2013高一数学 2.2.2 指数函数及其性质课件 新人教A版必修1

课件31张PPT。2019/1/102019/1/10学点一学点二学点三学点四学点五学点六学点七2019/1/101.一般地，函数 叫做指数函数，其中x是 ，函数的定义域是 值域是 .
2.函数y=ax(a>0,且a≠1)，当 时，在(-∞,+∞)上是增函数；当 时，在(-∞,+∞)上是减函数.
3.y=ax(a>0,且a≠1)的图象一定过点 .当a>1时，若x>0,则y ，若x<0，则y ;当00,则y ,若x<0，则y .
4.函数y=2x-2的图象可以看成指数函数y=2x的图象向 平移 个单位得到的；函数y=ax-m(a>0,且a≠1,m>0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向 平移个 单位得到的；函数y=ax+m(a>0,且a≠1,m>0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向 平移个 单位得到的.y=ax(a＞0,且a≠1)自变量R（0,+∞）a>101∈(0,1)∈(0,1)>1右2右m左m2019/1/105.函数y=ax和y=a-x的图象关于 对称；函数y=ax和y=-ax的图象关于 对称；函数y=ax和y=-a-x的图象关于 对称.
6.当a>1时，af(x)>ag(x) ；当0ag(x)? f(x)7.若函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，则函数y=af(x),当a>1时，在区间D上是 函数；当0g(x)增（减）减（增）2019/1/10学点一 基本概念指出下列函数中，哪些是指数函数：
（1）y=4x;（2）y=x4;(3)y= -4x;(4)y=(-4)x;
(5)y= x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a> ,且a≠1.）【分析】根据指数函数的定义进行判断.【解析】由定义，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫指数函数.由此可以确定（1）（5）（8）是指数函数.
（2）不是指数函数.
（3）是-1与指数函数4x的积.2019/1/10(4)中底数-4<0,所以不是指数函数.
(6)是二次函数,不是指数函数.
(7)底数x不是常数,不是指数函数.【评析】基本初等函数:一次函数、二次函数、指数函数及后面将要学到的对数函数、幂函数，都有一定的形式,要注意定义的要求.2019/1/10已知指数函数y=(m2+m+1)·（ ）x,则m= .解：
∵y=(m2+m+1)· （ ）x为指数函数,
∴m2+m+1=1,即m2+m=0,
∴m=0或-1.
0或-12019/1/10学点二 函数的定义域 值域求下列函数的定义域、值域:
（1）y=2 ;（2）y=（ ） ;
（3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10 .【分析】由于指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域.2019/1/10【解析】（1）令x-4≠0,得x≠4.
∴定义域为{x|x∈R,且x≠4}.
∴ ≠0,∴2 ≠1,
∴y=2 的值域为{y|y>0，且y≠1}.
（2）定义域为x∈R.
∵|x|≥0,∴y= = ≥ =1,
故y= 的值域为{y|y≥1}.
（3）定义域为R.
∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1.
故y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}.2019/1/10【评析】求与指数函数有关的函数的值域时，要充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.如第（1）小题切记不能漏掉y>0.
（4）令 ≥0,得 ≥0,解得x<-1或x≥1.
故定义域为{x|x<-1或x≥1}.
值域为{y|y≥0,且y≠10}.2019/1/10
（1）要使函数有意义，必须1-x≠0，即x≠1,
∴函数的定义域是{x|x∈R,且x≠1}.
（2）要使函数有意义，必须 - ≥0,则 ≥2-1,
∴-x2≥-1,即-1≤x≤1,
∴函数的定义域是{x|-1≤x≤1}.求下列函数的定义域:
（1）y=2 ;
（2）y= ；
（3）2019/1/10(3)∵1- ≥0
∴ ≤1,∴x≥0,即定义域为{x|x≥0}.2019/1/10学点三 比较大小比较下列各题中两个数的大小：
（1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.【分析】将所给指数值化归到同一指数函数，利用指数函数单调性比较大小；若不能化归为同一底数时，或求范围或找一个中间值再比较大小.2019/1/10【解析】（1）指数函数y=1.7x，由于底数1.7>1，∴指数函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.
∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.
（2）函数y=0.8x，由于0<0.8<1,
∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数.
∵-0.1>-0.2，∴0.8-0.1<0.8-0.2.
（3）由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,
∴1.70.3>0.93.1.【评析】比较大小一般用函数单调性，而比较1.70.3与0.93.1的大小，可在两数间插入1，它们都与1比较大小可得结论，注意此类题在求解时，常插入0或±1.2019/1/10比较下列各题中数的大小：
(1) -0.8, -0.9; (2) -0.23, -0.25; (3)(3+2 ) , ( -1) .(1)∵y= x在R上是减函数,又∵-0.8>-0.9,∴
(2)∵ -0.25 = 0.25, ∴由y= x在R上是增函数得
即 .
(3)∵ ,
而y= 为R上的减函数,
∴.
即 .2019/1/10学点四 单调性的判定【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题.指数-x2+3x+2= 当x≥ 时，是减函数,x≤ 时，是增函数,而f(x)的单调性又与01两种范围有关,应分类讨论.2019/1/10【评析】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数.但一定要注意考虑复合函数的定义域.2019/1/10讨论函数f(x)= 的单调性,并求其值域.
∵f(x)的定义域为R,令u=-x2+2x,则f(u)= .
又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1］上是增函数,即当 时，
有 .
又∵f(u)= 在其定义域内为减函数,
∴ .
∴函数f(x)在(-∞,1］上为减函数,
同理可得f(x)在［1,+∞)上为增函数.
又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,
f(u)= 在(-∞,1］上是减函数,
∴f(u)≥ .
即f(x)的值域为 2019/1/10学点五 最值问题求函数y= ，x∈［-3,2］的最大值和最小值.【分析】令 = t，化函数为关于t的二次函数，再求解.【解析】令 =t,∵x∈［-3,2］,∴t∈ ,
∴y= =t2-t+1= ,
当t= 时，y= ;当t=8时，y=57.
∴函数的最大值为57,最小值为 .
【评析】化为二次函数,用配方法求解是一种常用的方法.2019/1/10已知函数y=a2x+2ax-1(a>1)在区间［-1,1］上的最大值
是14,求a的值.令t=ax,∵x∈［-1,1］，且a>1,∴t∈ .
原函数化为y=t2+2t-1=(t+1)2-2.
∴单调增区间是［-1,+∞),
∴当t∈ 时,函数单调递增,
∴当t=a时, =(a+1)2-2=14,
解得a=3或a=-5,
又∵a>1,∴a=3.2019/1/10学点六 函数的图象及应用【解析】
其图象是由两部分合成的，一是把y=2x的图象向右平移1个单位，在x≥1的部分，二是把 的图象向右平移1个单位，在x<1的部分，对接处的公共点为(1,1)，如上图.【分析】指数函数的复合函数常常由指数函数经过平移变换、对称变换、翻折变换等得到，经过这些变换其性质与图象将发生变化.画出函数 的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质.
2019/1/10由图象可知函数有三个重要性质：
（1）对称性：对称轴为x=1;
（2）单调性：(-∞,1］上单调递减，［1,+∞)上单调递增；
（3）函数的值域：［1,+∞).【评析】作较复杂函数的图象（本题称分段函数），要把各部分变换而得到一个整体，为了表示某部分是某个函数图象的一部分，常画出一些虚线进行衬托，虚线部分不是函数图象上的点，应注意区别.2019/1/10画出函数y=2x-1+1的图象，然后指出其单调区间及值域.
先画出指数函数y=2x的图象，然后将其向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可，由图象可看出函数的单调增区间为(-∞,+∞),函数的值域为(1,+∞).2019/1/10设a>0，f(x)= 在R上满足f(-x)=f(x).
（1）求a的值；
（2）证明：f(x)在(0,+∞)上是增函数.【分析】f(-x)=f(x)说明f(x)是偶函数，由此求a；单调性只能用定义证明.
【解析】（1）因为对一切x∈R有f(x)=f(-x)，即
，
所以 对一切x∈R成立.
由此可得 即a2=1.
又因为a>0，所以a=1.学点七 指数函数的综合应用2019/1/10【评析】指数函数的复合函数的性质是学习的重点，研究这些性质，使用的方法仍是前面学习的基本方法.（2）证明：
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.2019/1/10设a是实数，f(x)=a- (x∈R).
（1）证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；
（2）试确定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.
(1)证明：设x1,x2∈R，且x1f(x1)-f(x2)= (a- )-(a- )
=
= .
由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1所以 ,即 .2019/1/10又由2x>0得
所以f(x1)-f(x2)<0,
因为此结论与a的取值无关，
所以不论a为何实数，f(x)均为增函数.
（2）由f(-x)+f(x)=0得
得a=1.2019/1/101.解题时需要注意什么问题？（1）函数y=ax的图象与性质是本学案的核心，对a>1或0(2)当a>0，且a≠1时,函数y=ax与函数y= 的图象关于y轴对称.
(3)由函数y=2x,y=2x+1的图象可以看出,将函数y=2x的图象向左平移1个单位,就得到函数y=2x+1的图象.注意不要把方向搞错.
（4）结合图象记忆性质，直接进行运算、判断是学习本学案应特别注意的思想方法.2019/1/102.指数函数的定义中,需要注意什么?指数函数的定义中,要注意以下几点：
(1)指数函数的定义是形式性的定义；
(2)a,x位置易混,应牢记指数函数自变量的位置.2019/1/101.掌握指数函数图象的规律,是数形结合研究指数函数有关问题的必备基础.
2.当指数函数底数大于1时,图象上升,且当底数越大,图象向上越靠近于y轴,当底数大于0小于1时,图象下降,底数越小,图象向下越靠近于x轴,简称当x>0时,底大、图象高.2019/1/10祝同学们学习上天天有进步！