人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1.1《椭圆及其标准方程》名师课件（共34张PPT）

(共33张PPT)
复习引入
人教A版同步教材名师课件
椭圆及其标准方程
学习目标
学 习 目 标 核心素养
椭圆的定义 直观想象、数学抽象
椭圆的标准方程 数学抽象、数学运算
学习目标
学习目标:
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.
学科核心素养:
1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习,培养学生的数学运算素养.
2.借助轨迹方程的学习,培养学生的逻辑推理及直观想象的核心素养.
生活中的椭圆
探究新知
请拿出大家准备好的定长的细绳,把它的两端固定在硬纸板上的同一定点,套上笔拉紧绳子,移动笔尖画出的轨迹是什么呢？再将细绳的两端拉开一段距离,分别固定在硬纸板上的两定点处,套上笔拉紧绳子,使笔尖在硬纸板上慢慢移动,画出的图形是什么呢？
合作实验:
探究新知
平面内与两个定点的距离____的和等于常数(大于_____)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .
M
F1
F2
记焦距为2c,椭圆上的点M与F1, F2的距离和记为2a.
探究新知
F1F2
1. 椭圆定义:
|MF1|+|MF2|=2a (|F1F2|=2c, 2a>2c>0)
|F1F2|
绳长等于两定点间
距离即时,
绳长小于两定点间
距离即时,
M
F1
F2
F1
F2
思考
为什么要求
轨迹为线段;
无轨迹.
探究新知
注意:椭圆定义中的关键点:
(1)动点与两定点的距离的和等于常数.
(一动两定)
(2)距离的和大于焦距,即.
M
F1
F2
探究新知
1. 椭圆定义:
|MF1|+|MF2|=2a (|F1F2|=2c, 2a>2c>0)
F1F2
|F1F2|
平面内与两个定点的距离____的和等于常数(大于_____)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .
求曲线方程的步骤是什么？
(1)建立适当的坐标系,设曲线上任意一点的坐标为
(2)找出限制条件 ;
(3)把坐标代入限制条件 ,列出方程 ;
(4)化简方程;
(5)检验(可以省略,如有特殊情况,适当说明).
建、设、限、代、化
结合椭圆的几何特征,你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？
探究新知
建立平面直角坐标系一般遵循的原则:对称、简洁
x
O
y
M
方案一
探讨建立平面直角坐标系的方案
方案二
x
O
y
探究新知
以F1、F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系.
由椭圆定义可知
化
代
设
建
F1
F2
x
y
M( x , y )
设 M( x,y )是椭圆上任意一点,
椭圆的焦距为2c,则有F1(-c,0)、F2(c,0).
则:
O
椭圆标准方程的推导
限
限制条件为:
两边同除以 得
又设M与F1, F2的距离的和等于2a
F1
F2
x
y
M( x , y )
探究新知
焦点在轴上
椭圆的标准方程
O
探究新知
思考
焦点在轴上
的方程是什么？
o
o
探究新知
焦点在轴:
焦点在轴:
椭圆的标准方程
探究:的几何意义
观察下图:你能从中找出表示的线段吗？
探究新知
因为椭圆的焦点在轴上,设
由椭圆的定义知
所以
又因为,所以
因此,所求椭圆的标准方程为
x
F1
F2
P
O
y
例1、已知椭圆两个焦点的坐标分别是并且经过点,求它的标准方程.
典例讲解
定义法
解析
因为椭圆的焦点在轴上,设
由于所以 ①
又点在椭圆上
②
联立方程①②解得
因此所求椭圆的标准方程为
x
F1
F2
P
O
y
典例讲解
例1、已知椭圆两个焦点的坐标分别是并且经过点,求它的标准方程.
解析
待定系数法
用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
方法归纳
变式训练
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点且点为其右焦点;
(2)经过两点和
(1)法一:依题意,可设椭圆的方程为
且可知左焦点为.
从而有
解得又,所以,
故椭圆的标准方程为.
解析
变式训练
(1)法二:依题意,可设椭圆的方程为
则解得
所以椭圆的标准方程为.
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点且点为其右焦点;
(2)经过两点和
解析
变式训练
(2)设所求椭圆的方程为
因为椭圆经过两点、,
所以解得
所以所求椭圆的方程为.
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点且点为其右焦点;
(2)经过两点和
解析
由已知得圆的圆心为半径;圆的圆心为半径.
设圆的圆心为,半径为.
因为圆与圆外切并且与圆内切,
所以.
由椭圆的定义可知,
曲线是以为左,右焦点的椭圆(点除外),
其方程为.
典例讲解
例2、已知圆圆
动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.求的方程.
解析
利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
方法归纳
变式训练
2.如图所示,圆及点为圆上一点,的
垂直平分线交于点,求点的轨迹方程.
由垂直平分线的性质可知,
∴
∴ 5.
∴点的轨迹为椭圆,其中,焦点为
∴所求点的轨迹方程为,即.
解析
典例讲解
例、已知轴上一定点为椭圆上任一点,求线段中点的轨迹方程.
设中点的坐标为点的坐标为.
利用中点坐标公式,
得
∵在椭圆上,∴ .
将, 代入上式,
得.
故所求的中点的轨迹方程是
解析
方法归纳
1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有:
直接法、定义法和代入法,
本例(1)所用方法为代入法,例(2)所用方法为定义法.
2.对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的解题方法.
素养提炼
1.平面内到两定点, 的距离之和为常数,即
当时,轨迹是椭圆;
当轨迹是一条线段;
当时,轨迹不存在.
2.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情况求解;也可设求解,避免分类讨论,达到了简化运算的目的.
3.椭圆的焦点在轴上 标准方程中含项的分母较大;椭圆的焦点在轴上 标准方程中含项的分母较大.因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时,要根据方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”.
4.注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.
素养提炼
当堂练习
根据椭圆的定义知,到另一个焦点的距离为.
1.椭圆上一点到一个焦点的距离为,则点到另个焦点的距离为( )
解析
椭圆方程可化为由题意知解得
2.已知椭圆的一个焦点坐标是,则实数的值是( )
解析
当堂练习
由方程表示椭圆,得解得.
3.若方程表示椭圆,则实数满足的条件是____________.
解析
∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4,∴ ,
∵点是椭圆上的一点∴ ,∴ ,∴ ,
∴椭圆的方程为焦点坐标分别为
4.设分别是椭圆的左、右焦点,设椭圆上一点到两焦点的距离和等于4,写出椭圆的方程和焦点坐标.
解析
一个概念:
两个方程:
两种方法:
三个意识:
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
定义法;待定系数法.
类比意识;求美意识;求简意识.
两种思想:
数形结合的思想;坐标法的思想.
归纳小结
1、必做题:
教材页练习:;
2、选做题:
求与圆外切,且与圆内切的动圆圆心的轨迹方程.
作 业
3、思考题:
方程什么时候表示椭圆？
什么时候表示焦点在轴上的椭圆？
什么时候表示焦点在轴上的椭圆？
能表示圆吗？
课后探索
作 业