《直线与圆的位置关系》竞赛培优
一、选择题
1.（2019·华南理工大学自主招生）已知圆，点是圆O内一点，过点P的圆O的最短的弦在直线上，直线的方程为,那么（ ）
A.，且与圆O相交
B.，且与圆O相切
C.，且与圆O相离
D.，且与圆O相离
二、填空题
2.（2018·武汉大学自主招生）如果直线与圆相交，且两个交点关于直线对称，那么实数p的取值范围为_______。
参考答案
1.
答案：D
解析：由于最短的弦所在直线与OP垂直，所以的直线方程为，故与互相垂直。因为圆心O到的距离为，又，即，所以，故与圆O相离。综上可知，，且与圆O相离。
2.
答案：
解析：因为两个交点关于直线对称，而这两个交点均在直线上，所以直线垂直于直线，即有。设两交点为A，B，则AB的垂直平分线必过点C（C为圆心），而A，B关于直线对称，故点C在上，得，所以圆的方程为，甲，则。而圆与直线有两个交点，把代入圆的方程，有。由，解得。
故实数P的取值范围为。
1 / 2《直线与圆的位置关系》学考达标练
一、选择题
1.（2020·西北工业大学附中模拟）直线与圆的位置关系是（ ）
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
2.（2020·江西南昌一中月考测试）直线与圆的位置关系是（ ）
A.相离
B.相切
C.相交
D.以上都有可能
3.（2020·广东中山一中单元检测）与圆相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有（ ）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
4.（2020·湖北红安一中月考）已知点是圆内异于圆心的点，则直线与此圆的交点的个数为（ ）
A.2
B.1
C.0
D.不能确定
二、填空题
5.（2020·山东烟台二中月考）若圆C经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆C的方程是_________。
6.（2020·华东师大一附中模拟）已知圆C的方程为，过点的直线l与圆C交于A，B两点，若使最小，则直线l的方程是______。
三、解答题
7.（2020·河南信阳期末）已知点，直线及圆。（1）求过点M的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相切，求a的值；
（3）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值。
参考答案
1.
答案：B
解析：直线的方程变形为，令解得即直线恒过定点，又，知点在圆内，故直线与圆恒相交。
2.
答案：B
解析：圆心到直线的距离，所以直线与圆相切。
3.
答案：C
解析：注意直线经过原点的情形，设直线方程为或，由，求得，故符合条件的直线有3条。
4.
答案：C
解析：点是圆内异于圆心的点，，圆心到直线的距离，故直线与此圆没有交点。
5.
答案：
解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点和，所以设圆心为。又因为圆与直线相切，所以，所以，解得，所以圆的方程为。
6.
答案：
解析：易知点P在圆的内部，根据圆的性质，若使最小，则，因为圆心，所以，所以直线l的方程为，即。
7.
答案：见解析
解析：（1）圆心，半径,
当直线的斜率不存在时，方程为。
由圆心到直线的距离，知此时，直线与圆相切。
当直线的斜率存在时，设方程为，即。
由题意知，
解得。
所以圆的切线方程为，
即。
故过点M的圆的切线方程为。
（2）由题意得，
解得或。
（3）因为圆心到直线的距离为，
所以，
解得。
3 / 5《直线与圆的位置关系》高考通关练
一、选择题
1.（2020·北京顺义区高三第二次统练）过点的直线将圆形区域分成两部分，要使得两部分的面积之差的绝对值最大，则该直线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2020·河北衡水中学高三调考）直线与圆交于M，N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2020·湖南郴州高三第二次教学质量监测）已知函数，若函数至少有一个零点，则k的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2020·安徽安庆一中月考）若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.6
5.（2020·山西五校联考）已知圆，直线。设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
6.（2020·广东广州一模）设点P是函数图像上的任意一点，点Q的坐标为，则的最小值为________。
7.（2020·衡水中学模拟）已知直线与圆相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________。
8.（2020·湖北荆门一模）过点引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________。
9.（2020·福建4月质检）设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是________。
三、解答题
10.（2020·湖北华师一附中月考）已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的两条切线，A，B是切点。
（1）求四边形PACB面积的最小值；
（2）直线上是否存在点P，使得若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
1.
答案：A
解析：由圆的几何性质可知：截得劣弧长越短，则两部分的面积之差的绝对值越大，当OP与直线垂直时，劣弧长最短，故直线斜率为。又直线过点，所以直线的方程为。故选A。
2.
答案：D
解析：圆的圆心坐标为，半径为2。所以圆心到直线的距离，所以。由，得，故k的取值范围是。
3.
答案：C
解析：令，可得，且函数的图像为过点的一条直线，函数的图像为圆心在原点，半径为1的上半圆，由图像可知，过点的直线与半圆至少有一个交点需要满足直线与半圆相交或相切。当直线与半圆相切时，由，解得。由题意可知，
不合题意，应舍去，所以，所以k的取值范围为。
4.
答案：C
解析：方法一：由，得，依题意得圆心在直线上，所以，即①。
易知由点向圆所作的切线长②，将①代入②，得。又，则当时，。
方法二：因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理，即，所以切线长最短时该点到圆的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题。由题意知圆心，半径，点在直线上，所以点与圆心的距离的最小值即圆心到直线的距离，易求，所以切线长的值为。
【点评】（1）可以用两种方法求最小值：①（代数法）直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；②（几何法）把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题。
（2）过圆外一点引切线，设切点为T，易知切线有两条，求切线方程的方法是待定系数法，切线长公式为（其中r为圆的半径）。
5.
答案：D
解析：直线是单位在第一象限部分的切线，圆的圆心到直线l的距离为1，故过原点O与l平行的直线与圆O的2个交点到直线l的距离为1，直线关于直线l对称的直线与圆O的2个交点到直线l的距离也为1，共4个，故选D。
6.
答案：
解析：函数的图像表示圆在x轴上及下方的部分，令点Q的坐标为，则得，即，作出图像如图所示，由于圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，因此的最小值是。
7.
答案：
解析：因为△ABC是等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离,即,所以。
8.
答案：
解析：由，得。
直线l与交于A，B两点，如图。
则，当时，最大，此时。
点O到直线l的距离，因此的斜率。
9.
答案：
解析：依题意，直线MN与圆O有公共点，即圆心O到直线MN的距离小于等于1，过O作，垂足为A，在中，因为，故，所以，则，解得。
10.
答案：见解析
解析：（1）如图所示，连接PC，由点P在直线上，可设点P的坐标为，易知圆C的圆心为，半径为1。
所以。
因为，所以当最小时，最小。因为点C到直线的距离为,所以的最小值为3，此时，即四边形PACB面积的最小值为。
（2）假设直线上存在点P满足题意。
因为，所以。
由（1）知的最小值为3，
所以这样的点P是不存在的。
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