人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 课后提升训练：2.5.2圆与圆的位置关系（含答案）

第二章直线和圆的方程
2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2　圆与圆的位置关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.两个圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
2.圆:x2+y2-2x-2y=0和圆:x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.x+y+3=0
B.x-y+2=0
C.x+y-2=0
D.2x-y-1=0
3.(多选题)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是(　　)
A.(x+2)2+(y+2)2=9
B.(x-2)2+(y+2)2=9
C.(x-2)2+(y-2)2=25
D.(x-2)2+(y+2)2=49
4.若点P在圆O:x2+y2=1上运动,点Q在圆C:(x-3)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为(　　)
A.3 B.2
C.1 D.4
5.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是(　　)
A.-16 B.-9
C.11 D.12
解析化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为
6.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1相外离,则a,b满足的条件是　.
7.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是　　　　　.
8.(1)求圆心在直线y=-2x上,且与直线y=-x+1相切于点P(2,-1)的圆的方程;
(2)求与圆x2+y2-2x-4y=0外切于点(2,4)且半径为2的圆的方程.
9.已知两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置关系时:
(1)外切;(2)内切;(3)相交;(4)内含;(5)外离.
试确定上述条件下k的取值范围.
能力提升练
1.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A.(x-5)2+(y+7)2=25
B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
C.(x-5)2+(y+7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
2.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
3.圆C1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=16外离,过原点O分别作两个圆的切线l1,l2,若l1,l2的斜率之积为-1,则实数a的值为(　　)
A. B.-
C.-6 D.6
4.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是(　　)
A.[1-2,1+2]
B.[1-,3]
C.[-1,1+2]
D.[1-2,3]
5.已知圆(x-1)2+y2=1与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)无公切线,则r的取值范围为　　　　.
6.过原点O作圆x2+y2-4x-8y+16=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为　.
7.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为　　　　　;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点　　　　　.
8.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.
素养培优练
　已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.
(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径;
(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线 若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由.
第二章直线和圆的方程
2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2　圆与圆的位置关系
课后篇巩固提升答案
基础达标练
1.两个圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析两圆方程化为C1:(x+1)2+(y+1)2=4,C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(-1,-1)和(2,1),半径均为2,圆心距d=<2+2,且d>2-2,∴两圆相交,因此两圆有2条公共线.
答案B
2.圆:x2+y2-2x-2y=0和圆:x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.x+y+3=0
B.x-y+2=0
C.x+y-2=0
D.2x-y-1=0
解析AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.
答案C
3.(多选题)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是(　　)
A.(x+2)2+(y+2)2=9
B.(x-2)2+(y+2)2=9
C.(x-2)2+(y-2)2=25
D.(x-2)2+(y+2)2=49
解析由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2.
A项,圆心C1(-2,-2),半径r1=3.
∵|C1C|=∈(r1-r,r1+r),
∴两圆相交;B项,圆心C2(2,-2),半径r2=3,
∵|C2C|=5=r+r2,
∴两圆外切,满足条件;
C项,圆心C3(2,2),半径r3=5,
∵|C3C|=3=r3-r,∴两圆内切;
D项,圆心C4(2,-2),半径r4=7,
∵|C4C|=5=r4-r,∴两圆内切.
答案BCD
4.若点P在圆O:x2+y2=1上运动,点Q在圆C:(x-3)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为(　　)
A.3 B.2
C.1 D.4
解析|PQ|的最小值应为圆心距减去两圆半径,
即(|PQ|)min=|OC|-2=3-2=1.
答案C
5.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是(　　)
A.-16 B.-9
C.11 D.12
解析化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为;
圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.
要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|>+1或|C1C2|<-1,
即5>+1或5<-1,
解得-2511.
∴实数k的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).
满足这一范围的有A和D.
答案AD
6.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1相外离,则a,b满足的条件是　.
解析两圆的连心线的长为d=.
∵两圆相外离,∴d>+1,
∴a2+b2>3+2.
答案a2+b2>3+2
7.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是　　　　　.
解析∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4.
又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,
圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,
则|C1C2|==2,
∴|C1C2|=r1+r2.∴两圆外切.
答案外切
8.(1)求圆心在直线y=-2x上,且与直线y=-x+1相切于点P(2,-1)的圆的方程;
(2)求与圆x2+y2-2x-4y=0外切于点(2,4)且半径为2的圆的方程.
解(1)过点P(2,-1)且与直线y=-x+1垂直的直线为x-y-3=0,
由求得
即圆心C(1,-2),半径r=|CP|=,
所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)圆方程化为(x-1)2+(y-2)2=5,得该圆圆心为(1,2),半径为,故两圆连心线斜率k==2.
设所求圆心为(a,b),
所以
解得(舍去)
所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-8)2=20.
9.已知两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置关系时:
(1)外切;(2)内切;(3)相交;(4)内含;(5)外离.
试确定上述条件下k的取值范围.
解将两圆的方程化为标准方程:C1:(x+2)2+(y-3)2=1;C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.
则圆C1的圆心坐标C1(-2,3),半径r1=1,
圆C2的圆心坐标C2(1,7),半径r2=.
从而圆心距d==5.
(1)当两圆外切时,d=r1+r2,即1+=5,
解得k=34.
(2)当两圆内切时,d=|r1-r2|,
即|1-|=5,解得k=14.
(3)当两圆相交时,|r1-r2|即|1-|解得14(4)当两圆内含时,d<|r1-r2|,
即|1-|>5,解得k<14.
(5)当两圆外离时,d>r1+r2,即1+<5,解得k>34.
能力提升练
1.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A.(x-5)2+(y+7)2=25
B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
C.(x-5)2+(y+7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
解析设动圆圆心(x,y),则若两圆内切,则有=4-1=3,即(x-5)2+(y+7)2=9;若两圆外切,则有=4+1=5,即(x-5)2+(y+7)2=25.
答案D
2.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
解析由x2+y2-2ay=0(a>0),
得x2+(y-a)2=a2,∴圆心M(0,a),半径r1=a.
∴圆心M到直线x+y=0的距离d=a,
∴2=2=2,解得a=2.
∴圆心M(0,2),半径r1=2,
由(x-1)2+(y-1)2=1,得圆心N(1,1),半径r2=1,
∴|MN|=,
∴r1-r2<|MN|答案B
3.圆C1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=16外离,过原点O分别作两个圆的切线l1,l2,若l1,l2的斜率之积为-1,则实数a的值为(　　)
A. B.-
C.-6 D.6
解析两圆外离,则>2+4,
即(a-2)2>35,
设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx,
则=2,解得k=,
则与圆C2相切的直线l2的斜率k'=-=-,
直线l2的方程为y=-x,即12x+5y=0,
所以=4,
解得a=-6或a=,
结合(a-2)2>35可知a=-6,故选C.
答案C
4.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是(　　)
A.[1-2,1+2]
B.[1-,3]
C.[-1,1+2]
D.[1-2,3]
解析由y=3-,得(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),它表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示,令=2,得b=1-2(b=1+2舍去),故选D.
答案D
5.已知圆(x-1)2+y2=1与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)无公切线,则r的取值范围为　　　　.
解析由题意,圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为C1(1,0),半径为r1=1,圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)的圆心坐标为C1(2,1),半径为r,因为两圆无公切线,则两圆的位置关系为两个圆内含,则圆心距d=,则d+1,所以r的取值范围是(+1,+∞).
答案(+1,+∞)
6.过原点O作圆x2+y2-4x-8y+16=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为　.
解析设圆x2+y2-4x-8y+16=0的圆心为C,则C(2,4),
∵CP⊥OP,CQ⊥OQ,
∴过四点O,P,C,Q的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
两圆方程相减得直线PQ的方程为x+2y-8=0.
答案x+2y-8=0
7.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为　　　　　;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点　　　　　.
解析圆C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),
则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为(1,),
半径为r=.
可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-)2=,即x2+y2-2x-y=0,
两圆的方程相减可得直线AB的方程:2x+y-1=0.
因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,
设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆C的切线,
所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+(y-)2=(2-m)2+,
又由圆C的方程为x2+y2=1,
两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,
可得()满足上式,即AB过定点().
答案2x+y-1=0　()
8.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.
解设两圆交点为A,B,则以AB为直径的圆就是所求的圆.直线AB的方程为x+y-2=0.
两圆圆心连线的方程为x-y=0.
解方程组
得圆心坐标为(1,1).
圆心M(0,0)到直线AB的距离为d=,
弦AB的长为|AB|=2=4,
所以所求圆的半径为2.
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8.
素养培优练
　已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.
(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径;
(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线 若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由.
解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=,两圆的圆心距为|a-1|=r,
因为两圆外切,所以r=r+9,∴r=+1.
(2)如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),
①若斜率不存在,则直线方程为:x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线,
②若斜率存在,设公切线方程为:y-2=k(x-1),
则d==r=对任意的a都成立,,
两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,
当k=1时,直线与l1重合,
当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,
故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.
2 / 15