人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 高考模拟练习：第二章 直线和圆的方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 高考模拟练习：第二章 直线和圆的方程（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 901.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-20 12:07:17 | ||
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文档简介
高考模拟：直线和圆的方程
一、单项选择题
1.（2020·长郡中学月考）已知点和在直线的同侧，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2020·吉大附中月考）已知点和圆，过点P可作圆C的两条切线，则实数k的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2020·太原调研）已知直线与圆相交于A，B两点，C为圆心。若△ABC为等边三角形，则a的值为（ ）
A.1
B.
C.
D.
4.（2020·佛山二模）过点的直线l与圆交于A，B两点，C为圆心，当最小时，直线l的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2020·江苏模拟）已知向量的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ ）
A.相切
B.相交
C.相离
D.随的值而定
6.（2020·南京调研）已知动点，其中，则点，与直线PQ的关系是（ ）
A.M，N均在直线PQ上
B.M，N均不在直线PQ上
C.M不在直线PQ上，N可能在直线PQ上
D.M可能在直线PQ上，N不在直线PQ上
7.（2020·济宁二模）台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区内的时间为（ ）
A.0.5h
B.1h
C.1.5h
D.2h
8.（2020·辽宁模拟）一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽度为（ ）
A.14m
B.15m
C.
D.
二、多项选择题
9.若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.直线和直线垂直，则实数m的值为（ ）
A.
B.0
C.1
D.2
11.已知直线与圆相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知圆，若直线垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则（ ）
A.2
B.4
C.6
D.10
三、填空题
13.（2020·河北“五个一名校联盟”第二次考试）过点作直线（a，b不同时为0）的垂线，垂足为M，已知点，则MN的取值范围是_________。
14.（2020·成都摸底测试）已知直线l过点，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点。当取得最小值时，则直线l的方程为_________。
15.（2020·合肥调研）已知圆，点，。从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围为_________。
16.（2020·海南期末）已知点是直线上一动点，PA，PB是圆的两条切线，A，B为切点，若弦AB的长的最小值为，则k的值为_________。
四、解答题
17.（2020·团风中学月考）（本小题满分10分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为，的角平分线所在直线的方程为，若点B的坐标为，求点A和点C的坐标。
18.（2020·辽宁五校协作体联合模拟）（本小题满分12分）已知圆和点。
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
（2）若，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|的最大值。
19.（2020·镇江模拟）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点的入射光线被直线反射，反射光线交y轴于B点，圆C过点A且与都相切。
（1）求所在直线的方程和圆C的方程；
（2）设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标。
20.（2020·遂宁模拟）（本小题满分12分）已知圆，直线。
（1）若直线l与圆O相切，求k的值；
（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当为锐角时，求k的取值范围；
（3）若是直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，探究：直线CD是否过定点。
21.（2020·长郡中学选拔考试）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆。
（1）若直线l过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
22.（2020·广东五校协作体联考）（本小题满分12分）已知圆与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B。
（1）若过点的直线l被圆O截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）若在以点B为圆心，半径为r的圆上存在点P，使得（为坐标原点），求r的取值范围；
（3）设是圆O上的两个动点，点M关于坐标原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于点和，问mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
参考答案
1.
答案：D
解析：点和点在直线的同侧的充要条件是，解得，则直线l的斜率的范围是，故其倾斜角的取值范围是。
2.
答案：C
解析：将图C的方程化为标准方程得。
因为过点P可作圆的两条切线，所以点P在圆外，
从而解得。故选C。
3.
答案：D
解析：可化为，故圆C的圆心坐标为，半径，又由题意可知圆心C到直线的距离，所以，解得。故选D。
4.
答案：D
解析：由题意得，当直线时，最小。
圆心C的坐标为，
，
则直线l的方程为，
即。故选D。
5.
答案：C
解析：由已知得，，，圆心到直线的距离，故选C。
6.
答案：C
解析：动点，其中，当，即时，直线PQ为；当，即时，直线PQ为，即。又时，式可化为，故直线PQ的方程为。把代入方程，得，M一定不在直线PQ上；把代入方程，得，，可能在直线PQ上。
7.
答案：B
解析：如图，以A地为原点,AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以为圆心，30为半径的圆内，台风中心位于MN之间（含端点）时，城市B在危险区内，可求得，所以时间为1h。
8.
答案：D
解析：以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图。
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，
则由已知可得，
设圆的半径长为r，则，
即圆的方程为。
将点A的坐标代入上述方程，可得，所以圆的方程为，
当水面下降1m后，水面所在弦的端点为，
可设，代入，解得，所以水面宽度。
9.
答案：ABC
解析：当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为，即，当直线不过原点时，设所求的直线方程为，把点代入可得，求得，故所求的直线方程为或；综上可知，所求的直线方程为。故选A、B、C。
10.
答案：AB
解析：由两直线垂直可得，解得。故选A、B。
11.
答案：B、D
解析：因为直线与圆相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得，所以，故选B、D。
12.
答案：AD
解析：圆的圆心C的坐标为，半径，因为直线垂直于圆C的一条直径，且经过这条直线的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为，则有，解得，故选A、D。
13.
答案：
解析：条件中的直线可化为，令
解得直线过定点，设该点为Q。点M在以PQ为直径的圆上，圆心为线段PQ的中点，设该点为C，半径，，则点N在该圆外，线段MN长度的最大值，线段MN长度的最小值。故MN的取值范围是。
14.
答案：
解析：设直线l的斜率为k，由题意知，直线l的方程为，则，所以，当且仅当，即时等号成立，此时直线l的方程为，即。
15.
答案：
解析：由题知点B在直线上，过点作圆的切线，设切线的斜率为k，由点斜式求得切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径，得，解得切线方程为，切线和直线的交点坐标为要使视线不被圆C挡住，实数a的取值范围是。
[点评]本题考查参数的取值范围，考查直线方程、切线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查函数与方程思想，是中档题。
16.
答案：
解析：圆的圆心为，半径,如图所示，根据圆的性质知，
，
当取得最小值时，取得最小值，即有，此时圆心到直线的距离就是的最小值，即，故答案为。
17.
答案：见解析
解析：如图所示，由已知得点A应是BC边上的高所在的直线与的角平分线所在直线的交点。
由得故。
又的角平分线所在直线为，故，
所在直线的方程为，
又所在直线的方程为，
由
解得
故点C的坐标为。
18.
答案：见解析
解析：（1）由条件知点M在圆O上，所以，则，当时,点M为，此时切线方程为，即，当时，点M为，此时切线方程为，即，所以所求的切线方程为或。
（2）由条件知，如图，
过圆心O作AC，BD的垂线，垂足分别为E，F，所以四边形OEMF是矩形。
设，所以。
所以，
即，由基本不等式得，
又，
当且仅当时取等号。
所以当时，的最大值为。
19.
答案：见解析
解析：（1）易知直线，设交l于点D，则，因为直线l的斜率为，所以l的倾斜角为，所以的倾斜角为60°，其斜率，所以反射光线所在的直线方程为，即。
知圆C与相切于点A，设圆心C的坐标为，因为圆心C在过点D且与l垂直的直线上，所以，①
又圆心C在过点A且与垂直的直线上，所以，②
由①②得，故圆C的半径，故所求圆C的方程为。
综上，所在直线的方程为，圆C的方程为。
（2）设点关于l对称的点为，即，且，解得，故。
由题意易知，当三点共线时，最小，故的最小值为，
由
解得得，
故的最小值为，此时点P的坐标为。
20.
答案：见解析
解析：（1）由圆心O到直线l的距离，可得。
（2）设点A，B的坐标分别为，
由整理，得，
所以。
，即。
当为锐角时，得，可得，
又，故k的取值范围为或。
（3）设切点C，D的坐标分别为，
动点P的坐标为，则过切点C的切线方程为，所以，同理，所以过C，D的直线方程为，又，代入上式整理得，而，令得即直线CD过定点。
21.
答案：见解析
解析：（1）设直线l的方程为，即。
由垂径定理，得圆心到直线l的距离,
结合点到直线的距离公式，得,
化简得，解得或。
则所求直线l的方程为或，即或。
（2）设点P坐标为，直线的方程分别为，，
即。
直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等。
故有，
化简得或。
由关于k的方程有无穷多解，有或解得或
所以点P的坐标为或。
22.
答案：见解析
解析：（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为。
将代入，可得，此时截得的弦长为，符合题意。
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
即，
圆心O到直线l的距离
直线l被圆O截得的弦长为，
解得，此时直线l的方程为。
综上可知，所求直线l的方程为或。
（2）设点P的坐标为，由题意得点A的坐标为，点B的坐标为，
由可得，
化简可得。
点P在圆B上，，且，解得，的取值范围是。
（3），
则直线的方程为，
令，则，同理可得，
mn为定值1。
7 / 12
一、单项选择题
1.（2020·长郡中学月考）已知点和在直线的同侧，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2020·吉大附中月考）已知点和圆，过点P可作圆C的两条切线，则实数k的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2020·太原调研）已知直线与圆相交于A，B两点，C为圆心。若△ABC为等边三角形，则a的值为（ ）
A.1
B.
C.
D.
4.（2020·佛山二模）过点的直线l与圆交于A，B两点，C为圆心，当最小时，直线l的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2020·江苏模拟）已知向量的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ ）
A.相切
B.相交
C.相离
D.随的值而定
6.（2020·南京调研）已知动点，其中，则点，与直线PQ的关系是（ ）
A.M，N均在直线PQ上
B.M，N均不在直线PQ上
C.M不在直线PQ上，N可能在直线PQ上
D.M可能在直线PQ上，N不在直线PQ上
7.（2020·济宁二模）台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区内的时间为（ ）
A.0.5h
B.1h
C.1.5h
D.2h
8.（2020·辽宁模拟）一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽度为（ ）
A.14m
B.15m
C.
D.
二、多项选择题
9.若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.直线和直线垂直，则实数m的值为（ ）
A.
B.0
C.1
D.2
11.已知直线与圆相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知圆，若直线垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则（ ）
A.2
B.4
C.6
D.10
三、填空题
13.（2020·河北“五个一名校联盟”第二次考试）过点作直线（a，b不同时为0）的垂线，垂足为M，已知点，则MN的取值范围是_________。
14.（2020·成都摸底测试）已知直线l过点，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点。当取得最小值时，则直线l的方程为_________。
15.（2020·合肥调研）已知圆，点，。从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围为_________。
16.（2020·海南期末）已知点是直线上一动点，PA，PB是圆的两条切线，A，B为切点，若弦AB的长的最小值为，则k的值为_________。
四、解答题
17.（2020·团风中学月考）（本小题满分10分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为，的角平分线所在直线的方程为，若点B的坐标为，求点A和点C的坐标。
18.（2020·辽宁五校协作体联合模拟）（本小题满分12分）已知圆和点。
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
（2）若，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|的最大值。
19.（2020·镇江模拟）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点的入射光线被直线反射，反射光线交y轴于B点，圆C过点A且与都相切。
（1）求所在直线的方程和圆C的方程；
（2）设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标。
20.（2020·遂宁模拟）（本小题满分12分）已知圆，直线。
（1）若直线l与圆O相切，求k的值；
（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当为锐角时，求k的取值范围；
（3）若是直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，探究：直线CD是否过定点。
21.（2020·长郡中学选拔考试）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆。
（1）若直线l过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
22.（2020·广东五校协作体联考）（本小题满分12分）已知圆与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B。
（1）若过点的直线l被圆O截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）若在以点B为圆心，半径为r的圆上存在点P，使得（为坐标原点），求r的取值范围；
（3）设是圆O上的两个动点，点M关于坐标原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于点和，问mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
参考答案
1.
答案：D
解析：点和点在直线的同侧的充要条件是，解得，则直线l的斜率的范围是，故其倾斜角的取值范围是。
2.
答案：C
解析：将图C的方程化为标准方程得。
因为过点P可作圆的两条切线，所以点P在圆外，
从而解得。故选C。
3.
答案：D
解析：可化为，故圆C的圆心坐标为，半径，又由题意可知圆心C到直线的距离，所以，解得。故选D。
4.
答案：D
解析：由题意得，当直线时，最小。
圆心C的坐标为，
，
则直线l的方程为，
即。故选D。
5.
答案：C
解析：由已知得，，，圆心到直线的距离，故选C。
6.
答案：C
解析：动点，其中，当，即时，直线PQ为；当，即时，直线PQ为，即。又时，式可化为，故直线PQ的方程为。把代入方程，得，M一定不在直线PQ上；把代入方程，得，，可能在直线PQ上。
7.
答案：B
解析：如图，以A地为原点,AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以为圆心，30为半径的圆内，台风中心位于MN之间（含端点）时，城市B在危险区内，可求得，所以时间为1h。
8.
答案：D
解析：以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图。
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，
则由已知可得，
设圆的半径长为r，则，
即圆的方程为。
将点A的坐标代入上述方程，可得，所以圆的方程为，
当水面下降1m后，水面所在弦的端点为，
可设，代入，解得，所以水面宽度。
9.
答案：ABC
解析：当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为，即，当直线不过原点时，设所求的直线方程为，把点代入可得，求得，故所求的直线方程为或；综上可知，所求的直线方程为。故选A、B、C。
10.
答案：AB
解析：由两直线垂直可得，解得。故选A、B。
11.
答案：B、D
解析：因为直线与圆相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得，所以，故选B、D。
12.
答案：AD
解析：圆的圆心C的坐标为，半径，因为直线垂直于圆C的一条直径，且经过这条直线的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为，则有，解得，故选A、D。
13.
答案：
解析：条件中的直线可化为，令
解得直线过定点，设该点为Q。点M在以PQ为直径的圆上，圆心为线段PQ的中点，设该点为C，半径，，则点N在该圆外，线段MN长度的最大值，线段MN长度的最小值。故MN的取值范围是。
14.
答案：
解析：设直线l的斜率为k，由题意知，直线l的方程为，则，所以，当且仅当，即时等号成立，此时直线l的方程为，即。
15.
答案：
解析：由题知点B在直线上，过点作圆的切线，设切线的斜率为k，由点斜式求得切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径，得，解得切线方程为，切线和直线的交点坐标为要使视线不被圆C挡住，实数a的取值范围是。
[点评]本题考查参数的取值范围，考查直线方程、切线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查函数与方程思想，是中档题。
16.
答案：
解析：圆的圆心为，半径,如图所示，根据圆的性质知，
，
当取得最小值时，取得最小值，即有，此时圆心到直线的距离就是的最小值，即，故答案为。
17.
答案：见解析
解析：如图所示，由已知得点A应是BC边上的高所在的直线与的角平分线所在直线的交点。
由得故。
又的角平分线所在直线为，故，
所在直线的方程为，
又所在直线的方程为，
由
解得
故点C的坐标为。
18.
答案：见解析
解析：（1）由条件知点M在圆O上，所以，则，当时,点M为，此时切线方程为，即，当时，点M为，此时切线方程为，即，所以所求的切线方程为或。
（2）由条件知，如图，
过圆心O作AC，BD的垂线，垂足分别为E，F，所以四边形OEMF是矩形。
设，所以。
所以，
即，由基本不等式得，
又，
当且仅当时取等号。
所以当时，的最大值为。
19.
答案：见解析
解析：（1）易知直线，设交l于点D，则，因为直线l的斜率为，所以l的倾斜角为，所以的倾斜角为60°，其斜率，所以反射光线所在的直线方程为，即。
知圆C与相切于点A，设圆心C的坐标为，因为圆心C在过点D且与l垂直的直线上，所以，①
又圆心C在过点A且与垂直的直线上，所以，②
由①②得，故圆C的半径，故所求圆C的方程为。
综上，所在直线的方程为，圆C的方程为。
（2）设点关于l对称的点为，即，且，解得，故。
由题意易知，当三点共线时，最小，故的最小值为，
由
解得得，
故的最小值为，此时点P的坐标为。
20.
答案：见解析
解析：（1）由圆心O到直线l的距离，可得。
（2）设点A，B的坐标分别为，
由整理，得，
所以。
，即。
当为锐角时，得，可得，
又，故k的取值范围为或。
（3）设切点C，D的坐标分别为，
动点P的坐标为，则过切点C的切线方程为，所以，同理，所以过C，D的直线方程为，又，代入上式整理得，而，令得即直线CD过定点。
21.
答案：见解析
解析：（1）设直线l的方程为，即。
由垂径定理，得圆心到直线l的距离,
结合点到直线的距离公式，得,
化简得，解得或。
则所求直线l的方程为或，即或。
（2）设点P坐标为，直线的方程分别为，，
即。
直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等。
故有，
化简得或。
由关于k的方程有无穷多解，有或解得或
所以点P的坐标为或。
22.
答案：见解析
解析：（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为。
将代入，可得，此时截得的弦长为，符合题意。
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
即，
圆心O到直线l的距离
直线l被圆O截得的弦长为，
解得，此时直线l的方程为。
综上可知，所求直线l的方程为或。
（2）设点P的坐标为，由题意得点A的坐标为，点B的坐标为，
由可得，
化简可得。
点P在圆B上，，且，解得，的取值范围是。
（3），
则直线的方程为，
令，则，同理可得，
mn为定值1。
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