以直线l的方程为y-4=1×(x-1),
化为一般方程,
即x-y+3=0.
化圆C:x2+y2-2y-3=0为x2+(y-1)2=4,则圆心坐标为C(0,1),半径r为2.
圆心C(0,1)到直线x-y+3=0的距离d==.
所以|AB|=2=2=2.
答案:x-y+3=0 2
三、解答题
7.(10分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的方程.
【解析】(1)直线l:mx-y+1-m=0化为m(x-1)-y+1=0,所以直线l经过定点(1,1),因为12+(1-1)2<5,
所以定点(1,1)在圆C内,
所以对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)由圆心(0,1)到直线mx-y+1-m=0的距离d==,
而圆的弦长|AB|=2=,
即2=,
17=4,m2=3,
解得m=±,
故所求的直线方程为x-y+1-=0或-x-y+1+=0.
【加练·固】
在平面直角坐标系xOy中,A(2,4)是☉M:x2+y2-12x-14y+60=0上一点.
(1)求过点A的☉M的切线方程.
(2)设平行于OA的直线l与☉M相交于B,C两点,且|BC|=2|OA|,求直线l的方程.
【解析】(1)化圆M的方程为标准方程:(x-6)2+(y-7)2=25得圆心M(6,7),
半径r=5,
因为A(2,4),
所以kAM==,
所以切线方程为y-4=-(x-2),
即4x+3y-20=0.
(2)因为kOA=2,所以可设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.
又|BC|=2|OA|=2=4,
所以圆心M(6,7)到直线l的距离d==,
即=,
解得m=-10或m=0(不合题意,舍去),
所以直线l的方程为y=2x-10.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知坐标原点到直线l的距离为2,且直线l与圆(x-3)2+(y-4)2=49相切,则满足条件的直线l有几条 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.方法一:显然直线l有斜率,
设l:y=kx+b,则=2,
即b2=4(k2+1),…①
又直线l与圆相切,
所以=7,…②
联立①②,k=-,b=-,
所以直线l的方程为y=-x-.
方法二:如图,设圆心为P(3,4),
则|OP|=5,又O到直线l的距离为2,
且半径为7,P到l的距离为7,
即当OP⊥l时符合题意,
只有这种情况符合题意,
故满足条件的直线l只有一条.
2.(5分)若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则k的取值范围是 ( )
A.[-,0]∪[0,]
B.[-,]
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
【解析】选C.圆M的标准方程为:
(x-3)2+(y+4)2=52,
圆心M(3,-4),半径为5,要满足题意,
由圆的几何性质得圆心M(3,-4)到直线l:y-1=k(x-3)的距离不超过,
则≤,解得k2≥3,即k≥或k≤-.
3.(5分)已知方程为x2+y2+2x-ay+a=0的圆关于直线4x+y=0对称,则圆的半径r= ,若过点M(1,0)作该圆的切线,切点为A,则线段MA的长度为 .
【解析】圆标准方程可化为(x+1)2+
=-a+1,所以圆心在直线4x+y=0上,
代入解得a=8,所以r==3,
则圆的方程为(x+1)2+(y-4)2=9,圆心C(-1,4)
当直线为x=1时,明显与圆不相切,
因为直线MA与圆相切,
故MA⊥AC,所以|MA|===.
答案:3
4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+
(y-a)2=相交于A,B两点,且△ABC为正三角形,则实数a的值是 .
【解析】直线与圆心为C的圆相交于A,B两点,
且△ABC为正三角形,圆心C(1,a),
半径r==,所以圆心到直线ax+y-2=0的距离d==,
解得a=0.
答案:0
5.(10分)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)经过点A(0,5),与x轴正半轴交于点B.
(1)r= .
(2)圆O上是否存在点P,使得△PAB的面积为15 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)r=5.
(2)存在.因为r=5,
所以圆O的方程为x2+y2=25,
依题意,A(0,5),B(5,0),
所以|AB|=5,
直线AB的方程为x+y-5=0,
又因为△PAB的面积为15,
所以点P到直线AB的距离为3,
设点P(x0,y0),
所以P到直线AB的距离为=3,
解得x0+y0=-1或x0+y0=11(显然此时点P不在圆上,故舍去),
联立方程组解得或
所以存在点P(-4,3)或P(3,-4)满足题意.
【加练·固】
已知在平面直角坐标系xOy中,圆心在直线l:y=2x-4上的圆C的半径为1.
(1)若圆C与x轴交于A,B两点,且∠ACB=120°,求圆C的方程.
(2)是否存在直线m,使其被圆C截得的弦长总为,若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设圆心C(p,2p-4),
圆C与x轴交于A,B两点,
且∠ACB=120°,则|AB|=.
由弦心距,半弦长,半径构成的直角三角形可得,圆心到x轴的距离为,
所以|2p-4|=,所以p=或,所以圆心C的坐标为或.
所以圆C的方程为+=1或+=1.
(2)存在.因为弦长总为,半径为1,
所以由弦心距,半弦长,
半径构成的直角三角形可得圆心C到直线m的距离总为,
即直线m与l平行且距离为,
设直线m的方程为2x-y+n=0,
则=,解得n=-4±.
所以存在直线m,其方程为y=2x-4-或y=2x-4+.
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