人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 课后提升训练：2.5.1直线与圆的位置关系（含答案）

第二章直线和圆的方程
2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知直线l:ax-y-a+3=0和圆C:x2+y2-4x-2y-4=0,则直线l和圆C的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.都有可能
2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是(　　)
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是(　　)
A.6 B.3 C.2 D.8
4.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为(　　)
5.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不存在
6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A.- B.-
C.- D.-或-
7.过点P(3,5)引圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为　　　　.
8.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为　　　　　 m.
9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.
能力提升练
1.若点(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交且不过圆心 D.相交且过圆心
2.(多选题)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是(　　)
A.-1 B.- C. D.
3.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)
A.[2,6] B.[4,8]
C.[,3] D.[2,3]
4.由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为(　　)
A.1 B. C. D.2
5.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　.
6.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P、Q分别在线段AD、CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约　　　　　秒(精确到0.1).
7.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径,
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.
8.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.
素养培优练
　如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.
(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;
(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.
第二章直线和圆的方程
2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
课后篇巩固提升答案
基础达标练
1.已知直线l:ax-y-a+3=0和圆C:x2+y2-4x-2y-4=0,则直线l和圆C的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.都有可能
解析把圆的方程化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线方程化为a(x-1)=y-3恒过定点(1,3),而(1,3)在圆C的内部,则直线l和圆C相交,故选A.
答案A
2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是(　　)
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
解析圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,
可化为(x-1)2+(y-1)2=1.
由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为=1,得b=2或b=12,故选D.
答案D
3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是(　　)
A.6 B.3 C.2 D.8
解析∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.
答案A
4.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为(　　)
解析由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.
答案ABD
5.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不存在
解析由题意知,=1,∴a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.
答案B
6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A.- B.-
C.- D.-或-
解析由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为:y+3=k(x-2),
即kx-y-2k-3=0.
又因为反射光线与圆相切,所以=1,
整理为12k2+25k+12=0,解得k1=-,或k2=-.
答案D
7.过点P(3,5)引圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为　　　　.
解析由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,
得到圆心A坐标(1,1),半径r=|AB|=2,
又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|==2,
由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,
根据勾股定理得|PB|==4.则切线长为4.
答案4
8.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为　　　　　 m.
解析以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示:
由题意可知:设圆的方程为:x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为:
x2+(y+10)2=100,当水面下降1m后,设A'(x0,-3)(x0>3)代入圆的方程中,得x0=,
所以此时水面宽2m.
答案2
9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.
解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,
设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
根据点到直线的距离公式,得<1,
即k2<,解得-即为直线l斜率的取值范围.
能力提升练
1.若点(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交且不过圆心 D.相交且过圆心
解析由题意,得a2+b2>r2,
从而圆心(0,0)到直线的距离为d=∈(0,r),
所以直线与圆相交但不过圆心.
答案C
2.(多选题)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是(　　)
A.-1 B.- C. D.
解析由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0).半径r=1.直线与圆有公共点,需≤1,所以|2k|≤,得k2≤,所以-≤k≤,对照选项知B,C适合.
答案BC
3.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)
A.[2,6] B.[4,8]
C.[,3] D.[2,3]
解析设圆心到直线AB的距离d==2.
点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.
又AB=2,∴S△ABP=·|AB|·d'=d',
∴2≤S△ABP≤6.
答案A
4.由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为(　　)
A.1 B. C. D.2
解析在直线y=x-1上取一点P,过P向圆引切线,设切点为A.连接CA.在Rt△PAC中,|CA|=r=1.要使|PA|最小,则|PC|应最小.又当PC与直线垂直时,|PC|最小,其最小值为.故|PA|的最小值为=1.
答案A
5.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　.
解析如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.
∴直线l的斜率的取值范围为.
答案
6.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P、Q分别在线段AD、CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约　　　　　秒(精确到0.1).
解析以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),
可得出直线PQ的方程y-10+t=(x-10),
圆O的方程为x2+y2=1,
由直线PQ与圆O有公共点,可得≤1,化为3t2+16t-128≤0,解得0≤t≤,而≈4.4,
因此,点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒.
答案4.4
7.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径,
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.
解(1)依题意知:圆C的半径r==3,
圆心坐标为(3,0),故圆C的方程为(x-3)2+y2=9.
(2)∵直线l2平行于l1,直线l1的方程为x-2y+4=0,
∴设直线l2的方程为x-2y+C=0,
又∵弦长MN=4,圆的半径为3,故圆心C到直线l2的距离d=,
∴|3+C|=5,得C=2或C=-8,
∴直线l2的方程为x-2y+2=0或x-2y-8=0.
8.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.
解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|2-a|.
设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得
L=2=2=2.
∵0(2)∵直线l与圆C相切,则有=2,
即|m-2a|=2.
∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,
∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.
∵0∴m∈[-1,8-4].
素养培优练
　如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.
(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;
(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.
解(1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系.
设PQ与圆A相切于点B,连接AB,以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
由题意可设直线PQ的方程为=1,即bx+4y-4b=0(b>2),
∵PQ与圆A相切,∴=1,解得b=3,
故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.
(2)设P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2),
则直线PQ方程为=1,即bx+ay-ab=0.
因为PQ与圆A相切,所以=1,
化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2;
因此PQ=
=.
因为a>2,b>2,所以a+b>4,于是PQ=(a+b)-2.又ab=2(a+b)-2≤,解得0因为a+b>4,所以a+b≥4+2,
PQ=(a+b)-2≥2+2,当且仅当a=b=2+时取等号,
所以PQ最小值为2+2,此时a=b=2+.
答:当P,Q两点距离两公路的交点O都为2+(千米)时,新建公路PQ最短.
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