人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价练习：2.5.2圆与圆的位置关系（含答案）

十九　圆与圆的位置关系
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.已知圆(x-7)2+(y+4)2=9与圆(x+5)2+(y-6)2=9关于直线l对称,则直线l的方程是 (　　)
A.5x+6y-11=0 B.6x-5y-1=0
C.6x+5y-11=0 D.5x-6y+1=0
2.(多选题)若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则m等于(　　)
A.16　　 B.7
C.-4　　 D.9
3.已知直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)相切,则圆M和圆N:(x-1)2+ (y-1)2=1的位置关系是 (　　)
A.相离 B.外切
C.相交 D.内切
4.已知圆C1:(x+1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,A,B分别是圆C1和圆C2上的动点,则|AB|的最大值为 (　　)
A.+4 B.-4
C.+4 D.-4
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:x2+y2+ax+by-7=0(a,b,r为常数),关于直线x-y+2=0对称,则a的值为　　　　,r的值为　　　　.
6.已知两圆C1,C2和x轴正半轴,y轴正半轴及直线x+y=2都相切,则两圆圆心的距离|C1C2|=　　　　.
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.若圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2ay-6=0的公共弦的弦长为,求a.
8.已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0.
(1)求圆C1和圆C2的公共弦长.
(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B,且AB=,求直线l的方程.
　　　　　(15分钟·30分)
1.(5分)已知圆C1:x2+y2-2mx+m2=4,圆C2:x2+y2+2x-2my=8-m2(m>3),则两圆的位置关系是 (　　)
A.相交 B.内切
C.外切 D.相离
2.(5分)过点P(2,3)向圆C:x2+y2=1上作两条切线PA,PB,则弦AB所在的直线方程为 (　　)
A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0
C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0
3.(5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 (　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
4.(5分)已知两个圆C1,C2与两坐标轴都相切,且都过点(1,-2),则|C1C2|=
　　　　.
5.(10分)已知圆C:x2+y2-6x-6y+20=0.
(1)过点(,1)的直线l被圆C截得的弦长为4,求直线l的方程.
(2)已知圆M的圆心在直线y=-x上,且与圆C外切于点(,1),求圆M的方程.
1.若点M,N在圆C1:x2+y2=1上运动,且|MN|=,点P(x0,y0)是圆C2:x2+y2-6x- 8y+24=0上一点,则|+|的取值范围为　　　　.
2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+4)2+(y-2)2=20与y轴交于O,P两点,圆C2过O,P两点且与直线l1:y=-x相切.
(1)求圆C2的方程.
(2)若直线l2:y=kx与圆C1,圆C2非原点O的交点分别为点M,N.求证:以线段MN为直径的圆恒过点P.
十九　圆与圆的位置关系答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.已知圆(x-7)2+(y+4)2=9与圆(x+5)2+(y-6)2=9关于直线l对称,则直线l的方程是 (　　)
A.5x+6y-11=0 B.6x-5y-1=0
C.6x+5y-11=0 D.5x-6y+1=0
【解析】选B.根据题意,设圆(x-7)2+(y+4)2=9的圆心为M,圆(x+5)2+(y-6)2=9的圆心为N,
则M为(7,-4),N为(-5,6),
若圆(x-7)2+(y+4)2=9与圆(x+5)2+(y-6)2=9关于直线l对称,则直线l为MN的垂直平分线,
又由M(7,-4),N(-5,6),则kMN==-,则kl=,MN的中点坐标为(1,1),则直线l的方程为y-1=(x-1),变形可得6x-5y-1=0.
2.(多选题)若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则m等于(　　)
A.16　　 B.7
C.-4　　 D.9
【解析】选AC.圆C1的圆心为(1,0),半径为1;圆C2化为(x-4)2+(y+4)2=32-m,表示以(4,-4)为圆心,半径等于的圆;由题意,两个圆相内切时,两圆的圆心距等于半径之差的绝对值,可得5=|-1|,解得m=-4.两个圆相外切,两圆的圆心距等于半径之和,可得5=+1,解得m=16,综上,m的值为-4或16.
3.已知直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)相切,则圆M和圆N:(x-1)2+ (y-1)2=1的位置关系是 (　　)
A.相离 B.外切
C.相交 D.内切
【解析】选C.圆M的标准方程为:(x-a)2+y2=a2(a>0),则圆心为(a,0),半径R=a,因为直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)相切,
所以=a,解得a=2,则圆M的圆心为(2,0),半径R=2,圆N的圆心为N(1,1),半径r=1,
则MN==,因为R+r=3,R-r=1,所以R-r4.已知圆C1:(x+1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,A,B分别是圆C1和圆C2上的动点,则|AB|的最大值为 (　　)
A.+4 B.-4
C.+4 D.-4
【解析】选A.圆C1的圆心为(-1,-1),半径为1,圆C2的圆心为(3,4),半径为3,则圆心距为d==>1+3,所以两圆外离,所以圆C1和圆C2上的两点|AB|的最大值为d+r1+r2=+4.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:x2+y2+ax+by-7=0(a,b,r为常数),关于直线x-y+2=0对称,则a的值为　　　　,r的值为　　　　.
【解析】因为圆O:x2+y2=r2(r>0),所以圆心为O(0,0),半径为r,又因为圆C:x2+y2+ax+by-7=0(a,b,r为常数),所以圆心为C,
由题意可知,C与O(0,0)关于x-y+2=0对称,且两圆的半径相等.
则解可得,a=4,b=-4,
此时C:x2+y2+4x-4y-7=0的半径为,
所以r=.
答案:4　
6.已知两圆C1,C2和x轴正半轴,y轴正半轴及直线x+y=2都相切,则两圆圆心的距离|C1C2|=　　　　.
【解析】因为两圆C1,C2和x轴正半轴,y轴正半轴及直线x+y=2都相切,
所以两圆圆心都在直线y=x上;
设C1(a,a),则圆C1的方程为:(x-a)2+(y-a)2=a2;
设C2(b,b),则圆C2的方程为:(x-b)2+(y-b)2=b2;
因为两圆均与直线x+y-2=0相切;
所以=a (a-2)2=2 a=2±;
令a=2-,则b=2+;
所以两圆圆心的距离|C1C2|==4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.若圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2ay-6=0的公共弦的弦长为,求a.
【解析】两圆的公共弦所在直线的方程为:x2+y2-1-x2-y2-2x-2ay+6=0,化简得:2x+2ay-5=0,圆心(0,0)到直线2x+2ay-5=0的距离d=,又公共弦长的一半为,所以1=d2+,
即1=+,解得a=±2.
8.已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0.
(1)求圆C1和圆C2的公共弦长.
(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B,且AB=,求直线l的方程.
【解析】(1)两圆相减可得2x+y+1=0,圆C1的圆心为(-1,0),半径为1,圆心到直线的距离d=,所以圆C1和圆C2的公共弦长=2=.
(2)圆C2的圆心为(1,1),半径为2,圆心到直线l的距离为=,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,所以=,所以k=1或,所以直线l的方程为y=x+1或y=(x+1).
　　　　　(15分钟·30分)
1.(5分)已知圆C1:x2+y2-2mx+m2=4,圆C2:x2+y2+2x-2my=8-m2(m>3),则两圆的位置关系是 (　　)
A.相交 B.内切
C.外切 D.相离
【解析】选D.将两圆方程变形,得圆C1:(x-m)2+y2=4;圆C2:(x+1)2+(y-m)2=9,则圆心C1(m,0),C2(-1,m),半径r1=2,r2=3,两圆的圆心距C1C2= =>=5=2+3,则圆心距大于半径之和,故两圆相离.
2.(5分)过点P(2,3)向圆C:x2+y2=1上作两条切线PA,PB,则弦AB所在的直线方程为 (　　)
A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0
C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0
【解析】选B.因为PC垂直平分AB,故弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2+y2=1的公共弦,而以PC为直径的圆的方程为(x-1)2+=.根据两圆的公共弦的求法,可得弦AB所在的直线方程为:(x-1)2+--(x2+y2-1)=0,整理可得2x+3y-1=0.
3.(5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 (　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【解析】选B.由题意可得圆的标准方程为x2+(y-a)2=a2,圆心到直线的距离为:d=,根据弦长公式可得2=2 a=2,故圆M的标准方程为x2+(y-2)2=22,|MN|=,
故而可得2-1<|MN|<2+1,两圆相交.
4.(5分)已知两个圆C1,C2与两坐标轴都相切,且都过点(1,-2),则|C1C2|=
　　　　.
【解析】两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(1,-2),则圆在第四象限内;设两个圆的圆心分别为(a,-a),(b,-b),由于两圆都过点(1,-2),则有=|a|,=|b|,
所以a和b分别为(x-1)2+(x-2)2=x2 的两个实数根,即a和b分别为x2-6x+5=0的两个实数根,所以a+b=6,ab=5,所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=16,
所以两圆心的距离|C1C2|=·|a-b|=4.
答案:4
5.(10分)已知圆C:x2+y2-6x-6y+20=0.
(1)过点(,1)的直线l被圆C截得的弦长为4,求直线l的方程.
(2)已知圆M的圆心在直线y=-x上,且与圆C外切于点(,1),求圆M的方程.
【解析】(1)x2+y2-6x-6y+20=0可化为(x-3)2+(y-3)2=16,
圆心C到直线l的距离为=2.
当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=,符合题意;
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-),即kx-y-k+1=0,
所以=2,解得k=-.
所以直线l的方程为x=或x+y-2=0.
(2)设圆M的方程为(x-a)2+(y+a)2=r2,
所以(a,-a),(,1),(3,3)三点共线,则=,即a=0.
所以圆M的半径r==2.
所以圆M的方程为x2+y2=4.
1.若点M,N在圆C1:x2+y2=1上运动,且|MN|=,点P(x0,y0)是圆C2:x2+y2-6x- 8y+24=0上一点,则|+|的取值范围为　　　　.
【解析】设圆C1的半径为r,因为点M,N在圆C1:x2+y2=1上运动,且|MN|=,
所以圆心C1到线段MN中点的距离为=,故线段MN的中点H在圆C3:x2+y2=上,
而|+|=2||,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1.
故|C2C3|--1≤|PH|≤|C2C3|++1,即≤|PH|≤故|+|=2||∈[7,13].
答案:[7,13]
2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+4)2+(y-2)2=20与y轴交于O,P两点,圆C2过O,P两点且与直线l1:y=-x相切.
(1)求圆C2的方程.
(2)若直线l2:y=kx与圆C1,圆C2非原点O的交点分别为点M,N.求证:以线段MN为直径的圆恒过点P.
【解析】(1)令x=0,代入圆C1中可得y1=0,y2=4,可得:O(0,0),P(0,4),
设圆C2的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心C2的坐标为,
将点O,P代入可得:
解得:F=0,E=-4,
由题意可得OC2⊥l1,所以=2,可得D=-2,
所以圆C2的方程为:x2+y2-2x-4y=0.
(2)由题意可得 k≠-且k≠2,
联立与圆C1的方程:
整理得:(1+k2)x2+(8-4k)x=0,
可得M,
联立与圆C2的方程:整理得:(1+k2)x2-(2+4k)x=0,可得N,
因为kPM==-,kPN==,
所以kPM·kPN=-1,即PM⊥PN,
所以以线段MN为直径的圆恒过点P.
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