人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 第二章 《直线和圆的方程》单元测试（二）（含解析）

《直线和圆的方程》单元测试(二)
一、选择题
1.若直线通过点,则( )
A.
B.
C.
D.
2.已知圆,直线与圆交于两点,当弦长最短时的值为( )
A.1
B.
C.-1
D.
3.已知圆内一点,则过点的最短弦所在的直线方程是( )
A.x-y-1=0
B.x+y-3=0
C.x+y+3=0
D.x=2
4.已知点,直线与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( )
A.或
B.
C.
D.
5.已知点和圆,一束光线从点出发,经过轴反射到圆的最短路程是( )
A.6
B.7
C.8
D.9
6.已知分别是曲线:上的两个动点,为直线上的一个动点,则的最小值为( )
A.
B.
C.2
D.3
7.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点,若其欧拉线方程为,则顶点的坐标是( )
A.(-4,0)
B.(-2,0)
C.(-3,0)
D.(-4,2)
8.已知圆的圆心到直线的距离为,则圆与圆的位置关系是( )
A.相交
B.内切
C.外切
D.相离
9.过坐标原点作圆的两条切线,切点为,直线被圆截得弦的长度为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知圆的方程为,过点的直线与圆相交的所有弦中,弦长最短的弦为,弦长最长的弦为,则四边形的面积为( )
A.30
B.40
C.60
D.80
11.已知圆,则当圆的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A.
B.6
C.
D.
12.圆心为的圆与直线交于两点,为坐标原点,且满足,则圆的方程为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.已知是直线上一动点,过点作圆的两条切线,切点分别为,则四边形面积的最小值为_________.
14.过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为_________.
15.已知直线.若,则实数_________;若,则实数_______________.
16.直线被圆截得的弦长的最大值是____________;若该圆上到此直线的距离等于1的点有且仅有4个,则的取值范围是____________.
三、解答题
17.如图,在中,,且边的中点在轴上,边的中点在轴上.
(1)求点的坐标;
(2)求的面积.
18.已知的三个顶点,.
(1)求边所在直线的方程;
(2)边上中线的方程为,且7,求点的坐标.
19.已知圆.
(1)若直线过点且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)若直线过点与圆相交于两点,求的面积的最大值,并求此时直线的方程.
20.已知圆,直线,且直线与圆交于不同的两点,定点的坐标为.
(1)求实数的取值范围;
(2)若两点的中点为,直线与直线的交点为,求证:为定值.
21.已知直线和点,.
(1)直线上是否存在点,使得为直角三角形 若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)在直线上找一点,使得最大,求出点的坐标.
22.已知圆心为的圆经过点.
(1)求圆的标准方程;
(2)若直线过点且被圆截得的线段长为,求直线的方程;
(3)是否存在斜率是1的直线,使得以被圆所截得的弦EF为直径的圆经过原点 若存在,试求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
答案解析
1.答案:D
解析:依题意可得,点在单位圆上,所以直线与单位圆有交点,则圆心即原点到直线的距离,即.
2.答案:A
解析:据题意直线恒过定点,圆心,
当直线与垂直时,弦长最短,
此时.
3.答案:B
解析:由题意可知,当过圆心且过点时所得弦为直径,
当与这条直径垂直时所得弦长最短,圆心为,
则由两点间斜率公式可得,
所以与垂直的直线斜率为,
则由点斜式可得过点的直线方程为,
化简可得.
4.答案:A
解析:,所以直线过定点,
所以,
直线在到之间,
所以或.
5.答案:C
解析:由题可知,圆,整理得,圆心,半径,最短距离即和圆的圆心关于轴对称的点的距离再减去半径的距离,所以.
6.答案:D
解析:圆的圆心,半径为,圆,圆心,半径为,圆心关于的对称点为,
解得故
∴.
7.答案:A
解析:设,因为,
由重心坐标公式得重心为,
代入欧拉线方程得.①
的中点为,
所以的中垂线方程为,
联立解得
所以的外心为,
则,
化简得,,②
联立①②得,或,
当时,重合,舍去,
所以顶点的坐标是.
8.答案:B
解析:圆的圆心为,半径为.
圆心到直线的距离为,解得.
∴圆的圆心为,半径,
圆的标准方程为,
圆心坐标为,半径,
圆心距,
∴两圆相内切.
9.答案:A
解析:如图所示,设圆的圆心坐标为,半径为,
则,
则,可得.
10.答案:B
解析:圆的标准方程为,即圆是以为圆心,5为半径的圆,
且由,即点在圆内,则最短的弦是以为中点的弦,
所以,所以,过最长的弦为直径,所以,且,故而.
11.答案:D
解析:由得,
因此圆心为,半径为,
当且仅当时,半径最小,则面积也最小,此时圆心为,半径为,
因此圆心到坐标原点的距离为,即原点在圆外,
根据圆的性质,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.
12.答案:D
解析:因为圆心为,所以设圆的方程为,将直线方程代入圆的方程,得到,
设,则有,因为,所以,所以,
整理得,即,
求得,
所以圆的方程为.
13.答案:2
解析:由题意得,圆的方程为,
∴圆心为,半径为2.
又∵四边形的面积,
所以当最小时,四边形面积最小.将代入点到直线的距离公式,,
∴
故四边形面积的最小值为2.
14.答案:或
解析:当直线过坐标原点时,显然直线的斜率存在,设,代入,
所以,所以,
所以直线方程为;
当直线不过坐标原点时,设,所以横截距为,纵截距为,所以,解得或(舍),所以直线方程为.
15.答案:-3
解析:因为直线,所以当时,,解得或,
当时,两直线重合,不合题意,故实数.
当,则,解得.
16.答案:4
解析:因为圆的圆心为,半径为2,
所以当直线过圆心时,截得的弦长最大,最大值为4;
若要使该圆上到此直线的距离等于1的点有且仅有4个,
则圆心到直线的距离,所以.
17.答案:见解析
解析:(1)设点,
因为边的中点在轴上,边的中点在轴上,,
解得所以点的坐标是.
(2)由题设,,
,所以直线的方程为7),即.
故点到直线的距离为,
所以,.
18.答案:见解析
解析:(1)由得边所在直线方程为,即.
(2)到边所在直线的距离为,由于在直线上,故
即
解得或故或.
19.答案:见解析
解析:(1)圆的圆心坐标为,半径,
∵直线被圆截得的弦长为,
∴由勾股定理得到圆心到直线的距离.
①当直线的斜率不存在时,,显然满足;
②当直线的斜率存在时,设,
即,
由圆心到直线的距离得,,
解得,故.
综上所述,直线的方程为或.
(2)∵直线与圆相交,∴的斜率一定存在且不为0,设直线的方程为,
即,则圆心到直线的距离为,
又的面积,
∴当时,取最大值2,由,得或,
∴直线的方程为或.
20.答案:见解析
解析:(1)因为圆与直线交于不同的两点,
所以,即,解得或.
(2)由可得,由
可得.
设两点横坐标分别为,则,
得,
所以.
21.答案:见解析
解析:(1)点,故,若直线上存在点,使得为直角三角形,设,则讨论以下三种情况:
①若是斜边,则,即,
∴,则,方程无解;
②若是斜边,则,即,
∴,符合题意,此时;
③若是斜边,则,即,
∴;
综上,直线上存在点,使得为直角三角形.
(2)根据题意,过的圆与直线相切于时,最大.
因为,所以延长线与直线相交于点,
根据圆的性质,而,∴,
故切点的坐标为,此时最大,为.
22.答案:见解析
解析:(1)圆的半径为,
∴圆的标准方程为.
(2)方法一 如图所示,设直线与圆交于两点且是的中点,则且.
∵圆的半径为4,即,
∴在Rt中,可得,
即点到直线的距离为2.
①当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为,即.
由点到直线的距离公式得,
解得.
∴此时直线的方程为.
②当直线的斜率不存在时,直线的方程为.
将代入,
得,
∴,
∴方程为的直线也满足题意,
∴所求直线的方程为或.
方法二 当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为,即.
联立直线与圆的方程
消去得,①
设方程①的两根为,
由根与系数的关系得②
由弦长公式得,③
将②式代入③,并解得,
此时直线的方程为.
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
仿方法一验算得方程为的直线也满足题意.
∴所求直线的方程为或.
(3)方法一 假设存在直线满足题设条件,设的方程为,则的中点是两直线与的交点,即,
∴.
∵以为直径的圆经过原点,∴,
∴.
又∵,
∴,
化简得.
∵方程没有实数解,
∴不存在满足题设条件的直线.
方法二 假设存在直线满足题设条件,并设的方程为,点,点,联立直线与圆的方程
消去得.
由根与系数的关系得④
∵以为直径的圆经过原点,∴.
若中有一点在轴上,则另一点必在轴上,而在圆的方程中令可得无实数解,故本情况不会出现.
∴,即,
∴,
化简得,
将④代入并化简得.
∵方程没有实数解,
∴不存在满足题设条件的直线.
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