人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价：第二章 《直线和圆的方程》章末综合提升（含解析）

第二章　直线和圆的方程
(第二章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.点(-1,y1),(2,y2)是直线y=2x+1上的两点,则y1与y2的大小关系为 (　　)
A.y1>y2　　　　 B.y1C.y1=y2 D.无法判断
2.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c), (e,f,d),则c与e的和为 (　　)
A.7　　　　B.-7　　　　C.-1　　　　D.1
3.把直线x-y+-1=0绕点(1,)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是 (　　)
A.y=-x B.y=x
C.x-y+2=0 D.x+y-2=0
4.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于y=x对称,则k的值为 (　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.±1　　　　D.0
5.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的路程为 (　　)
A.5 B.2 C.5 D.10
6.已知P(-1,2),Q(2,4),直线l:y=kx+3.若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离,则k= (　　)
A.或6 B. C.0 D.0或
7.直线l:x+y-2=0与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,O是坐标原点,则∠AOB等于(　　)
A. B. C. D.
8.已知圆C:x2+y2-2x+m=0与圆(x+3)2+(y+3)2=36内切,点P是圆C上一动点,则点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则满足条件的直线方程有(　　)
A.y-x=1　　　　 B.y+x=3
C.y=2x D.y=-2x
10.已知点A(-2,0),B(2,0),如果直线3x-4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB,那么实数m可以等于 (　　)
A.4 B.-4 C.10 D.-10
11.直线l1:m2x+y+3=0和直线l2:3mx+(m-2)y+m=0,若l1∥l2,则m可以取的值为(　　)
A.-1 B.0 C.3 D.-2
12.已知圆O:x2+y2=3.从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆O挡住,则a的取值范围可以是 (　　)
A. B.
C.(-∞,-4) D.(4,+∞)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.若直线l1:y=kx-3与l2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,则直线l1恒过定点　　　　;l1的倾斜角α的取值范围是　　　　.
14.若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是　　　　.
15.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0与直线l:x+ay+1=0相交所得弦AB的长为4,则a=　　　　.
【加练·固】
　　 倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线被圆(x+a)2+y2=4所截得的弦长为2,则a=　　　　.
16.圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4内切,则m的值为　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知点A(-2,2),直线l1:3x-4y+2=0.
(1)求过点A且与直线l1垂直的直线方程.
(2)直线l2为过点A且和直线l1平行的直线,求平行直线l1,l2的距离.
18.(12分)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.
(1)求证:不论m为何实数,直线l恒过一定点.
(2)过点M(-1,-2)作一条直线l1,使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程.
19.(12分)如图,面积为8的平行四边形ABCD,A为坐标原点,B的坐标为(2,-1), C,D均在第一象限.
(1)求直线CD的方程.
(2)若|BC|=,求点D的横坐标.
20.(12分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)求圆C的标准方程.
(2)求圆C在点B处的切线方程.
21.(12分)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1)求圆C的方程.
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
22.(12分)已知圆C1:x2+y2+2x-4y+1=0,圆C2:x2+y2-4x-5=0.
(1)试判断圆C1与圆C2是否相交,若相交,求两圆公共弦所在直线的方程,若不相交,说明理由.
(2)若直线y=kx+1与圆C1交于A,B两点,且OA⊥OB,求实数k的值.
第二章　直线和圆的方程答案
(第二章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.点(-1,y1),(2,y2)是直线y=2x+1上的两点,则y1与y2的大小关系为 (　　)
A.y1>y2　　　　 B.y1C.y1=y2 D.无法判断
【解析】选B.因为y=2x+1是增函数,所以由-1<2,得y12.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c), (e,f,d),则c与e的和为 (　　)
A.7　　　　B.-7　　　　C.-1　　　　D.1
【解析】选D.因为点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy的对称点为(-4,-2,-3),点P(-4,-2,3)关于y轴的对称点的坐标为(4,-2,-3),因为点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),所以c=-3,e=4,所以c+e=1.
3.把直线x-y+-1=0绕点(1,)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是 (　　)
A.y=-x B.y=x
C.x-y+2=0 D.x+y-2=0
【解析】选B.已知直线x-y+-1=0的斜率为1,则其倾斜角为45°,所以直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tan α=tan 60°=,所以直线l的方程为y-=(x-1),即y=x.
4.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于y=x对称,则k的值为 (　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.±1　　　　D.0
【解析】选A.化圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.则圆心坐标为(-k2,-1),因为圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于y=x对称,所以-k2=-1,得k=±1.当k=1时,k4-4k+1<0,不合题意,所以k=-1.
5.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的路程为 (　　)
A.5 B.2 C.5 D.10
【解析】选C.点A(-3,5)关于x轴的对称点A＇(-3,-5),则光线从A到B的路程即A＇B的长,|A＇B|==5,光线从A到B的路程为5.
6.已知P(-1,2),Q(2,4),直线l:y=kx+3.若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离,则k= (　　)
A.或6 B. C.0 D.0或
【解析】选D.由题可知=,
解得k=0或.
7.直线l:x+y-2=0与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,O是坐标原点,则∠AOB等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.根据题意,圆O:x2+y2=4,圆心为(0,0),半径r=2,
方法一:作出圆O,直线l的图象如图,由图可知∠AOB=90°.
方法二:圆心O到直线l:x+y-2=0的距离d==,则|AB|=2×=2,又由|OA|=|OB|=2,则有|OA|2+|OB|2=|AB|2,则∠AOB为直角,即∠AOB=.
8.已知圆C:x2+y2-2x+m=0与圆(x+3)2+(y+3)2=36内切,点P是圆C上一动点,则点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选A.圆C:x2+y2-2x+m=0化为标准方程为(x-1)2+y2=1-m,由已知得: 6-=5,解得m=0,因为圆心C(1,0)到5x+12y+8=0的距离d==1,所以点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为1+1=2.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则满足条件的直线方程有(　　)
A.y-x=1　　　　 B.y+x=3
C.y=2x D.y=-2x
【解析】选AC.当直线过原点时,可得斜率为=2,故直线方程为y=2x;当直线不过原点时,设方程为+=1,代入点(1,2)可得-=1,解得a=-1,故方程为x-y+1=0.故所求直线方程为:y=2x或y-x=1.
10.已知点A(-2,0),B(2,0),如果直线3x-4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB,那么实数m可以等于 (　　)
A.4 B.-4 C.10 D.-10
【解析】选CD.直线3x-4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB,则此直线与圆:x2+y2=4相切.所以=2,解得m=±10.
11.直线l1:m2x+y+3=0和直线l2:3mx+(m-2)y+m=0,若l1∥l2,则m可以取的值为(　　)
A.-1 B.0 C.3 D.-2
【解析】选AB.由m2(m-2)-3m=0,解得m=0或m=-1或m=3.经验证:m=3时,两条直线重合,舍去.所以m=0或m=-1.
12.已知圆O:x2+y2=3.从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆O挡住,则a的取值范围可以是 (　　)
A. B.
C.(-∞,-4) D.(4,+∞)
【解析】选CD.设过点A(-2,0)与圆O:x2+y2=3相切的直线为y=k(x+2),则=,解得k=±,所以切线方程为y=±(x+2).由A点向圆O引两条切线,只要点B在切线之外,就不会遮挡,已知B在直线x=2上,在y=±(x+2)外,令x=2,得y=±4,所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.若直线l1:y=kx-3与l2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,则直线l1恒过定点　　　　;l1的倾斜角α的取值范围是　　　　.
【解析】直线l2:2x+3y-6=0在x轴和y轴上的截距分别为3,2,直线l1:y=kx-3恒过定点(0,-3),
如图:
因为kPA=1,所以直线PA的倾斜角为,
由图可知,要使直线l1:y=kx-3与l2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,
则l1的倾斜角的取值范围是.
答案:(0,-3)　
14.若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是　　　　.
【解析】因为两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,即两平行直线2x+y-4=0与2x+y+k+2=0的距离不大于,所以k+2≠-4,且≤,求得-11≤k≤-1且k≠-6.
答案:-11≤k≤-1且k≠-6
15.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0与直线l:x+ay+1=0相交所得弦AB的长为4,则a=　　　　.
【解析】根据题意,圆C的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心C(1,2),半径r=2;又由弦AB的长为4,则直线l经过圆心,则有1+2a+1=0,得a=-1.
答案:-1
【加练·固】
　　 倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线被圆(x+a)2+y2=4所截得的弦长为2,则a=　　　　.
【解析】倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线方程为:y=(x-a),即x-y-a=0,圆心(-a,0)到直线的距离为:=|a|,所以3a2+1=4,
得a=±1.
答案:±116.圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4内切,则m的值为　　　　.
【解析】圆C1的圆心为(m,-2),半径为r1=3,圆C2的圆心为(-1,m),半径为r2=2,所以两圆的圆心距d=,因为两圆内切,所以=1,解得m=-2或m=-1.
答案:-2或-1
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知点A(-2,2),直线l1:3x-4y+2=0.
(1)求过点A且与直线l1垂直的直线方程.
(2)直线l2为过点A且和直线l1平行的直线,求平行直线l1,l2的距离.
【解析】(1)设过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x+3y+m=0.把点A的坐标代入可得:-8+6+m=0,解得m=2.所以过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x+3y+2=0.
(2)设过点A且和直线l1平行的直线l2的方程为:3x-4y+n=0.
把点A的坐标代入可得:-6-8+n=0,解得n=14.
所以直线l2的方程为:3x-4y+14=0.
所以平行直线l1,l2的距离d==.
18.(12分)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.
(1)求证:不论m为何实数,直线l恒过一定点.
(2)过点M(-1,-2)作一条直线l1,使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程.
【解析】(1)因为m(x-2y-3)+2x+y+4=0,所以由题意得解得所以直线l恒过定点(-1,-2).
(2)设所求直线l1的方程为y+2=k(x+1),直线l1与x轴、y轴交于A,B两点,则A,B(0,k-2),因为AB的中点为M,所以解得k=-2,所以所求直线l1的方程为2x+y+4=0.
19.(12分)如图,面积为8的平行四边形ABCD,A为坐标原点,B的坐标为(2,-1), C,D均在第一象限.
(1)求直线CD的方程.
(2)若|BC|=,求点D的横坐标.
【解析】(1)由题意,kAB=kCD=-,所以设直线CD的方程为y=-x+m,即x+2y-2m=0,因为S ABCD=8,|AB|=,所以=,所以m=±4,由题图可知m>0,所以直线CD的方程为y=-x+4,即x+2y-8=0.
(2)设D(a,b),若|BC|=,则|AD|=,所以所以点D的横坐标a=1.2或2.
20.(12分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)求圆C的标准方程.
(2)求圆C在点B处的切线方程.
【解析】(1)如图所示,过点C作CM⊥AB于M,连接AC,则|CM|=|OT|=1,|AM|=|AB|=1,所以圆的半径r=|AC|=,从而圆心C(1,),即圆的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.
(2)令x=0得,y=±1,则B(0,+1),所以直线BC的斜率为kBC==-1,由直线与圆相切的性质知,圆C在点B处的切线的斜率为1,则圆C在点B处的切线方程为y-(+1)=1×(x-0),即y=x++1.
21.(12分)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1)求圆C的方程.
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有
解得
所以圆C的方程为:x2+y2-6x+4y+4=0.
(2)设符合条件的实数a存在,由于l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,所以l的斜率kPC=-2,而kAB=a=-,所以a=.把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点,故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-72a>0,解得a<0,则实数a的取值范围是
(-∞,0),由于 (-∞,0),假设错误,故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
22.(12分)已知圆C1:x2+y2+2x-4y+1=0,圆C2:x2+y2-4x-5=0.
(1)试判断圆C1与圆C2是否相交,若相交,求两圆公共弦所在直线的方程,若不相交,说明理由.
(2)若直线y=kx+1与圆C1交于A,B两点,且OA⊥OB,求实数k的值.
【解析】(1)相交.由已知得C1(-1,2),r1=2,C2(2,0),r2=3,所以r1+r2=5,|r1-r2|=1,|C1C2|=,因为|r1-r2|<|C1C2|(2)由得(x+1)2+(kx-1)2=4,化简得(1+k2)x2+(2-2k)x-2=0,且Δ=(2-2k)2+8(1+k2)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-,x1x2=,因为OA⊥OB,所以·=-1,即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,化简得:(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0,所以-2-+1=0,化简得k2-2k-1=0,
解得k=1+或k=1-.
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